Каталог :: Математика

Реферат: Возникнновение числа

                                Оглавление                                
Глава I. Возникновение числа...................................................2
1.1. Зарождение счета в глубокой древности.....................................2
1.2. Пальцевой счёт............................................................4
1.3. Появление систем счисления................................................6
1.4. Письменная нумерация у древних народов....................................9
Глава II. От натуральных чисел к комплексным..................................18
2.1. Натуральные числа........................................................18
2.2. Дробные числа............................................................20
2.3. Рациональные числа.......................................................26
     

Глава I. Возникновение числа

1.1. Зарождение счета в глубокой древности

Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века – палеолита. В течении сотен тысячелетий этого периода люди жили в пещерах, в условиях, мало отличавшихся от жизни животных, и их энергия уходила преимущественно на добывание пищи простейшим способом – собиранием её, где только это было возможно. Люди изготовляли орудия охоты и рыболовства, вырабатывали язык для общения друг с другом, а в эпоху позднего палеолита украшали своё существование, создавая произведения искусства, статуэтки и рисунки. Пока не произошёл переход от простого собирания пищи к активному её производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин и пространственных отношений. Лишь с наступлением этого фундаментального перелома, переворота, когда пассивное отношение человека к природе сменилось активным, мы вступаем в новый каменный век, в неолит. Самым трудным этапом, который прошло человечество при выработке понятия о числе, считается выделение им понятия единицы из понятия «много». Оно произошло, по всей вероятности, ещё тогда, когда человечество находилось на низшей ступени развития. В.В. Бобынин объясняет такое выделение тем, что человек обычно захватывает рукой один предмет, а это, по его мнению, и выделило единицу из множества. Таким образом, начало счисление Бобынин мыслит как создание системы, состоящей из двух представлений: единица и неопределенное множество. [1]. Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой. При выражении понятия «три» встретилось затруднение: у человека нет третьей руки; это затруднение было преодолено, когда человек догадался помещать третий предмет у своих ног. Таким образом, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре», так как с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой – возможность поместить по одному предмету у каждой ноги. На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или у ног, или соответствующими телодвижениями или жестами. Дальнейшее развитие счета относится, вероятно, к той эпохе, когда человечество ознакомилось с некоторыми формами производства – охотой и рыболовством. Человеку пришлось изготавливать простейшие орудия для овладения этими производствами. Кроме того, продвижение человека в холодные страны заставило его делать одежду и создавать орудия для обработки кожи. Мало-помалу сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудия. Все эти обстоятельства вынудили человека так или иначе вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями. Процесс счета уже не мог остановиться на четырех и должен был развиваться далее и далее. На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. Операция производится по принципу взаимно-однозначного соответствия: каждому пересчитываемому предмету в соответствие один из предметов, выбранных в качестве орудия счета (то есть один камешек, один узелок на веревке и т.д.). Следы такого рода счета сохранились у многих народов и до настоящего времени. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять. Это впоследствии привело к созданию более совершенных счётных приборов, сохранивших своё значение и до наших дней: русские счёты и сходный с ними китайский суан-пан.

1.2. Пальцевой счёт.

Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату – к своим пальцам. Быть может, первым актом счёта по пальцам было оказание предмета, указательным пальцем; тут палец сыграл роль единицы. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем распространяя свой приём на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. При этом такое расширение счётных этапов, очевидно, произошло в следствии возможности привести в однозначное соответствие пальцы рук и ног, что и отмечается у некоторых народов. Так, для выражения числа «двадцать» индейцы из Южной Америки противопоставляют пальцы на руках пальцам на ногах. В описываемую эпоху хозяйственные расчёты людей ограничивались тем, что после распределения пищи и одежды, захваченных в результате стычки с врагом, уже не было потребности помнить числа, возникшие во время расчётов, а потому счёт и не нуждался в наименованиях для чисел, а производился главным образом путём соответствующих жестов. Например, туземные жители Андоманских островов, расположенных в Бенгальском заливе Индийского океана, не имели слов для выражения чисел и при счете объяснялись теми или иными жестами. Отсюда видно, что жестикуляция при счете как пережиток еще надолго сохранилось у многих народов, которые не вырабатывали словесную нумерацию. Словесный счет начал развиваться, лишь когда ведущей формой производства стало сельское хозяйство. В ту пору постепенно возникла частная собственность, объектами которой служили поля, огороды, стада. Обладатели полей, домашних животных, будучи крепко связанными с ними, вынуждены были не только считать принадлежащие им объекты, но и запоминать их число, а это и толкнуло человека путь создания именованных чисел. Сначала запоминание проводилось весьма громоздким и неуклюжим способом: путем восстановления в памяти внешних признаков запоминаемых предметов. Например, обладатель стада волов запоминал количество принадлежащих ему животных по тем признакам, что один вол серый, другой – черный и т.д. Разумеется такой способ запоминания не мог быть пригоден, когда число запоминаемых объектов было большим. Следующей ступенью в развития наименования чисел надо признать появление описательных выражений совокупность нескольких единиц. Например, вместо наименования числа, выражающего два предмета, употреблялась фраза «столько, сколько у меня рук», наименование четыре передавалось фразой: «столько, сколько ног у животного». Итак, словесными выражениями нескольких предметов явилось преимущественно части тела человека и животного. В дальнейшем эти описания выражения у многих народов заменились наименованием соответствующих слов, и таким образом эти наименования закрепились за числами. Так, число два стало выражаться словами, обозначающими «уши», «руки», «крылья», четыре – «нога страуса» (четырехпалая) и пр. Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 – «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека». Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати и т.п., служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда. В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т.е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам. Например, у некоторых племен с островов Торресова пролива существуют только единица – «урапун» и двойка – «оказа». При помощи этоих чисел и происходит счет. На их языке три выражается, как «оказа урапун», четыре – «оказа оказа», пять – «оказа оказа урапун», шесть – «оказа оказа оказа» и т.д. Вот примеры счета некоторых австралийских племен: племя реки Муррей: 1 – «энэа», 2 – «петчевал», 3 – «петчевал энэа», четыре – «петчевал петчевал».

1.3. Появление систем счисления

Переход человека к пальцевому счету привел к созданию нескольких различных систем счисления. Самой древней из пальцевых систем счисления считается пятеричная. Эта система, как полагают, зародилась и наибольшее распространение получила в Америке. Её создание относится к этой эпохе, когда человек считал по пальцам одной руки. Очевидно, при таком способе счета делался какой-нибудь всякий раз, когда заканчивался отсчет всех пальцев одной руки. До последнего времени у некоторых племен пятеричная система сохранилась еще в чистом виде (например, у жителей Полинезии и Меланезии). Дальнейшее развитие систем счисления пошло по двум путям. Племена, не остановившиеся на счете по пальцам на одной руке, перешли к счету по пальцам второй руки и далее – по пальцам ног. При этом часть племен остановилась на счете пальцев только на руках и этим положило основу для десятичной системы счисления, а другая часть племен, вероятно большая, распространила счет на пальцы ног и тем самым создало предпосылки на основание системы с основанием 20. Такая система получила распространение главным образом среди значительной части индейских племен Северной Америки и Туземных обитателей Центральной и Южной Америки, а так же в северной части Сибири и в Африке. Десятичная система счисления является преобладающей у народов Европы. Однако это не означает, что в Европе эта система всегда была единственной: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранние пользовались другой системой. Естественной единицей высшего разряда при возникновении двадцатеричной системы явился «человек» как обладатель 20 пальцев. В этой системе 40 выражается как «два человека», 60 – «три человека» и т.д. Двадцатеричная система имеет большой недостаток: для её словесного выражения надо иметь 20 различных названий для основных чисел. Поэтому, когда у некоторых племен развилась десятичная система счисления, то и многие другие племена, употреблявшие двадцатеричную, постепенно отошли от нее, переняв десятичную. Как полагают, переходу от двадцатеричной системы к десятеричной способствовало и то, что с тех пор, как люди стали употреблять обувь, закрывавшую пальцы ног, возможность непосредственного счета двумя десятками утратилось. Двадцатеричная система в наше время в чистом воде не отмечена ни у одного народа; обычно она соединяется с десятичной или с пятеричной. Однако следы этой системы сохранились в называниях у некоторых, даже достигших высокого культурного развития народов. Так, например, у французов число 80 выражается словом quatre-vingts (четырежды двадцать), а 90 – словом quatre-vingt-dix (четырежды двадцатьт и десятьт), у грузин числа 40, 60 и 80 называются ормацы, сомацы и отхмацы, т.е. 2х20, 3х20 и 4х20 (где «оцы» означает 20, «ори» - 2, «сами» - 3, а «отхи» - 4). Числа 30, 50, 70 и 90 называются оцдаати, ормоцдаати, цамоцдаати и отхмоцдаати, т.е. 20+10, 2х20+10, 3х20+10 и 4х20+10. Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не сами пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Здесь процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки является счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; т.к. на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующий за суставом выше единицей являлось число 12, что и послужило двенадцатеричной системой счисления. Этот процесс иногда не останавливался на двенадцати, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда 12х5, т.е. 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам. Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами. Так постепенно, под влиянием потребностей экономического характера, человечество создавало свои методы счета и достигло, наконец, стройного метода, который в дальнейшем сознательного совершенствовался и упрощался, пока не превратился в метод, которым и пользуется современная математика.

1.4. Письменная нумерация у древних народов.

Если развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия, то дальнейший рост экономических потребностей у людей вел их по пути все большего и большего расширения и углубления понятия о числе. Особенно значительные сдвиги в этом смысле произошли, когда возникли государства с более или менее сложным государственным аппаратом, потребовавшим учета имущества и создание налоговой системы, и когда товарообмен перешел в стадию развития торговли с применением денежной системы. С одной стороны, это повлекло за собой зарождение письменной нумерации, а с другой – стали развиваться счетные операции, т.е. появились действия над числами. Своего рода запись чисел производилась еще в те отдаленные эпохи жизни человечества: все эти узелки, зарубки, нанизанные на шнур раковины, являлись ни чем иным, как зародышем записанного числа. Далее стали обозначать число 1 – одной черточкой, 2 – двумя, 3 – тремя и т.д. Развитие числовой записи всегда сопутствовало общему подъёму культурного уровня народов, а потому, протекало наиболее интенсивно в тех странах, которые быстро шли по пути развития государственности. Среди народов земного шара в наиболее благоприятных условиях для развития их экономической и политической жизни были такие, которые обитали на стыке трех материков: Европы, Африки и Азии, а также народы занимавшие территории полуострова Индостан и современного Китая. Природные условия в этих местах были на редкость разнообразны. Это разнообразие и крайняя дифференцированность наблюдались в развитии производительных сил и соответственно общественного быта. Государства расположенные на этих территориях, явились первыми в истории человечества государствами, где мы находим зародыш современных наук и математики в частности. Нумерация государств Древнего Востока и Рима. Древневавилонское государство располагалось в той части Месопотамии где наиболее сближаются русла рек Тигра и Евфрата. Главный город этого государства – Вавилон находился на берегу Евфрата. Расцвет вавилонского государства относится ко второй половине XVIII в. до н.э. Продукты сельского хозяйства (зерно, фрукты, скот) являлись предметами вывоза в соседние страны. Торговле благоприятствовало центральное положение Вавилона на берегу судоходных рек. Расцвет торговли повлек за собой развитие денежной системы мер. В Вавилоне была создана система мер аналогичная нашей метрической, только в основе её лежало не число 10, а число 60. Полностью эта система выдерживалась у вавилонян для измерения времени и углов, и мы унаследовали от них деление часа и градуса на 60 минут, а минуты на 60 секунд. Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты. Числовая запись у вавилонян возникла в весьма отдаленную эпоху. Предполагают, что вавилоняне заимствовали её у народов, которые жили на территории Вавилонского государства еще до его сформирования. Эта запись, подобно вавилонской письменности, производилась на глиняных табличках путем выдавливания на них треугольных клиньев, причем орудием для записи служил трехгранный брусок. Такого рода клинопись состояла главным образом из трех положений клинка: вертикального острием вниз, горизонтального острием влево и горизонтального острием вправо. При этом знак ▼ означал единицу, 3 – десяток. При помощи этих знаков, применяя еще метод сложения, можно было выражать и многозначные числа. Например, знак ▼▼▼ изображал 5, знак 33▼▼▼ – число 23 и т.д. ▼▼ Зарождение египетской культуры относится к периоду времени за 4000 лет до н.э. Предполагают, что в эту эпоху была создана и египетская письменность. Первоначально она носила иероглифический характер, т.е. каждое понятие изображалось в виде отдельного рисунка. Но постепенно иероглифические записи принимали несколько иную форму, именуемую иероглифической записью. Таким же методом производилась и запись чисел. При иероглифической записи числа выражались уже в десятичной системе, причем существовали особые знаки для разрядных чисел: единиц, десятков, сотен и т.д. Единица изображались знаком |, десяток , сотня , тысяча , десять тысяч , сто тысяч , миллион , десять миллионов . При этом если единица какого-нибудь разряда содержалась в числе несколько раз, то она столько же раз повторялась в записи, т.е. соблюдался закон сложения. Например, число 5 выражалось так: . Число 122 имело вид: . У египтян употреблялись только единичные дроби, т.е. такие которые выражают только одну долю в нашей записи имеют в числителе единицу (сакие дроби мы называем аликвотными). Исключение составила дробь 2/3, для которой существовал особый знак: ; ½ тоже имела особый знак , а все остальные выражались при помощи символа «ро», который имел вид . Чтобы изобразить какую-нибудь дробь рисовали этот символ и под ним ставили число, представлявшее знаменатель. Например, одна седьмая записывалась так: . Записи производились преимущественно красками на папирусе. Иногда же материалом для записи служили камень, дерево, кожа, холст. Текст вписывался в строки преимущественно справа налево и столбцами сверху вниз. Начальные понятия математики, зародившиеся в Древнем Китае, послужили развитию математической культуры соседних народов, которые занимали территорию современной Кореи Индокитая и с особенности Японии. В Китае рано начали накапливаться сведения математического характера и появилась запись чисел. При этом китайские иероглифические цифры были по записи еще сложнее египетских. (рис. в прил.). Но, помимо этих иероглифических цифр, в Китае имели распространение и более простые цифровые знаки, употреблявшиеся при торговых операциях. Выглядели они следующим образом: |=1; ||=2; |||=3; ||||=4; |||||=5; |=6; ||=7; |||=8;||||=9; 0=0. Запись чисел производилась столбцами сверху вниз. Большим преимуществом китайской записи чисел было введение в употребление нуля для выражения отсутствующих разрядов. Предполагают, что нуль заимствован из Индии в XII в. Уже с давних времен в Китае вошел в употребление счетный прибор саун-пан, по конструкции напоминающий современные русские счеты (рис. в прил.). Главное его отличие от русских счетов в том, что наши счеты основаны на десятичной системе счисления, а в саун-пан смешанная пятеричная и двоичная система. В саун-пан каждая проволока делится на две части: в нижней её части нанизано 5 косточек, а в верхней – 2. Когда нижней части проволоки отсчитаны все пять косточек, то они заменяются одной в верхней части; вде косточки в верхней части заменяются одной косточкой высшего разряда. На заре человеческой культуры в развитии математики Китай шёл далеко впереди Вавилона и Египта. Метод записи чисел у римлян, заимствован у древних этрусков – однго из племен Древней Италии. В этой записи сохранились следы пятеричной системы счисления, и числа выражались при помощи букв, а именно числа 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 обозначались собственно буквами I, V, X, L, C, D и M. Для более крупных чисел (10000, 100000, 1000000) существовали особые знаки. Для обозначения нуля знака не было. В записях они придерживались принципа сложения и вычитания: числа, написанные справа, прибавлялись, а числа написанные слева, вычитались от числа, написанного рядом с ним. Так, IX, XII, XC и CXXX означали соответственно 9, 12, 90 и 130. Римская запись чисел используется в наше время в тех случаях, когда надо записать какое-либо строго зафиксированное число, над которым не придется производить ни каких арифметических операций, например, дата постройки памятника или здания, век, глава в книге и т.п. Вследствие затруднительности вычислений, римляне прибегали к помощи пальцевого счета или абака. (рис). Этот абак представляет собой металлическую доску с желобками, вдоль которых могут передаваться жетоны. Продольных желобков девять, причем семь из них дают возможность отсчитывать единицы, десятки, сотни, тысячи, десятки тысяч, сотни тысяч и миллионы. Разряды единиц укрупняются при переходе от правых желобков к левым (как это возможно видеть на рисунке). Два же самых правых желобка дают возможность вести отсчет дробных долей . желобки для целых чисел разделяются на две части: в верхней помещен один жетон, а в нижней – четыре. Верхний жетон заменяет пять нижних. Второй желобок справа тоже разделен на две части и дает возможность отсчитывать двенадцатые доли, причем верхняя его часть содержит один жетон, а нижняя – пять. Самый правый желобок разделен на три части, из которых верхняя даёт отчет 24-х долей, средняя 48-х и нижняя – 72-х. На правом чертеже представлен отчет, равный 84 071+2|12+1|72. Числа в Индии. Особенно ценный вклад в арифметику внесен индийцами. В этом отношении математика обязана индийцам упорядочением числовой записи при помощи введения цифр для десятичной системы счисления и установления принципа поместного значения цифр. Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами. Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись. Введение нуля, цифр и принципа поместного их значения облегчило вычислительные операции над числами, а потому арифметические вычисления и получили в Индии значительное развитие. Главное преимущество введения индийцами методов записи чисел заключатся в том, что они значительно уменьшили количество цифр, применяли позиционную систему к десятичному счету и ввели в употребление знак нуля. В то время как у греков, евреев, сирийцев и т.д. для записи чисел употреблялось до 27 различных цифровых знаков, у индийцев число таких цифровых знаков снизилось до 10, включая и обозначение нуля. Что касается позиционной системы, её зачатки были еще у вавилонян, но там эта система применялась для шестидесятеричного счета, а индийцы ввели её для десятичного. Наконец, применение знака для нуля при позиционной системе дало большое преимущество перед записью чисел у вавилонян. Так, например, у вавилонян значок ▼ мог обозначать и единицу и 1/60, и вообще любое число вида 60n, а в записи у индийцев знак 1 мог обозначать только единицу, так как для обозначения десятка, сотни и так далее после единицы записывалось соответствующее число нулей. Процесс записи чисел и проведение арифметических операций над ними делались индийцами на белой доске, засыпанной красным песком. Орудием для записи служила палочка. Таким образом, при записи на красной поверхности появлялись белые знаки, прочерченные палочкой. Числа народов Средней Азии. Начиная с VII в. в истории народов, входящих в состав государств Средней Азии и Ближнего Востока значительную роль начинает играть арабское государство. Из мелких арабских государств, целиком умещавшихся на Аравийском полуострове в VII-VIII вв., был создан арабский халифат – государство, занимающее огромную территорию. В его состав вошли, кроме основной территории арабов, Палестина, Сирия, Месопотамия, Персия, Закавказье, Средняя Азия, Северная Индия, Египет, Северная Африка и Пиренейский полуостров. Столицей халифата сначала был Дамаск, а затем в VIII в. вблизи бывшего Вавилона был построен новый город – Багдад, куда и была перенесена столица. Так многие из представителей народов, вошедших в халифат, писали на арабском языке, то буржуазные историки неправильно включают работы ученых этих народов в число работ арабов. Первым по времени крупным математиком был у народов входивших в состав халифата, мы назовем великого узбекского (хорезмийского) математика и астролога IX в. Мухаммеда бен Мусса аль-Хорезми (2-я половина VIII в. – между 830-840). Сочинение аль-Хорезми по арифметике дошло до нашего времени только в переводе на латинский язык. Оно сыграло значительную роль в развитии европейской математики, так как именно в нем европейцы познакомились с индийскими методами записи чисел, то есть с системой индийских цифр, с употреблением нуля и с помесным значением цифр. Вследствие того, что сведения эти были получены европейцами из книги, автор которой жил в арабском государстве и писал на арабском языке, индийские цифры десятичной системы стали неправильно именоваться «арабскими цифрами». Нумерация на Руси. Восточно-славянские племена, древние предки русской, украинской и белоруской народностей начали формироваться около 2-3 т. лет до н.э. В VII и VIII вв. у славян появились первые города. Первыми большими городами Руси были Киев и Новгород. В X в., в княжение Владимира Святославовича (?-1015), древнерусское государство (Киевская Русь) достигло наибольшего расцвета и могущества. По развитию культуры оно занимало одно из видных мест среди государств Европы. На Руси в эту эпоху параллельно с общим развитием культуры шло сравнительно быстрое распространение сведений из математики. Правда, до нашего времени не сохранилось никаких памятников математической литературы, которые давали бы нам возможность судить о развитии математики на Руси в IX-X вв., но документы другого характера позволяют делать некоторые выводы в этом отношении. Первым русским памятником математического содержания до настоящего времени считается рукописное сочинение новгородского монаха Кирика, написанное им в 1136 г. и носящее заголовок «Критика диакона и доместика Новгородского Антониева монастыря учение имже ведати человеку числа всех лет». В этом сочинении Кирик выявил себя весьма искусным счетчиком и великим числолюбцем. Основные задачи, которые разрешаются Кириком, хронологического порядка: вычисление времени, протекшего между каким-либо событием. При вычислениях Кирик пользовался той системой нумерации, которая называлась малым перечнем и выражалась следующими наименованиями: 10000 – тьма, 100 000 – легион, или неведий, 1 000 000 – леодр. Кроме малого перечня, в Древней Руси существовал еще больший перечень, который давал возможность оперировать с очень большими числами. В системе перечня основные разрядные единицы имели те же наименования, что и в малом, но соотношения между этими единицами были иные, а именно: Тысяча тысяч – тьма; Тьма тем – легион, или певедий; Легион легионов – леодр; Леодр леодров – ворон; 10 воронов – колода. В последнем из этих чисел, т.е. о колоде, говорилось: «И более сего несть человеческому уму разумевати». Единицы, десятки и сотни изображались славянскими буквами с поставленным над ними знаком , называемым титло, для отличия цифр от букв. Тысячи изображались теми же буквами, но перед ними ставился знак Так, изображала единицу, - двадцать два, - шесть тысяч и т.д. Тьма, легион и леодр изображались теми же буквами, но для отличия от единиц, десятков, сотен и тысяч они обводились кружками. Так, изображало три тьмы; - три легиона, а - три леодра. К XVI в. относится изобретение замечательного счетного прибора, получившего впоследствии название «русские счеты» (рис). Как полагают, идея создания этого прибора принадлежит русским купцам Строгоновым. Дроби в Древней Руси назывались долями, позднее «ломанными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: - половина, полтина, - треть, - четь, - полтреть, - полчеть, - полполтреть, - полполчеть, - полполполтреть (малая треть), - полполполчеть, - пятина, - седьмина, - десятина. Славянские нумерации употреблялись в России до XVI в., лишь в этом веке в нашу страну постепенно стала проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Глава II. От натуральных чисел к комплексным

2.1. Натуральные числа

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального числа протекал следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлеченного числа отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавались различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались индивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, то есть выражалось разными словами для предметов разного рода, такими , как «толпа», «стадо», «куча» и т.д. Источником возникновения понятия возникновения отвлечённого числа является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени число становится отличенным, не зависящим от качества считаемых предметов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших чисел стала использоваться новая идея – обозначения некоторого определенного числа (у большинства народов - десять) новым знаком, например зарубкой на другой палочке. С развитием письменности возможности воспроизведения числа значительно расширились. Сначала числа стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших чисел. Вавилонские клинописные обозначения числа, так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначения для числа. Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное число при помощи десяти знаков – цифр. Таким образом, параллельно с развитием письменности понятие натурального числа закрепляется в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной. Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Натуральные числа, кроме основной функции – характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию – характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового числа (первый, второй и т.д.). В частности, расположения в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых чисел является наиболее употребляемым с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов.). Вопрос об обосновании понятия натурального числа долгое время в науке не ставился. Понятие натурального числа столь привычное, что не возникло потребности в его определении в терминах каких- либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа – с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального числа. Отчётливое определение понятия натурального числа на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг.19в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощности, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется что-то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального числа как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному из считаемых предметов и предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на эталонную совокупность на ранних ступенях – пальцы рук и зарубки на палочке и т.д. на современном этапе – слова и знаки, обозначающие число. Определение данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количественного числа в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

2.2. Дробные числа

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь. Объём, время и другие величины. Приходится учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. В истории развития дробного числа мы встречаем дроби трёх видов: 1) доли или единичные дроби, у которых числитель единица, знаменателем же может быть любое целое число; 2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа, знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени десяти или шестидесяти; 3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми числами. Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные эпохи. Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми знаменателями. Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития. Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после себя прекрасные памятники искусства, владели многими отраслями техники, однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей (и дроби ). Если задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его представляли в виде суммы единичных дробей или долей. Если, например, ответ по нашему был, египтяне представляли его в виде суммы ++ и писали без знаков сложения: . Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего знака, число целых единиц и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем вместо . Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными дробями делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы сказали бы, что каждый получает хлеба. Для египтянина не было числа , но он знал, что от деления 7 на 8 получается ++ . Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2 хлеба – на четвертинки и 1 хлеб – на осьмушки и распределяет доли между получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов. Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит такая же задача деления хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче египетский способ решения является более практичным. Решение задач практической жизни при помощи одних лишь долей (египетский способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков. Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. В этих дробях знаменателем служат числа 60; 602 = 3600, 603 = 261 000, 604, 605 и т.д., и они сходны с нашими десятеричными дробями. Шестидесятеричными дробями пользовались все культурные народы до XVII века, особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них – обыкновенными или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор: минута есть 1/60, секунда 1/602 = 1/3600, терция 1/603 = 1/216 000 часть числа. Десятичные дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических дробей. К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе. Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там существовала десятичная система мер длины. Примерно в III в н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объёма. Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую форму. Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке: 1 лан = 10 цянь = 102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105 сы = 106 хо. Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических, конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер, то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных десятичных дробей. Целую часть от дробной стали отделять особым иероглифом «дянь» (точка). Однако в Китае, как и в древние, так и в средние века десятичные дроби не имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с метрологией. Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в 80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе нидерландским математиком Симоном Стевином. В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей. В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с переходом от одного основания к другому. Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е. попал в трудное положение. Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных дробях. Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях. В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет: «Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются 60 и его последовательные степени. По аналогии мы ввели дроби, в которых последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени.». Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными терциями» и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации. Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби. Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Оно вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую[1], а пишет целую часть черными чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной вертикальной чертой. Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным [2]. Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал небольшую книгу под названием «Десятая». Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию десятичных дробей. Запись десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как он записывал число 35,912: 35 0 9 1 1 2 2 3 или Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами указывается десятичный разряд: 1 – десятые, 2 – сотые и т.д. Стевик указывал на большое практическое значение десятичных дробей и настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер. Дробь общего вида. Дроби общего вида , в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков – ал-Хорезми и других – вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее распространения десятичных дробей. В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно, десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый новый вид счисления, не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли подобающее место в нашем обиходе.

2.3. Рациональные числа

Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, к-ое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального числа, принципиальных затруднений. Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.
[1] Запятая вообще, как знак препинания, была введена на рубеже XV и XVI вв. венецианским типографом Альф Мануцци. Он же стал прилагать к книгам оглавление [2] До Симона Стевина десятичные дроби употребляли Рудольфом, Ризе и Виет. Виет явно рекомендовал применять десятичные дроби вместо шестидесятеричных. Число 314, 1592636, например, Виет записывал так: 314, 159, 263,6.