Каталог :: Математика

Реферат: Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

    Министерство общего и профессионального образования Российской федерации.    
            Уральский Государственный Технический Университет - УПИ.            
                                     Реферат                                     
                                                                          
  ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ            ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ.  
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                Выполнил:
                                                            Студент группы Х-149
                                                                 Покровский П.В.
                                                                Проверил:
                                                  Преподаватель кафедры ВМ и УМФ
                                                               Пироговская Л. М.
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                                                         
                                  Екатеринбург.                                  
                                      1999.                                      
                                                                         
                                                                         
                          1. Координаты центра тяжести.                          
Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
Произведения ximi и yimi называются 
статическими моментами массы mi относительно осей Oy и Ox.
Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной
системы. Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы
определяются формулами:
     
     
Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных фигур и тел.
                        2. Центр тяжести плоской фигуры.                        
Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2
(x), x=a, x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною
плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать постоянной
и равной d для всех частей фигуры.
Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b
на полоски ширины Dx1,   Dx2, . . ., Dxn.
Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади   на   плотность d.
Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис.1)  с основанием Dxi 
и высотой f2(x)-f1(x), где x
, то масса полоски будет приближенно равна
      (i = 1, 2, ... ,n).
Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре
соответствующего прямоугольника:
     
Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой равна массе
соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой полоски, найдем
приближенное значение центра тяжести всей фигуры:
     
     
     
Переходя к пределу при , получим точные координаты центра тяжести данной фигуры:
     
Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную
плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно, координаты центра
тяжести не зависят от плотности d фигуры (в процессе вычисления d
сократилось).
                   3. Координаты центра тяжести плоской фигуры                   
В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести системы
материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами
m1, m2, . . ., mn определяются по формулам
         .         
В пределе при  
интегральные суммы, стоящие в числителях и знаменателях дробей, перейдут в
двойные интегралы, таким образом получаются точные формулы для вычисления
координат центра тяжести плоской фигуры:
         (*)         
Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной плотностью 1,
остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую, постоянную во всех
точках  плотность g.
Если же поверхностная плотность переменна:
                    
то соответствующие формулы будут иметь вид
                                                                            
     
     
Выражения
                    
и
                    
называются статическими моментами плоской фигуры D относительно осей Oy и Ox.
Интеграл  выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
                              4. Теоремы Гульдена.                              
     Теорема 1.
Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой вокруг оси,
лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее, равна длине дуги
кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести дуги.
     Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен произведению
площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры.
                                   II.Примеры.                                   
1)
     Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y
2=a2, расположенной над осью Ox.
     Решение: Определим абсциссу центра тяжести: ,
     
     
     
Найдем теперь ординату центра тяжести:
     
     
     
2)
     Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y2
=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)
     Решение: В данном случае  поэтому
     
      (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)
3)
     Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса (рис. 3)
                    
полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.
     Решение: По формулам (*) получаем:
     
     
     
     
     4)
     Условие:
Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии .
     Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит на
оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти 
. Имеем   тогда     
длина дуги
     
     
     
Следовательно,
     
     
     
     5)
     Условие:
Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти круга
     .
     Решение:
При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем которого равен 
Согласно второй теореме Гульдена,  Отсюда 
     
      Центр тяжести четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе
I координатного угла, а потому 
                  III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ                  
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в упражнениях
и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов», том
2,   «Наука», Москва, 1965