Каталог :: Цифровые устройства

Реферат: Измерение случайных процессов

             Реферат на тему : Измерение случайных процессов.             
                                   Содержание                                   
1.                       Общие сведения об измерениях. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . стр 3.
2.                       Измерения математического ожидания и дисперсии
случайного процесса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .  стр 9.
3.                       Измерение функций распределения вероятности. . . .
стр 11.
4.                       Измерения корреляционной функции. . . . . . . . . .
. . . . стр 13.
5.                       Анализ спектра мощности. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .  стр 14.
6.                       Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . стр 16.
7.                       Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .  стр 17.
            ИЗМЕРЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ            
                            1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ                            
Измерения вероятностных характеристик случайных процес­сов (статистические
измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов
измерительной техники. В на­стоящее время область распространения
статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной
информации практически безгранична. Связь, навигация, управление,
диагно­стика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие
области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех,
описываемых их вероятностными характери­стиками.
Потребность в изучении свойств  случайных процессов приве­ла к развитию
соответствующих методов и средств (преимуще­ственно электрических). Появление
анализаторов функций рас­пределения вероятностей, коррелометров, измерителей
математи­ческого ожидания, дисперсиометров и других видов измерителей
вероятностных характеристик открыло новые возможности в об­ласти создания
современной информационной и управляющей техники.
Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических
измерениях.
В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги,
заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической
статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное
значе­ние (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка),
вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).
Введем следующие обозначения: Х (t) — случайный процесс;
     i-порядковый номер реализации случайного процесса Х (t);
     xi(tj) —мгновенное значение процесса Х (t), соответствующее
значению (i-й реализации в j-й момент времени. Случайным
назы­вают процесс Х (t), мгновенные значения которого xi (tj) 
суть случайные величины.
На рис.1 представлена в качестве примера совокупность реализации случайного
процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра Х от времени 
t.
В теории случайных процессов их полное описание произво­дится с помощью
систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения
вероятности, моментных функ­ций, характеристических функций и т. п. В теории
статистиче­ских измерений исследуемый случайный процесс представляется своими
реализациями, причем полное представление осуществля­ется с помощью так
называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль —
математическая аб­стракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные
реализации, используемые в измерительном эксперименте, пред­ставляют собой
физические объекты или явления и входят в ан­самбль как его неотъемлемая
часть.
Если случайный процесс представлен ансамблем реализации xi (t), i=1, 2,
..., со, то вероятностная характеристика в может быть определена усреднением по
совокупности, т.е.
     N
q  [X (t)]=lim 1/N S g[xi(t)],                 (1)
N® ¥              i =1
где g [Xi (t)]— некоторое преобразование, лежащее в основе
оп­ределения вероятностной характеристики q. Так, например, при определении
дисперсии g [Xi (t)]= xi  (t). При этом полагаем, что процесс
характеризуется нулевым математическим ожиданием.
Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени
с использованием k-й реализации xk (t) и тогда
                                                                               T
q [X(t)]= lim 1/T ò g[xi(t)]dt.                    (2)
                                                             T ® ¥         0
     

Например, при определении математического ожидания

T M [X (t)]= lim 1/T ò xk (t) dt. (3) T® ¥ 0 В общем случае результаты усреднения по совокупности (1) и по времени (2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (1) представляет собой вероятност­ную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации. Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характери­стик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эрго­дичность. Стационарным, называется процесс, вероятностные ха­рактеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристи­ки которого не зависят от номера реализации. Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны времен­ные сечения (вероятностные характеристики не зависят от теку­щего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационар­ный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалент­ны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени). Классифицируя случайные процессы на основе этих призна­ков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четы­ре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические. Учет и использование описанных свойств случайных процес­сов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик. Поскольку измерение представляет собой процедуру нахож­дения величины опытным путем с помощью специальных техни­ческих средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических изме­рениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину. Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения ме­ры в процессе измерений, представляются в следующем виде: q* [X (t)]= KSdg [X (t)]; (4) q* [X (t)]= Sd Kg [X (t)]; (5) q* [X (t)]= Sd gK [X (t)]; (6) где Sd—оператор усреднения; К—оператор сравнения; q* [X (t)]—результат измерения характеристики q [X (t)]. Данные алгоритмы различаются порядком выполнения опе­раций. Операция сравнения с образцовой мерой (К) может быть заключительной [см. (4)], выполняться после реализации оператора g, но до усреднения [см. (5)] и, наконец, быть началь­ной [см. (6)]. Соответствующие обобщенные структурные схе­мы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 2. На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (4) — (6), используют­ся те же обозначения. Так, g устройство, выполняющее пре­образование, лежащее в основе определения вероятностной ха­рактеристики q; Sd — устройство усреднения (сумматор или ин­тегратор); К— компаратор (сравнивающее устройство), а М— мера, с помощью которой формируется известная величина (q., g., x.) Представленное на рис. 2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализа­ций {xi (t)} (при использовании усреднения по времени — одна реализация xi, (t) -, на выходе узла g имеем совокупность преоб­разованных реализации {g[xi (t)]}; после усреднения получаем величину Sd {g[xi (t )]}, которая поступает на компаратор, осуще­ствляющий сравнение с известной величиной qо, в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики q*[X(t)]. Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, пред­ставленным на рис. 2, б, заключается в том, что после формиро­вания совокупности {g [xi (t)]} она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной вели­чиной go; на выходе компаратора формируется числовой массив {g* [xi (ti)]} и усреднение выполняется в числовой форме. На выхо­де усреднителя Sd имеем результат измерения q* [X (t)]. Средство измерений (рис. 2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализа­ции случайного процесса Х (t), после чего преобразование g и ус­реднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквива­лентно последовательному соединению аналого-цифрового пре­образователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессо­ра). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализа­цию операторов g и Sd, Погрешность результата измерения вероятностной характе­ристики случайного процесса Dq* [X(t)]= q*[X(t)]- q [ X(t)]. (7) Для статистических измерений характерно обязательное на­личие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значени­ях реализации случайного процесса, ибо при проведении физиче­ского эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализации или бесконечный временной интервал. Соотношение (7) определяет результирующую по­грешность, включающую в себя как методическую, так и инстру­ментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для стати­стических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализации и временного интервала. 2. ИЗМЕРЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ИДИСПЕРСИИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА Математическое ожидание и дисперсия случайного процес­са — основные числовые вероятностные характеристики, измере­ние которых играет большую роль в практике научных исследова­ний, управления технологическими процессами и испытаний. При измерении математического ожидания результатом из­мерения является среднее по времени или по совокупности мгно­венных значений реализации исследуемого случайного процесса. Усреднение по времени применяется на практике существенно чаще, чем усреднение по совокупности, поскольку работать с од­ной реализацией удобнее и проще, чем с совокупностью. На рис. 3 приведена структурная схема устройства, реали­зующего алгоритм t M* [X (t)]= 1/T ò xk (t) dt. t-T На рисунке Д—преобразователь измеряемой величины в электрический сигнал (датчик); НП — нормирующий преобра­зователь, превращающий входной сигнал в стандартный по виду и диапазону значений; И — интегратор; УС — устройство сопря­жения, обеспечивающее согласование выхода интегратора со входами цифрового вольтметра и регистрирующего прибора; ЦИП — цифровой прибор (например, цифровой вольтметр); РП—регистрирующий прибор (самопишущий прибор). Для оценки среднего квадратичeского значения погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных, можно пользоваться следующими соотношениями: 1/2 s =[2D[X(t)] t k/T] M° при усреднении по времени T и 1/2 s =[D[X(t)]/N] M° при усреднении по совокупности N. Здесь D[X (t)]—дисперсия процесса X(t), а t k — интервал корреляции. Дисперсия случайного процесса характеризует математиче­ское ожидание квадрата отклонений мгновенных значений реали­зации случайного процесса от математического ожидания. Таким образом, T 2 D[X(t)]= lim 1/T ò [xk (t)-[X(t)]] dt T®¥ 0 или N 2 D[X(t)]= lim 1/N S [xi(t)-[X(t)]] dt N®¥ i=1 Возможны различные варианты построения устройств для измерения дисперсии случайного процесса — дисперсиометров. На рис. 4 приведена структурная схема средства измерений дисперсии случайного процесса, т. е. работающего согласно вы­ражению t t 2 D* [X(t)]=1/T ò [xk (t)- 1/T1 ò xk (t)dt] dt t-T t-T1 На рисунке НП — нормирующий преобразователь; И1 и И2 — интеграторы; ВУ— вычитающее устройство; КУ— квадратирующее устройство; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифро­вой прибор; РП — регистрирующий прибор. Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборочных данных о мгновенных значениях Х (t) может быть определена с помощью соотношений 2 1/2 s =[2D[X (t)] t k/T] M° , где D[X2 (t)]— дисперсия Х (t); T—время усред­нения. При усреднении по совокупности N реализаций 2 1/2 s =[D[X (t)] /N] D° 3. ИЗМЕРЕНИЕ ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Одномерная интегральная функция распределения вероятно­сти F (X) равна вероятности того, что мгновенное значение про­извольной реализации в произвольный момент времени меньше установленного уровня, т. е. Xi (ti) £ X. Функция F (X) определя­ется как предел выборочного среднего: F (X)= lim Sd [j [x (t) ,X]], d®¥ 1 при x (t) £ X Где j[x(t) ,X]= 0 при x (t) > X Поскольку интегральные F (X) и дифференциальные w (X) функции распределения вероятности связаны между собой со­отношениями

X

w (X) =(dF (X))/dX ; F (X)= ò w (X) dX -¥ справедливо выражение w (X) = lim ((F(X+ DX)-F (X))/ DX)= lim ((Sd [Dj[x(t) ,X]])/ DX) DX®0 DX®0 1 при X < x (t) £ X+ DX где Dj [x(t) ,X]= 0 при x (t) £ X, x (t) > X+ DX В качестве примера рассмотрим средство измерений для определения интегральной функции распределения вероятности уровня электрического сигнала. Схема средства измерений, реа­лизующего алгоритм t F* (X)=1/T ò j [xk(t) ,X]dt , t-T показана на рис. 5, где ПУ — пороговое устройство, формиру­ющее сигнал X k (t}—X; ФУ—формирующее устройство; И—интегратор, на выходе которого получается сигнал F* (X) при установленных значениях Х и Т; УС — устройство сопряжения; ЦИП — цифровой прибор; РП — регистрирующий прибор. Средняя квадратическая погрешность из-за конечности объема выборки определяется для F {X) с помощью соотношения 2 1/2 s =[2(F - F ) t k/T] F° при усреднении по времени и с помощью соотношения 2 1/2 s =[2(F - F )/N] F° при усреднении по совокупно­сти. Для (X) соответствующие соотношения имеют вид: 2 1/2 s =[2(w - w DX) t k/T] w° 2 1/2 и s =[(w - w DX)/N] w° В приведенных соотношениях F и w — истинные значения измеряемых функ­ций при данном X. 4. ИЗМЕРЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ Для случайного процесса с нулевым математическим ожида­нием корреляционная функция равна: Rx (s, t) = lim Sd[xi (t) xi-s (t- t)], d ®¥ где t и s — соответственно сдвиг во времени и в пространстве реализации перемножаемых мгновенных значений. В практических задачах большую роль играют стационарные случайные процессы, т. е. процессы с постоянными вероятностны­ми характеристиками, не зависящими от текущего времени. Сре­ди случайных процессов можно выделить эргодические процессы, для которых t Rx (t) = lim 1/T ò x (t) x (t-t)dt, T ®¥ 0 Большое значение корреляционного анализа в различных областях науки и техники привело к созданию множества измери­тельных приборов для измерений корреляционных функций — коррелометров. Типовая структура коррелометра, в котором используется усреднение по времени, представлена на рис. 6. При этом реализуется следующий алгоритм: t R*x (t) = 1/T ò xk (t) xk (t-t)dt, t-T Как видно, после нормирующего преобразователя НП сигнал поступает в устройство временной задержки УЗ и на перемножа­ющее устройство ПУ, осуществляющее перемножение мгновен­ных значений, сдвинутых по времени на интервал т. Далее с по­мощью интегратора И выполняется усреднение, после которого результирующий сигнал через УС подается на цифровой прибор ЦИП или регистрирующий прибор РП. Средние квадратические погрешности, обусловленные ко­нечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализации процесса Х (t), оцениваются с помощью соотноше­ний: 1/2 s ={2D[xk (t) xk (t-t)] t k/T} R° при усреднении по времени Т и 1/2 s ={D[xk (t) xk (t-t)]/N} R° при усреднении по совокупности. 5. АНАЛИЗ СПЕКТРА МОЩНОСТИ Спектр мощности характеризует ее частотное распределение, и он может быть определен в соответствии со следующими форму­лами: 2 Sx(w) = lim 1/T | xiT (w) | T ®¥ Где t -jwt’ XiT (w) = ò xi (t’) e dt’ t-T На рис. 7 изображена схема анализатора спектра мощно­сти случайного процесса Х (t). С выхода нормирующего преобразователя НП i-я реализация случайного процесса xi (t) поступает на блок Ф, выполняющий преобразование Фурье, после чего узлом Кв производится возве­дение в квадрат и нормирование с учетом интервала усреднения Т. С помощью устройства сопряжения УС сформированный сиг­нал поступает на ЦИП и регистратор РП. В настоящее время отечественной промышленностью серийно выпускаются анализаторы случайных процессов. К ним относят­ся многофункциональный статистический преобразователь Ф790, корреллометр Ф7016, комплекс измерителей характеристик случайных сигналов Х6-4/а, многофункциональные измерители ве­роятностных характеристик Ф36 и Ф37, анализаторы спектра Ф4326, Ф4327, Ф7058 и др. С помощью этих приборов и устройств можно измерять математические ожидания и дисперсии, а также значения функций распределения вероятности, корреляционных и спектральных функций с последующим восстановлением вида самих функций. Перечисленные анализаторы рассчитаны в ос­новном на унифицированный входной сигнал и позволяют изме­рить от 256 до 4096 ординат анализируемой функции. Погреш­ность измерения не превышает ±5 %. Кроме того, для определения вероятностных характеристик случайных сигналов могут использоваться электроизмеритель­ные приборы, предназначенные для измерения среднего и дей­ствующего значений сигнала. Для определения среднего значе­ния применяют магнитоэлектрические приборы и цифровые ин­тегрирующие приборы. Для определения среднего квадратического отклонения используют приборы, показания которых определяются действующим значением сигнала (термоэлектри­ческие, электростатические и др.). Корреляционные устройства получили применение в различ­ных областях науки и техники для измерения различных величин. В качестве примера можно указать корреляционное устройство для измерения скорости прокатки. Эти устройства измеряют кор­реляционную функцию, зависящую от т, которая, в свою очередь, зависит от скорости прокатки. Список литературы : 1.Метрология и электроизмерительные приборы. Душин М .Е.\М.: Энергоатомиздат,1986. 2.Метрология, стандартизация и измерения в технике связи. Под ред. Б.П. Хромого М.: Радио и связь, 1986. 3.Основы метрологии и стандартизации. Голубева В. П. \М .: Вектор, 1996.