Каталог :: Астрономия

Реферат: Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa

                                   СОДЕРЖАНИЕ                                   
ВВЕДЕНИЕ.......................................................................3
§1   Классификация тесных двойных
систем.............................................
§2   Алгоритм
ZET..........................................................................
...............
§3   Применение метода  ZET...................
ВЫВОДЫ.......................................................................
................................
ПРИЛОЖЕНИЕ...................................................................
..........................
ЛИТЕРАТУРА...................................................................
............................
                                                        ВВЕДЕНИЕ.
Изучение фотометрических и абсолютных  элементов тесных  двойных  систем,
находящихся  на  разных  стадиях  эволюции, представляет  большой  интерес с
точки  зрения  статистического  исследования  этих  систем, изучения
строения  Галактики, а также теории  происхождения и эволюции  одиночных  и
двойных  звезд. Одной из важных  характеристик тесных  двойных  систем
является  отношение масс мене   массивной  компоненты к более массивной
q=m2/m1 . Отношение масс позволяет уточнить  эволюционный тип звезды,
определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости Роша), а
также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых в
данной работе, у которых обе компоненты близки друг к другу и практически
наполняют пределы полости Роша, отношение масс  q, кроме всего прочего,
определяет  конфигурацию всей системы (зависящую от большой полуоси A,
отношения масс  q, угла наклона  i).
Однако, отношение масс q известны точно для очень малого числа систем,
имеющих данные спектроскопических  наблюдений. Фотометрические  же  данные,
полученные, как правило, с  помощью метода синтеза кривых блеска, не являются
надежными, так как этот метод  позволяет получить  точное  решение  лишь для
симметричных кривых блеска. Так, например, у контактных систем, исследуемых
в  данной  работе, вследствие  близости компонент друг к другу, кривые блеска
сильно искажены  газовыми потоками, пятнами и околозвездными газовыми
оболочками.
Для  статистических  исследований  представляет  значительный интерес хотя бы
приближенная оценка  относительных и абсолютных параметров тех затменных
систем, для которых элементы спектроскопической орбиты неизвестны и прямое
вычисление их абсолютных характеристик не представляется возможным.
М.А. Свечников и Э.Ф. Кузнецова в [2] для такой приближенной оценки
использовали статистические  соотношения (масса - радиус, масса - спектр,
масса - светимость и др.)  для  компонент различных типов, а также ряд других
статистических зависимостей. Из-за того, что использованные  для  определения
элементов статистические  зависимости носят приближенный характер, следует
ожидать, что для многих  систем  найденные в [2] приближенные  элементы
окажутся неточными и даже ошибочными. Это обусловливает необходимость
теоретических подходов к оценке параметров затменных переменных звезд. В
изученной статье [1] отношение  масс  компонент q и спектральный класс
главной  компоненты Sp1 для звезд типа  W UMa определяется с помощью
статистического метода  ZET, разработанного в Международной  лаборатории
интеллектуальных  систем  (Новосибирск) Н.Г. Загоруйко. Метод ZET применялся
для восстановления глубины вторичных  минимумов звездных систем типа  РГП
(ошибка прогноза  составила 5-8%), спектров звезд этого типа, спектров класса
главной компоненты контактных систем типа  KW и  отношения масс. Точность
восстановления доходила  до 10%  и только для q этот результат был завышен.
Была составлена таблица, в которую включены q, полученные разными авторами,
для некоторых отдельных систем значения q имеют очень большие расхождения.
Поэтому цель данной работы улучшить качества восстановления q методом ZET.
§1. Классификация тесных двойных систем.
В  1967-69 гг. М.А.Свечниковым  была  разработана классификация  тесных
двойных  систем,  сочетающая  достоинства классификации Копала(1955),
учитывающей геометрические свойства этих систем (размеры  компонент по
отношению к размерам соответствующих внутренних критических поверхностей
(ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962 гг.), основанной на физических
характеристиках компонентов, входящих в данную систему. Эта классификация
удобна при статистических исследованиях тесных двойных звезд, и, будучи
проведена по геометрическим и физическим  характеристикам  компонентов
затменных систем (отношению размеров компонентов к размерам соответствующих
ВКП, спектральным классам и классам светимости компонентов), оказывается в то
же время связанной с эволюционными стадиями  затменных  систем, определяемыми
их возрастом, начальными массами компонентов и начальными параметрами орбиты
системы.
Как было показано в работе М.А.Свечникова (1969), подавляющее большинство
изученных затменных переменных звезд (т.е. тех  систем,  для  которых
определены  фотометрические и спектроскопические элементы) принадлежит к
одному из следующих основных типов:
1. Разделенные системы главной последовательности (РГП), где оба компонента
системы являются звездами главной последовательности, не заполняющими
соответствующие  ВКП, обычно  не приближающиеся к ним ближе по размерам чем
¾
2. Полу разделенные  системы (ПР), где более массивный компонент является
звездой  главной последовательности, обычно далекой от своего предела Роша, а
менее массивный  спутник  является субгигантом, обладающим избытком
светимости и радиуса и близким по размерам к соответствующей ВКП.
3. Разделенные системы с субгигантом   (РС),  у которых, в отличии от ПР-
систем, спутник-субгигант, несмотря  на  большой избыток радиуса, не
заполняет свою  ВКП, а имеет  размеры,  значительно меньшие, чем последняя.
4. "Контактные" системы, в которых компоненты близки по своим размерам к
соответствующим  ВКП  (хотя и не обязательно  в точности  их  заполняют). Эти
системы  подразделяются на  два разных подтипа:
а) Контактные системы типа W UMa (KW), имеющие, в большинстве случаев,
спектры главных компонентов более поздние, чем  F0. Главные (более массивные)
компоненты у этих систем не уклоняются значительно от зависимостей  масса-
светимость и масса-радиус  для  звезд  главной  последовательности в то
время, как спутники обладают  значительным избытком светимости (подобно
субгигантам  в ПР и РС-системах), но не обладают избытком радиуса (вследствие
чего они располагаются на диаграмме спектр-светимость левее главной начальной
последовательности, примерно параллельно ей);
б) Контактные системы ранних спектральных классов (КР) (F0 и  более ранние),
где  оба  компонента, близкие по размерам к своим  ВКП, тем не менее, в
большинстве случаев не уклоняются значительно от зависимостей масса-
светимость и масса-радиус для звезд главной последовательности.
5. Системы, имеющие хотя бы один  компонент, являющийся либо сверхгигантом,
либо гигантом позднего спектрального класса (С-Г). Такие системы сравнительно
многочисленны среди изученных  затменных  переменных вследствие их высокой
светимости и необычных  физических характеристик, но в действительности они,
по-видимому, должны составлять лишь небольшую долю от общего числа тесных
двойных систем.
6. Системы, у которых, по крайней мере, один компонент лежит ниже главной
последовательности и является горячим субкарликом  или  белым  карликом (С-
К). Сюда же были отнесены и системы, один из компонентов, которых  является
нейтронной  звездой или "черной дырой", а также системы с WR-компонентами.
Подобная классификация была выполнена ранее М.А.Свечниковым (1969) для 197
затменных  систем с известными абсолютными  элементами. Она могла  быть
более или менее  уверенно проведена также для затменных  переменных с
известными фотометрическими  элементами, у которых можно каким-либо образом
оценить и отношение  масс  компонентов  q=m2/m1  и тем самым    определить
относительные  размеры соответствующих ВКП. Так, из примерно 500 затменных
систем с известными фотометрическими  элементами, имеющихся в карточном
каталоге М.А.Свечникова, надежную  классификацию  можно  было  провести для
367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому или иному типу
имеется некоторая  степень  неуверенности, обычно из-за отсутствия или
ненадежности имеющихся данных о величине q.
§2 Алгоритм ZET.
Алгоритм ZET  предназначен для прогнозирования и редактирования (проверки)
значений в таблицах  "объект-свойство". В таких таблицах строки соответствуют
рассматриваемым объектам, а столбцы есть значения  характеристик, описывающих
эти объекты. Таким образом, на пересечение строки с номером "i" и столбца с
номером "j", будет находиться  значение j-ой характеристики для i-го объекта.
Клетку таблицы, расположенную на пересечение i-ой строки и j-го столбца,
обозначим символом Aij. Пусть значения Aij неизвестно. Можно достаточно
уверенно предсказать это значение, если использовать имеющиеся в таблице
закономерности. В реальных таблицах многие столбцы связаны  друг с другом.
Есть в таблицах и строки, похожие  друг на друга по значениям своих
характеристик. В алгоритме  ZET  выявляются такие связи, и на их основе
выполняется  предсказание  искомого  значения.  Предсказание осуществляется
на основе принципа  локальной линейности. Это одна из основных идей,
позволившая построить эффективный метод и получать  хорошие  результаты.  Она
заключается в том, что предсказание выполняется не на всей информации,
имеющейся в таблице, а только  на  той  ее  части, которая наиболее тесно
связана со строкой и столбцом, в которых  этот  пробел находится. Другими
словами, в алгоритме  ZET, в отличии  от многих других  алгоритмов
заполнение  пробелов, реализуется "локальный" подход к предсказанию каждого
пропущенного значения. Для вычисления этого значения строится своя
"предсказывающая подматрица", содержащая  только  имеющую  отношение к делу
информацию. В подматрицу отбираются в порядке  убывания  сходства  строки,
т.е. строки, самые похожие на строку, содержащую  интересующий  нас  пробел,
а затем для выбранных строк отбираются также в порядке убывания  сходства
столбцы "самые похожие" на столбец, содержащий этот пробел.
     

1 . . . k j . . . n

1

:

i

l

:

m

Фaik

Aaij
AalkAalj
Предсказание элемента Aij по k-му столбцу Aij(k) делается на основание гипотезы о линейной зависимости между столбцами, при этом сначала вычисляются коэффициенты линейной регрессии Вjk и Сjk ,и по ним находится элемент Aij(k): Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk. После того, как будут сделаны предсказания Аij(k) по всем р столбцам, не имеющим пропуска в i-ой строке, вычисляется средневзвешенная величина элемента: Aij(стб)=(Aij(k)*Qkj)/(Qkj) Вклад каждого столбца (строки) в результат предсказания зависит от их "компетентности" Q, являющейся функцией двух аргументов: "близости" между j-м и k-м столбцами (i-ой и l-ой строками) и "взаимной заполненность" этих столбцов (строк). "Близость" представляет собой степенную функцию модуля коэффициента линейной корреляции (Rkj)а (или (Ril)а). "Взаимная заполненность" k-го и j-го столбцов (Lkj) равна числу непустых пар элементов этих столбцов Alk и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда: Qil=(Ril)a*Lil Qkj=(Rkj)a*Lkj . Выбор показателя степени а осуществляется следующим образом, при каждом из последовательных значений а (из некоторого заданного диапазона amin<a<amax) выполняется предсказание всех известных элементов k-го столбца матрицы A(i,j). При каждом a вычисляется расхождение между фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания Aij выбирается то из значений a, при котором была получена лучшая средняя точность dj предсказания этих известных значений. Легко увидеть, что, чем больше (Rkj)a, тем с большим весом будут учитываться сведения от самых "похожих" столбцов и тем сильнее будут подавляться подсказки от менее "похожих". Аналогичная процедура построения формулы и оценки точности вычисления всех элементов i-ой строки выполняется для проверки возможности предсказания Aij как элемента строки. Aij(стр)=(*Qil)/() Данные в матрице A(i,j) предварительно нормированы так, чтобы элементы каждого столбца изменялись в пределах от 0 до 1. После получения оценок предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с которой удалось предсказать известные элементы i-ой строки di и j-го столбца dj. Окончательно для предсказания выбирается либо Aij(стб), либо Aij(стр), в зависимости от того, где точность d оказалась выше. Эта точность рассматривается в качестве ожидаемой ошибки предсказания Aij. Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные этапы: 1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных данных по дисперсиям. 2. Выбирается пробел Aij, находящийся на пересечение i-ой строки и j-го столбца. 3. При определение сходства столбцов производится их предварительная нормировка к интервалу [0,1], и для строк и для столбцов степень сходства определяется на основе евклидова расстояния rев=[]1/2 , где Xj, Yj - соответственно значения j-го свойства объектов X и Y. Использование такой меры сходства и обуславливает применимость алгоритма к таблицам данных, представленных в сильных шкалах, для которых операции, использованные в формуле, являются допустимыми преобразованиями. По расстоянию rев выбирается заданное число объектов-аналогов, а для них- свойств-аналогов. 4. В матрице, состоящей из отобранных строк, столбцы нормируются к интервалу [0,1] и выбирается заданное количество столбцов, наиболее сильно связанных с j-м. 5. По исходной таблице формируется "предсказывающая" подматрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении i-ой и ближайшей к ней строк с j-м и ближайших к нему столбцами. 6. Столбцы полученной подматрицы нормируются к интервалу [0,1]. 7. Из уравнений линейной регрессии для k-го элемента Aij вычисляются "подсказки" Aij от строк и (или) столбцов "предсказывающей" подматрицы. 8. Находится коэффициент а, определяющий степень учета взаимного сходства столбцов (строк) подматрицы при вычислении итогового значения прогнозируемого элемента Aij. 9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела. 10. Значения, вычисленные в режимах заполнения в зависимости от входных условий, заносятся в таблицу сразу же после вычисления каждого из них или только после окончания прогнозирования значений для всех пробелов таблицы. 11. Пункты 1-10 повторяются. Количество повторений задается во входных условиях. Когда сформирована группа объектов-аналогов и найдены в этой группе наиболее информативные свойства для интересующего нас объекта, т.е. сформирована "предсказывающая" подматрица, алгоритм переходит к этапу построения формулы для прогнозирования. Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на две части: 1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с интересующим нас объектом Aij информации-построения "предсказывающей" подматрицы. 2. Определения параметров формулы для возможно лучшего предсказания значения рассматриваемого элемента Aij с одновременной оценкой ожидаемой точности прогноза. В алгоритме ZET, как было отмечено выше, предусмотрен "персональный" подход к прогнозированию каждого интересующего нас элемента таблицы. Для каждого элемента Aij подбирается своя предсказывающая подматрица, в которой содержатся только строки, наиболее похожие на i-ую и столбцы, наиболее связанные с j-м и по этой "персональной" информации подбирается персональная формула для прогнозирования элемента Aij. Для того, чтобы при определении сходства объектов (строк) "вклад" каждого показателя (свойства) не зависел от единиц измерения и был сопоставим с вкладами других показателей, производится нормировка каждого столбца относительно его дисперсии. Если есть необходимость учесть неравнозначность вкладов свойств в меру сходства, т.е. если из каких-либо соображений известны значимости, "веса" свойств, то их можно учесть, умножив отнормированные данные на эти веса. Если пробелов в данных много, вряд ли можно надеяться заполнить их все сразу с хорошей точностью. Поэтому организуется многоступенчатая процедура заполнения. Она состоит в том, чтобы на первом этапе заполнить при минимальном размере подматриц наиболее надежные элементы, т.е. те, которые удается предсказать с заданной точностью. Затем поставить эти значения в таблицу и, уже считая их известными, вновь обратиться к программе с теми же условиями на требуемую точность и размер подматриц. Добавленная в таблицу информация может дать возможность предсказать еще ряд значений. Процесс повторяется при одних и тех же условиях до тех пор, пока не прекратится предсказание новых элементов. Тогда можно повторять цикл заполнения. § 3 Применение метода ZET для восстановления физических параметров контактных систем. Для того, чтобы правильно спрогнозировать неизвестные элементы, необходимо решить ряд существенных вопросов: 1. Какие характеристики звезд могут быть наиболее информативны с точки зрения предсказания отношения масс q; 2. Можно ли ожидать достаточно хороших результатов; 3. Если да, то как организовать решение, чтобы заполнить больше пробелов с приемлемой точностью; 4. Можно ли доподлинно проверить "качество" вычисленных значений. Для решения первой проблемы - отбора наиболее информативных для предсказания q характеристик звезд было выполнено редактирование всех известных значений первого столбца, содержащего отношение масс q контрольной таблицы размерностью 15х14, куда вошли 15 систем типа W UMa и 14 их параметров из [3] (известных абсолютно точно), на предсказывающих подматрицах 6х6, 5х5, 4х4. Объектами в данной таблице были контактные системы типа W UMa, а в качестве свойств были взяты следующие параметры: отношение масс компонент q, спектральный класс главной компоненты Sp1, масса главной компоненты m1, абсолютная болометрическая величина более массивной компоненты M1bol, большая полуось орбиты в долях радиуса Солнца A, угол наклона орбиты i, период затменной системы P, средний радиус главной компоненты в долях большой полуоси орбиты r1, средний радиус второстепенной компоненты в долях большой полуоси орбиты r2, относительный блеск более массивной компоненты L1, отношение поверхностных яркостей более массивной компоненты к менее массивной J1/J2, радиус главной компоненты в долях радиуса Солнца R1, радиус второстепенной компоненты в долях радиуса Солнца R2, абсолютная болометрическая величина менее массивной компоненты M2bol. По результатам редактирования была составлена таблица, где показано участие отдельных параметров в предсказании отношения масс компонентов q. Из таблицы видно, что параметры P, r1, L1, J1/J2, R1 и M2bol плохо (т.е. редко) участвуют в предсказании и вклад их достаточно мал, поэтому их можно отбросить. Так как параметры r2 и R2 связаны с q эмпирическими формулами: r~rкрит(q) и lg(m)=-0.153+1.56*lg(R), то их также представляется целесообразным отбросить. Таким образом, остается таблица 15х6, в которую входят 15 объектов и 6 параметров: q, Sp1, M1bol, m1, A, i. На этой таблице было выполнено редактирование первого столбца, содержащего отношение масс q и второго столбца, содержащего спектральные классы главных компонент Sp1. Получены средние ошибки редактирования соответственно d=13.555% и d=6.6791%. Поскольку средние ошибки редактирования малы, то можно сделать вывод, что отобранные параметры позволяют с достаточно высокой степенью точности восстановить неизвестные значения q. Далее, из [2] были взяты 295 систем типа KW, для которых выписаны указанные выше 6 параметров, и составлена рабочая таблица 295х6 , где на месте предсказываемых элементов стоят пробелы. В качестве известных значений q были взяты значения из [3 - 16]. Всего получилось 72 известных значения q, опираясь на которые программа будет предсказывать остальные значения. Для оценки целесообразности применения метода ZET при прогнозировании недостающих значений q на рабочей таблице 295х6 было выполнено редактирование 1-го столбца при предсказывающей подматрице 5х5. Средняя ошибка редактирования d=11.837%. Таким образом, осталось 70 известных значений q при 225 неизвестных. Как видно из результатов редактирования значения q могут быть восстановлены по имеющимся в таблице данным с достаточно высокой степенью точности. Для дополнительной проверки эффективности метода было проведено сравнение 72 известных значений отношений масс со значениями, вычисленными методом ZET. В процессе вычисления использовался режим редактирования, так как предполагалось, что наблюденные данные 72 звезд получены с достаточной степенью надежности. Было выполнено редактирование 72 известных элементов на предсказывающих подматрицах 4х4, 5х5, 6х6 и составлена промежуточная таблица полученных ZET-методом q и соответствующих ошибок редактирования. Получив данные редактирования, мы перешли непосредственно к предсказанию неизвестных значений q. Предсказание велось при границах изменения от 4 до 6 ближайших строк и столбцов при формирования предсказывающих подматриц, т. е. для каждого предсказываемого значения программа перебирает все варианты предсказывающих подматриц от 4 до 6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6) и выбирает значение с наименьшей ожидаемой ошибкой прогнозирования. Было установлено, что режим ZM1 занижает ошибку предсказания примерно в два раза. Для этого мы сравнили прогнозируемую и фактическую ошибки (~8% и ~18% соответственно). Аналогично установили, что режим ZM3 несколько завышает ошибку предсказания (~20% и ~22%). В режиме ZM3 ожидаемое отклонение (min, при различных a, средняя величина отклонения предсказанного значения от истинного всех элементов строки (столбца), связанных с прогнозируемым элементом) не является реальной ошибкой предсказания, исходя из этого мы предложили свой метод определения ошибки, разделив ожидаемое отклонение на предсказанное значение и умножив на 100%. Как показало редактирование, режим ZM1 производит более точное предсказание, чем режим ZM3 (хотя значения предсказаний довольно близки: фактическая ошибка в ZM1 ~17%, в ZM3 ~20%), поэтому предсказание велось параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для контроля над ошибкой. Получили следующие результаты прогнозирования: из 225 восстановленных систем типа W UMa 218 получены с ошибкой ~5%, 7~10%. По сравнению с данными наблюдения реальная ошибка превышает полученную методом в 3 раза. Следовательно, метод занижает ошибку прогноза. Часть полученных значений q приблизительно совпадает, а для некоторых имеются существенные отличия. Это связано: 1) с недостатком наблюдательных данных; 2) с ненадежностью исходных данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с некорректностью подсчета ошибки данным методом. ЛИТЕРАТУРА: 1. Svirskaya E.M., Shmelev A.Yu. “Astronomical and astrophysical transactions” 2. Свечников М.А., Кузнецова Э.Ф. “Каталог приближенных фотометрических и абсолютных элементов затменных переменных звезд”, Свердловск, Изд-во Уральского Университета, 1990. 3. Свечников М.А. ”Каталог орбитальных элементов, масс и светимостей тесных двойных звезд”, Иркутск, Изд-во Иркутского Университета , 1986 . 4. Загоруйко Н.Г. “Эмпирическое предсказание”, Новосибирск , Изд- во Наука, 1979. Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С., “Алгоритмы обнаружения эмпирических закономерностей”, Новосибирск, Изд-во Наука, 1985.