Каталог :: Математика

Реферат: Аркфункции

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных
функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.
Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.
Решение: Рассмотрим 1-ю функцию
     
y
y
y = arcsin(1/x)
π/2
-π/2
Д(f): | 1/x | ≤ 1 , | x | ≥ 1 , ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
y
x
Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;π/2] )
y
Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-π/2; π/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда
π
y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ∞ ; -1 ] U [ 1; + ∞ )
Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2).
π/2
Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1]
-1
0
f(x) возрастает на пр. [-1;0]
1
x
Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от π до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от π2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ∞ ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +∞ ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:
y
[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +∞ )

π/2
X

0< x <1< x <+∞

1
-1
u=1/(x2-1)

-1

+ ∞

- ∞

0

0
x
y=arctg(u)

- π/4

π/2

- π/2

0
-π/4
-π/2

Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x))
Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.

Аргумент

функция

arcsin(x)arccos(x)arctg(x)arcctg(x)
sinsin(arcsin(x))=x

cos

x

tg

x1 / x
ctg

1 / xx
Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и φ = arcsin(x) Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем 2. Из тождества следует: 3. Имеем 4. Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение Решение: Применяем формулу , имеем: Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: Пример №3. Пользуясь ... Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: Пример №5. Положив в формулах , и , получим: , Пример №6. Преобразуем Положив в формуле , Получим: Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:
arccos(x)
arcsin(x)
-1
1
y
x
Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга α, заключенная в интервале (- π/2; π/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sinα и заключена, так же как и α, в интервале (-π/2; π/2), следовательно Аналогично можно дугу α представить в виде арктангенса: А если бы дуга α была заключена в интервале ( 0 ; π ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: Так, например: Аналогично: Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). 1. Выражение через арктангенс. Пусть , тогда Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-π/2; π/2). Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-π/2; π/2). Следовательно, (1) (в интервале ( -1 : 1 ) 2. Выражение через арксинус. Т.к. , то (2) в интервале 3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -π/2 до 0, либо промежутку от π/2 до π и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. 4. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае , а для функции имеем: так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:
Х>0 X<0 При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и Таким образом, имеем окончательно: если , (4) , если
График функции
-1
1
Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:
, если , если 5. Аналогично установим, что при имеем: , если же , то Таким образом: , если (5) , если 6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения при имеем: Если же х<0, то Итак, , если (6) , если 7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то При имеем: Итак, , если (7) , если 8. Выражение арктангенса через арккотангенс. , если х>0 (8) ,если x<0 При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то . 9. Выражение арксинуса через арккотангенс. , если (9) , если 10. Выражение арккотангенса через арксинус. , если 0<x (10) , если х<0 11. Выражение арккотангенса через арктангенс. , если x>0 (11) , если x<0 Примеры: Пример №1. Исследовать функцию Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:
Y
y= 0 , если x>0 -π , если x<0 На чертеже изображен график данной функции
Пример №2. Исследовать функцию Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. , то получаем , откуда: на сегменте [0;1] Пример №3. Исследовать функцию Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). Приняв во внимание равенство , если , если получим: y = 0 , если , если Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x; и Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=π/6 имеем: но при х=5π/6 В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2π, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-π/2; 3π/2] величиной 2π. Если значение х принадлежит сегменту [-π/2; π/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [π/2; 3π/2], то в этом случае дуга π-х принадлежит сегменту [-π/2; π/2]; и, так как , то имеем y=π-х; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=π-х. Если значение х принадлежит сегменту [3π/2; 5π/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2π Если значение х принадлежит сегменту [-3π/2; -π/2], то y=-π-х Если значение х принадлежит сегменту [-5π/2; -3π/2], то y=х+2π Вообще, если , то y=х-2πk и если , то y=(π-х)+2πk График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2π. Если значение Х принадлежит сегменту [0; π], то y = x. Если х принадлежит сегменту [π; 2π], то дуга 2π-х принадлежит сегменту [0; π] и , поэтому: Следовательно, на сегменте [π; 2π] имеем y = 2π - x Если х принадлежит сегменту [2π; 3π], то y = x - 2π Если х принадлежит сегменту [3π; 4π], то y = 4π – x Вообще, если , то y = x - 2πk Если же , то y = -x + πk Графиком функции является ломаная линия

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции. Сказанное пояснено ниже на числовых примерах. Примеры. Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму Решение: эта сумма является суммой двух дуг α и β, где ; В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому . Вычислив синус дуги γ, получим: Т.к. сумма γ заключена на сегменте [-π/2; π/2], то Пример №2. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем: Откуда Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга γ оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем В рассматриваемом примере , так как дуги γ и заключены в различных интервалах, , а В данном случае Пример №4. Представить дугу γ, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса. Решение: имеем Обе дуги γ и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях. Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов. Пусть α и β – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до π/2 (первая четверть): , и Сумма α + β заключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса: ; Разность α – β заключена в правой полуокружности: Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса: ; Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; π/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса. Ниже приведены образцы соответствующих преобразований. 1. Преобразуем в арккосинус , где и Имеем: Откуда 2. Аналогично , где 0 < x < 1, 0 < y < 1 , где 0 < x < 1, 0 < y < 1 Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов. 1. Выразить сумму через арксинус По определению арксинуса и , откуда Для дуги γ возможны следующие три случая: Случай 1: Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1. В самом деле, при и , имеем: , и , откуда При x > 0, y > 0 для дуги γ имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) б) Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства: в случае а) и в случае б) В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений. Вычислив , получим: При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или Откуда и, следовательно, Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств ; но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому или Случай 2. В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим Случай 3. Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю: откуда Дуги γ и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ; в случае 2 и в случае 3 . Итак, имеем окончательно: , или ; x > 0, y > 0, и (1) ; x < 0, y < 0, и Пример: ; 2. Заменив в (1) x на –x получим: , или ; x > 0, y > 0, и (2) ; x < 0, y < 0, и 3. Выразить сумму через арккосинус и имеем Возможны следующие два случая. Случай 1: если , то Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;π] и что в этом промежутке косинус убывает, получим и следовательно, , откуда Случай 2: . Если , то , откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если . Из равенства следует, что дуги и имеют одинаковый косинус. В случае 1 , в случае 2 , следовательно, , , (3) 4. Аналогично , , (4) пример: 5. ; xy < 1 ; x > 1, xy > 1 (5) ; x < 0, xy > 1 При xy=1 не имеет смысла 6. ; xy > -1 ; x > 0, xy < -1 (6) ; x < 0, xy < -1 7. ; ; (7) ; 8. ; (8) ; 9. ; ; x > 1 (9) ; x < -1 10. (10) (11) , если (12) , если