Каталог :: Математика

Доклад: Интересные примеры в метрических пространствах

     Интересные примеры
 в метрических пространствах:
     
     
     
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с
обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в
достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с
ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную 
-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри
этого куба.
     1.              Единичная сфера S в пространстве l2 
дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим
в S точки вида:
                                 е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
                                 е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
..........,
                                 еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
...........
     

Расстояние между любыми двумя точками еn и е м (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {е i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2. Рассмотрим в l2 множество П точек x=(x1, x2, ¼, xn, ...), удовлетворяющих условиям: | x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ... Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2. Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) из того же множества. При этом r(x,x*)=£<1/2n-1<e/2. Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, x n, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в то же время e-сетью во всем П. Докажем это. Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2. "xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем x**: r(x*,x**)<e/2. Тогда: r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e. Множество П* содержит точки вида x*=(x1 , x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как r(x,x**)<e.