Каталог :: Математика

Курсовая: Интеграл Пуассона

                        Интеграл Пуассона.                        
Пусть ¦(x) , g(x) , xÎR1 
–суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через   
f*g(x)  будем обозначать свертку
                       f*g(x)  =dt   
Из теоремы  Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также
суммируема на [-p,p] и
cn ( f*g ) = cn ( f )× cn ( g ) ,
n = 0, ±1 , ±2 , ...             ( 1 )
где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :
cn = -i n tdt ,                          n = 0, ±1, ±2,¼
Пусть  ¦ Î L1 (-p, p ) . Рассмотрим при  0 £ r < 1  функцию
¦r ( x ) = 
n ( f ) r| n | ei n x   ,
x Î [ -p, p ]  ,                  ( 2 )
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого
фиксированного  r ,  0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r 
(х) равны
cn ( fr ) = cn × r| n  
| ,    n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦r 
( x ) можно представить в виде свертки :
¦r ( x ) =  ,                                                       ( 3 )
где
      ,                                   t Î [ -p, p ] .                  ( 4 )
Функция двух переменных  Рr (t) ,   0 £  r <1 ,  t Î [
-p, p ] , называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  --  интегралом Пуассона
.
     
     
     
Следовательно,
Pr ( t ) =      ,    0 £ r < 1 ,   t Î [ -p, p] .                     ( 5 )
Если  ¦Î L1 ( -p, p )  - действительная функция , то , учитывая , что
c-n  ( f ) =  `cn( f ) , n = 0, ±1, ±2,¼, из соотношения (2) мы получим :
fr ( x ) = 
=  ,                                                                      ( 6 )
где
F ( z ) = c0 ( f ) + 2             ( z = reix  )                     ( 7 )
-         аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает,
что для любой действительной функции ¦Î L1( -p, p ) интегралом
Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция
u ( z ) = ¦r (eix )  , z = reix    ,  0 £  r <1  ,   x Î [ -p, p ] .
При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0
задается формулой
v (z) = Im F (z) =    .                                     ( 8 )
     Утверждение1.
Пусть  u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге   | z | < 1+e   (
e>0 ) функция  и ¦ (x) = u (eix) , xÎ[ -p, p ] . Тогда
u (z) =                 ( z = reix  ,    | z | < 1 )              ( 10 ).
Так как  ядро Пуассона  Pr (t) - действительная функция, то равенство
(10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:
      =,          | z | < 1+ e .
Но тогда
     
и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению  поведения функции ¦r (x) при
r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона:
а)  ;
б)  ;
в) для любого d>0
     
Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б)
достаточно положить в (2) и (3)  ¦ (х) º 1.
     Теорема 1.
Для произвольной (комплекснозначной) функции 
( -p, p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство
       ;
если же ¦ (x) непрерывна на  [ -p, p ]  и  ¦ (-p) = ¦ (p) , то
     .
                                 Доказательство.                                 
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
                                         ( 12 )
Для любой функции  
, пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим
     
     
     
     
     
     
     .
Следовательно,
     .
Для данного e > 0  найдем  d = d (e) такое, что  
. Тогда для  r  , достаточно близких к единице, мы получим  оценку
     .
Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
     .
                                                             Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа",
которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
     Определение1.
Пусть функция  
суммируема на любом интервале (-А, А),  А > 0 . Максимальной функцией для
функции   
называется функция
     
где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.
     Определение 2.
Оператор  называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0
       .
     Теорема 2 (Фату).
Пусть - комплекснозначная функция из  . Тогда
                  для  п.в.  .
                                 Доказательство.                                 
Покажем, что  для   и  
            ,                                                ( 13 )
где  С - абсолютная константа , а  M ( f, x ) - максимальная функция для  
f (x) [*]. Для этой цели  используем
легко выводимую из (5) оценку
     
(К - абсолютная константа).
Пусть  -  такое число, что
          .          
Тогда  для  
     
     
     
     .
Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора  
, найдем такую последовательность функций  
,что
     ,
                                                       ( 14 )
        для п.в. .
Согласно (13) при   xÎ (-2p,2p)
     
     
     
     
Учитывая , что по теореме 1   для каждого xÎ [-p, p]  и (14)
Из последней оценки  получим
       при  n®¥.
                                                             Теорема 2 доказана.
     Замечание.
Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже,
можно показать, что для п.в. xÎ [-p, p]   
,  когда точка reit  стремится к  eix  по некасательному к
окружности    
пути.
     
[*] Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p,2p] (т.е. f (x) = f (y) , если x,y Î [-2p,2p] и x-y=2p) и f (x) = 0 , если |x| > 2p .