Каталог :: Математика

Билеты: Билеты по геометрии (11 класс)

                                Билет № 3                                
1.        Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
2.        Объем призмы.
     1.Три случая расположения прямой и плоскости.
1.Плоскость и прямая имеют одну оющую точку a ÈA
2.Прямая лежит в плоскости  а значит имеет с ней 2 общие точки.
1.Пряммая и плоскость не имеют общих точек т.е.a÷ï a
     2.Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.
     Д-во:  Рассмотрим правильную 3-угольную призму АВСА1В
1С1с объемом V  и высотой h.
Проведем такую высоту ∆АВС (ВD) кот. разделит этот ∆на 2 ∆.
Поскольку ВВ1D разделяют данную призму на 2 призмы , основания кот
является прямоугольный ∆ABD и ВСD. Плэтому  объем V1 и V2 
соответственно равны SABD ·h и SВСD 
·h. По св-ву 20 объемов V=V1+V2 т.е
V= SABD ·h+ SВСD ·h= (S
ABD+ SВСD) h. Т.о. V=SАВС·h
     Д-во Возьмем  произвольную прямую призму с высотой h и
площадью основания S. Такую
призму можно разбить на прямые треугольные призмы с высотой h. Выразим
объем каждой треугольной призмы по формуле (1) и сложим эти объемы. Вынося за
скобки общий множитель h, получим в скобках сумму площадей оснований
треугольных призм, т. е. площадь S основания исходной призмы. Таким образом,
объем исходной призмы равен произведению Sh. Теорема доказана.
Рассмотрим случай , когда призмая является частью параллелепип-ида. Диогональное
сечение делит параллелепипед на 2 равные треугольные призмы. Так как Sпол 
= 1//2 ab то S=ab =>V
= Sh ч.т.д.
                                 Билет №5                                 
1.        Перпендикуляр к наклонной плоскости(формулировки, примеры)
2.        Объем цилиндра.
     1.Рассмотрим пл α и т А, не лежащую в этой плоскости.
Проведем через т А прямую,^ к пл α, и обозначим букв H т
пересечения этой прямой с пл α .Отрезок АН называется, ^ 
проведенным из 
     т А к пл α, a т Н — основанием ^. Отметим в пл α
какую-нибудь т М,отличную от Н, и проведем отр AM.Он
называется наклонной, про-вед из т А к пл α , а т М
основанием наклонной. Отрезок НМ наз-ывается проекцией наклонной на
пл α. Сравним ^ АН и наклон-ную AM: в прямоугольном
∆АМН сторона АН — катет, а сторона AM - 
гипотенуза, поэтому АН<АМ. Итак, ^, проведенный аз данной т к пл, меньше
любой наклонной, проведенной из той же т к этой пл.
=> из всех расстояний от т А до различных т пл α наименьшим
является расстояние до т H. Это расстояние, т. е: длина ^, проведенного из т 
А к пл α , называется расстоянием от т A до пл α
Замечаиия. 1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости
равноудалены от другой плоскости.
     2. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
     Д-во. Впишем в данный цилиндр Р радиуса r и высоты h правильную
n-угольную призму Fn а в
эту призму впишем цилиндр Рп . Обозначим через V и Vn 
объемы цилиндров Р и Рп, через rп — радиус цилиндра Р
п. Так как объем призмы  Fn  равен Snh, где Sn
- площадь  основания  призмы, а цилиндр Р содержит призму Fn , кот в
свою очередь , содержит цилиндр Рп , то Vn<Sn
h<V. Будем неограниченно увеличивать число n. При этом  радиус rп  
цилиндра Рп стремиться  к радиусу r цилиндра Р(rп
=rcos180/n®r при r→∞). Поэтому V  цилиндра Рп стремиться
к объему цилиндра Р: limVn=V. Из равенства (Vn<S
nh<V) =>, что
                                                                n→∞
limSnh=V. Но limSn=πr2 Т.о V=πr2
h. т.к πr2=S  , то получим V=Sоснh.
n→∞                                n→∞
                                                              

Билет № 6

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми (формулировки, примеры) 2. Объем конуса. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью , проходящей через другую прямую параллельную первой , называется расстояни6е между скрещивающимися прямыми. Если две прямые скрещиваются то через каждую из них проходит плоскость параллельная другой прямой , и при том только одна. 2 Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Д-во Рассмотрим конус с объемом V, радиусом основания R, высо-той h и вершиной т О . Введем ось Ох (ОМ). Произвольное сечение конуса пл. , ^ к оси Ох , является кругом с центром в т М1 пересе-чения этой пл. с осью Ох. Обозначим радиус через R1 ,а S сечения через S(х) , где х – абсцисса т М1 . Из подобия прямоугольных ∆ ОМ 1А1 и ОМА=> что

ОМ1

=

R1

, илиx=

R1

откуда R= xRтак как

S(x)= pR12

,тоS(x)=

pR2

ОМRhR h

h2

Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а=0, b=0, получим

h

h

h

V=

πR2

x2dx=

πR2

x2dx=

πR2

×

x3

½=

1

πR2 h

h2

h2

h2

3

3

0

0

0

Площадь S основания конуса равна pR2, поэтому V=1/3Sh. Следствие. Объемом V усеченного конуса , высота кот равна h, а площадь оснований S и S1вычисляется по формуле V=1/3 h(S·S1+√ S·S1). Билет №7 1. Угол между скрещивающимися прямыми 2. Площадь боковой поверхности цилиндра. 1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В 1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1 =φ, то будем говорить , что ∠ между скрещивающимися прямыми АВ и СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М 1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А 2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD Т.к А1В1∥ А2D2 , С1 D1∥ C2D2 , то стороны углов с вершинами в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ∠А1М 1С1 и ∠А2М2С2 , ∠А 1М1D1 и∠А2М2D2 ) потому эти ∠ равны , ⇒ что ∠ между А2В2 и С2D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ 2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению длинны окружности основания на высоту Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr , AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок цилиндра принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА = 2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула S бок=2πrh Билет № 9 1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры) 2. Сложение векторов. Свойства сложения. 2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется суммой векторов а и b : АС=a+b. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А 1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1 Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н. );(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА Билет № 10 1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки , примеры) 2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число. 1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями. У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейный угол двугранного угла. (Ð АОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА 1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в одной грани ^к ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1О1В1 =ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°, <90°, >90°) 2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор b , длинна которого равно |k|·|a| , причем вектор a и b сонаправлены при k0 и противоположно направлены при k<0. Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор. Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства: (kl)a= k(al) (сочетательный з-н) k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н) (k+l)a=ka+la ( II-ой распределительный з-н) отметим, что (-1)а является вектором противоположному вектору а, т.е. (-1)а = -а. Действитель-но, длины векторов (-1)а и а равны: |(-1)a| =|(-1)|×|а|=а. Кроме того , если вектолр а ненулевой , то векторы (-1) а и а противоположно направлены. Точно так же, как в планеметрии, можно диказать, что если векторы а и b коллинеарны и а¹0 , то существует число k такое, что b= ka. Билет № 11 1. призма (формулировки , примеры) 2. Скалярное произведение векторов. 1. Призма. Рассмотрим два равных многоугольника А1А2. ., Ап и В1В2....Вп, расположенных в параллельных пл-тях а и р так, что отрезки А1В 1 2В2, ..., АпВп, соединяющие соответственные вершины мн- ков, параллельны.Каждый из п 4-хугольников A1A2 B2B1, А2А3В3В2 , .... AnA1B1Bn является п-ммом, так как имеет попарно параллельные про-тивоположные стороны. Мн-к, составленный из 2 равных мн-ков А1A2...An и В1В2...Вп, расположенных в параллельных пл-тях, и n п-ммов наз призмой Мн-ки A1A 2....An и B1B2...Bn наз основаниями, а п-ммы-бокоеыми гранялш призмы.От резки А1 В1, А2В2 ..., АпВп наз бо-коеыми ребрами призмы. Эти ребра как противрпрложные стороны п-ммов последовательно приложенных друг к другу, равны в парал-лельны.Призму с основаниями A1A2....An и B1B2 ...Bn обозначают-A1A2 ....Аn В1В2...Вn и называют п-угольной призмой.4-ехугольная призма- параллелепипед. ^, проведенный из какой-нибудь точки одного ос-нования к плоскости другого основания, называется высотой приз-мы. Если боковые ребра призмы ^ к основаниям, то призма наз пря-мой, в противном случае –наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.Прямая при-зма называется пра-вильной, если ее основания — правильные мн-ки. У такой призмы все боковые грани -равные прямоугольники S полной поверхности. призмы называется сумма площадей всех ее граней, а S боковой поверхности призмы— сумма площа-дей ее боковых граней. Пло-щадь S полн полной повер-хности выра-жается через площадь S6os боко-вой поверхности и пло-щадь Sосн ос-нования призмы форму S полн = S6oк+ 2Sосн. 2. Скакалярным произведением 2-ух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними Скал-ое произведение векторов а и b обозначают так :аb . Т. о. ab=|a|×|b| cos (ab). Скал-ое произведение вектора равно 0 тогда, когда эти векторы ^; скал-ый квадрат вектора(т.е скал-ое призведение вектора на себя) = квадрату его длинны.. Скал-ое произведение 2-ух векто-ров можно вычислить, зная координаты этих векторов:скал-ое произведение векторов а{x1;y1;z1 } и b{x2;y2;z2}выражается формулой: аb= x1 x2+y1y2+z1z2. Косинус Ð a между ненулевыми вектора-ми а{x1;y1;z1 } и b{x2;y2;z2} вычисляется формулой.
соsa=

x1x2+y1y2+z1z2.

В самом деле, так как а b =|а|×|b|, тоcosa= ab

√x12+y1²+z12 ⋅√ x22+y2²+z22

|a|×|b|
Подставив сюда выражения для ab, |а|и|b| через координаты векторов а и b получим эту формулу. Для любых векторов а,b и c и любого числа k справедливы равенства: 10.а2 ³) , причем а2>0 при а¹0 20.ab=ba(переместительный з-н) 30.(a+b)c=ac+bc(распределительный з-н) 40.k(ab)=(ka)b (сочетательный з-н) Утверждения 1⁰-4⁰относятся и к планиметрии Нетрудно док-ть , что распределительный з-н имеет место для любого числа слагаемых( (a+b+c)d=ad+bd+cd.)

Билет № 12

1. Прямая и правильная призма(формулировки примеры) 2. Существование плоскости , проходящей через данную прямую и данную точку. 1.Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то призма нвзывается прямой, в противном случае наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру. Прямая призма называется правильной, если ее основания- правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани – равные прямоугольники. 2. Теорема. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и приом только одна . Д-во. Рассмотрим пр а и не лежащую на ней т М. Отметим на прямой а 2 точки Р и Н Точки М,Р и Н не лежат на одной прямой поэтому согласно аксиоме А1 через эти 3 точки проходит пл a. Т.к. 2 точки прямой РиН лежат в пл a., то по аксиоме А2 пл a.проходит через прямую а.Единственность пл, проходящай через прямую а и т М, => из того, что любая пл., проходящая через пр а и т М, проходит через т М, Р и Н .=>, она совпадает с пл a., т.к по аксиоме А1через 3 точки проходит только одна плоскость. Билет № 13 1. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед(формулировка примеры) 2. Теорема о боковой поверхности призмы. 1. Прямоугольный параллелепипед. Параллелепипед называется прямоугольник, если его боковые ребра ^к основанию, а основания представляют собой прямоугольники: коробки, ящики, комнаты к т. д. прямоугольный параллелепипед ABCD A1B 1C1D1.Его основаниями служат прямоугольники ABCD и A1B1C1D1 a боковые ребра АА1, ВВ1, СС1 и DD 1 ^ к основаниям. Отсюда=>, что АА1^АВ, т. е. боковая граyь АА1В1В — прямоуголь-ник. To же самое можно сказать и об остальных боковых гранях. Та-ким образом, мы обосновали следующее свойство прямоугольного параллелепипеда: 1°. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней прямоугольники. Полупл, в кот расположены смежные грани парал- да, образуют двугранные углы, кот называются двугранными углами параллелепипеда. 2°. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипедапрямые. Длины трех ребер, имеющих общую вершину, назовем измерениями прямоугольного парал-да. Например, у парал­-да, можно взять длины ребер АВ, AD и АА1.Длины смежных сторон можно назвать измерениями прямоугольника и поэтому можно сказать, что квадрат диагонали, прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений. 2. Теорема: S боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Д-во. Боковая поверхность прямой призмы – прямоугольники , основания которых- стороны основания призмы, а высота равна h призмы. S боковой поверхности призмы равна сумме произведений указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания нв высоту h. Вынося множитель h за скобки получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е его периметр P. Итак Sбок=Ph S=AB•h+BC•h+CA•h=h(AB+BC+CA)=Ph Билет № 14 1. Пирамида(формулировка , примеры) 2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку. 1. Пирамида. Рассмотрим многоугольник А1А2.Аn и точку Р не лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2А3.,РаnА1. Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2.Аn и n тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1 А2n назы-вается основанием, а треугольники- боковыми гранями пирамиды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а отрезки РА1,РА2, ., РАn – её боковыми ребрами . Пирамиду с основанием А1А2,.Аn и вершиной Р обозначают так: РА1А2.Аn –и называют n –угольной пирамидой. Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды (РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых граней 2. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна. Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана. Билет № 15 1. Цилиндр (формулировки и примеры) 2. Признак параллельных прямых. 1. Цилиндр. Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов образующих расположенных в пл β заполним окружность L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость ⊥ к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу . Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о параллельных прямых. Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна. Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана. Билет №16 1. Конус (формулировки и примеры) 2. Признак параллельности прямой и плоскости 1.Конус. Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р Поверхность, образованная этими отрезками называется конической поверхностью а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело, ограниченное конической поверхностью и круг-ом с границей L, называется конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину , называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости основания. Отрезок ОР называется высотой конуса. Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы. Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если секущая плоскость ⊥ к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг с центром в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1 этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания конуса , что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО1М 1 2.Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Теорема. Если прямая , не лежащая в даннойц плоскости, палаллльна какой-нибудь прямой , лежащей в этой плоскости, то она параллнльна данной плоскости. Д-во. Рассмотрим пл.αи 2║прямые a и b , расположенные так, что прямая b лежит в пл α, а прямая a не лежит в этой пл. Докажем, что α║a. Допустим, что это не так, тогда прямая a пересекает пл α , а значит по лемме о пересечении пл параллельными прямыми пр b так же пересекает пл α . Но это невозможно , так как пр b лежит в пл α. Итак пр a не пересекает пл α, поэтому она ║этой плоскости. Билет № 17 1. Сфера, шар( формулировки, примеры) 2. Признак параллельности плоскостей. Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен. пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы.Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек. 2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, другой плоскости, то эти плоскости праллельны. Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости α лежат пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a1 и b\, причем a||a1 и b||b1. Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β, и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с. Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b , параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая, параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β. Теорема доказана.

Билет № 18

1.Формула прямоугольногопараллелепипеда. (формулировка и пример) 2. Свойства перпендикулярности прямой и плоскости( доказательство одного из них) 2. Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой , лежащей в этой плоскости. Теорема. Если одна из 2-ух параллельных прямых перпендикуляр-на к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-кости. Д-во. Рассмотрим 2 ║а и а1 и пл α, такую, что а^α. Докажем, что и а1^α.. проведем какую-нибудь прямую х в пл α. Так как а^α, то а^х. По лемме о перпендикулярности 2-ух параллельных прямых к третьей а1^х. Т.о. прямая а1 ^ к любой прямой , лежащей в пл a т.е а1 ^α. Теорема. Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости , то они параллельны.

Билет №20

1. Фрмула обьема шара( формула примеры) 2. Теорема о трех перпендикулярах 1. Теорема: Объем шара радиуса R равен 4/3 pR3 Д-во: Рассмотрим шар радиуса R с центром в т.О и выберем ост Ох произвольным образом. Сечение шара пл. ^к оси Ох и проходящей через т М этой оси является кругом с центром в т М. Обозничим радиус этого круга r , а его площадь S(x), где х- абсц-исса т М. Выразим S(х)через х и R.Из прямоуголь-ника ОМС находим: r=ÖOC2 –OM2 =ÖR 2-x2.Так как S(x)=pR2 ,то S(x)= p(R2- x 2). Заметим , что эта фор-мула верна для любого положения т.М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию -R£ x £R. Примеряя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим
V R R R R

px3

R4

=∫p(R2-x2)dx= pR2∫ dx-p∫x2dx=pR2x½-

½=

pR3

33
-R -R -R -R-R
2.Теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. Д-во. Дана пл α и перпендикуляр АН , АМ- наклонная, а- прямая, проведенная в пл α через т м ^ к проекции НМ наклонной. Докажем , что а ^АМ. Рассотрим пл АМН. Пр.а ^к этой пл, т.к она ^ к 2-ум пересекающимся прямым АН и МН(а ^ НМ по условию и а ^АН, т.к. АН^ α). Отсюда =>, что пр а ^ к любой прямой , лежащей в пл АМН, в частности а^АМ Обратная теорема. Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней перпендикулярна и к её проекции