Каталог :: Математика

Реферат: Кореляционные методы

                                Оглавление                                
     Введение
                                      3                                      
     1. Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях.
5
     2. Множественная регрессия и корреляция.
7
     3. Системы эконометрических уравнений.
9
     4. Моделирование одномерных временных рядов.
12
     5. Изучение взаимосвязей по временным рядам.
13
     6. Динамические эконометрические модели.
14
     Список используемой литературы
15
                                 Введение                                 
Единое общепринятое понятие эконометрики в настоящие время отсутствует. Сам
термин «Эконометрика» был введен в 1926 году норвежским ученным Р.Фришем и в
дословном переводе означает «экономические измерения». Наряду с таким широким
пониманием эконометрики, порождаемым переводом самого термина, встречается и
весьма узкая трактовка эконометрики как набора математическо-статистических
методов, используемых в приложениях математики в экономике.
Приводимые ниже определения и высказывания известных ученных позволяют
получить представление о различных толкованиях эконометрики.
Эконометрика – это раздел экономики, занимающийся разработкой и применением
статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими
переменными (С.Фишер)
Основная задача эконометрики – наполнить эмпирическим содержанием априорные
экономические рассуждения (Л.Кейн)
   Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов (Э.Маленово).   
Эконометрика является не более чем набором инструментов, хотя и очень
полезных. Эконометрика является одновременно нашим телескопом и нашим
микроскопом для изучения окружающего экономического мира (Ц.Трилехес).
Р. Фриш указывает на то, что эконометрика есть единство трех составляющих –
статистики, экономической теории и математики.
С.А.Айвазян полагает, что эконометрика объединяет совокупность методов и
моделей позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и
математики констатического инструментария придавать количественные выражения
качественными зависимостями.
Основные результаты экономической теории носят качественный характер, а
эконометрика вносит в них эмпирическое содержание. Математическая экономика
выражает экономические законы в виде математических соотношений, а
эконометрика осуществляет опытную проверку этих законов. Экономическая
статистика дает информационное обеспечение исследуемого процесса в виде
исходных (обрабатываемых) статистических и экономических показателей, а
эконометрика, используя традиционные математически статистические и
специально разрабатываемые методы, проводит анализ количественных
взаимосвязей между этими показателями.
Многие базовые понятия эконометрики имеют два определения – экономическое и
математическое. Подобная двойственность имеет место и в формулировках
результатов. Характер научных работ по эконометрике варьируется от
«классических» экономических работ, в которых почти не используется
математический аппарат, до солидных математических трудов, использующих
достаточно тонкий аппарат современной математики.
Экономическая составляющая эконометрии, безусловно, является первичной.
Именно экономика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а
результат, формируемый на математическом языке, представляет интерес лишь в
том случае, если удается его экономическая интерпретация. В то же время
многие эконометрические результаты носят характер математических утверждений
(теорем).
Широкому внедрению эконометрических методов способствовало появление во
второй половине ХХ века ЭВМ и в частности персональных компьютеров.
Компьютерные эконометрические пакеты сделали эти методы более доступными и
наглядными так как всю наиболее трудоемкую работу, по расчетам статистики,
параметров, построению таблиц и графиков в основном стал выполнять компьютер,
а эконометристу осталась главным образом: постановка задачи, выбор
соответствующих моделей и методов её решения, интерпретации результатов.
     1. Парная регрессия и корреляция в экономических исследованиях.     
Простая регрессия – регрессия между двумя переменными – у и х, т.е. модели вида
                                     у= f(х)                                     
где у - зависимая переменная (результативный признак);
х – независимая, или объясняющая, переменная (признак - фактор).
Множественная регрессия – регрессия результативного признака с двумя м
большим числом факторов, т.е. модель вида:
               у=f(х12,...,хк).               
Любое эконометрическое исследование начинается со спецификации модели, т.е. с
формулировки вида модели, исходя из соответствующей теории связи между
переменными. Иными словами, исследование начинается с теории, устанавливающей
связь между явлениями. Практически в каждом отдельном случае величина у
складывается из двух слагаемых:
                 уixii                 
где уi – фактическое значение результативного признака;
уxi – теоретическое значение результативного признака, найденное
исходя из соответствующей математической функции связи у и х, т.е. из уравнения
регрессии;
εi – случайная величина, характеризующая отклонения реального
значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению
регрессии.
Случайная величина ε называется также возмущением. Она включает влияние
не учтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее
присутствие в модели порождено тремя источниками: спецификацией модели,
выборочным характером исходных данных, особенностями измерения переменных.
В парной регрессии выбор вида математической функции у= f(х) может быть
осуществлен тремя методами:
ü      Графический метод – подбор вида уравнения регрессии достаточно
нагляден. Он основан на поле корреляции;
ü      Аналитический метод – основан на изучении материальной природы связи
исследуемых признаков;
ü      Экспериментальный.
Метод наименьших квадратов (МНК) – классический подход к оценке параметров
линейной регрессии. МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b при
которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного
признака (у) от расчетных (теоретических) ух минимальна
     Σ(уi-yxi)2             min.
Иными словами, из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается
так, чтобы сумма квадратов расстояния по вертикали  между точками и этой
линией была минимальной.
Нелинейная регрессия – если между экономическими явлениями существуют
соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.
Различают два класса нелинейных регрессий:
ü      Регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;
ü      Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:
ü      Степенная;
ü      Показательная
ü      Экспоненциальная.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в
эконометрических исследованиях очень широко используется степенная функция у=ах
bε. Связано это с тем что параметр b в ней имеет четкое экономическое
истолкование, т.е. он является коэффициентом эластичности. Это означает, что
величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем
результат, если фактор изменится на 1%.
Коэффициент детерминации – характеристика практической силы анализируемой
регрессионной модели.
Критерий Фишера (F) – показывает в какой мере регрессия лучше оценивает
значение переменной по сравнению с ее средней.
                 2. Множественная регрессия и корреляция.                 
Множественная регрессия может дать хороший результат при моделировании,
только лишь в том случае, если влиянием других факторов, воздействующих на
объект исследования, можно пренебречь.
Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов
связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи
моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы
включаемые в множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:
1 Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель
качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно
придать количественную определенность.
2 Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной
функциональной связи.
Коэффициенты интеркореляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными)
позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две модели
явно коленеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если r
XiXj>0,7.
Коэффициенты «чистой» регрессии – характеризуют среднее изменение результата
с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении
других факторов, закрепленных на среднем уровне.
Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с
помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента
детерминации.
Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть
найден как индекс множественной корреляции:
                    
где - общая дисперсия результирующего признака;
     - остаточная дисперсия для уравнения у=f(х12,...,хр).
Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила
название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же
самое, совокупного коэффициента корреляции.
          R=          
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции – характеризуют тесноту связи
между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других
факторов, включенных в уравнение регрессии. Показатели частной регрессии
представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет
дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии,
имевшей место до введения его в модель.
                  3. Системы эконометрических уравнений.                  
Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные
системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных
уравнений регрессии недостаточно для описания таких систем и объяснения
механизма функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии,
в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять
независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым:
практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при
абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменение во
всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое
уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния
отдельных признаков на вариацию результирующей переменной.
Система независимых уравнений – каждая зависимая переменная (у)
рассматривается как функция одного и того же набора факторов (х):
                    
Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система
взаимозависимых уравнений. Она получила название системы совместных,
одновременных уравнений, в ней одни и те же зависимые переменные в одних
уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях -  в правую часть
системы. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у)
одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как
независимые в других. В эконометрике это система уравнений называется также
структурной формой модели. В отличии от предыдущих систем каждое уравнение
системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и
для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью
используются специальные приемы оценивания.
Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели)
обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.
Эндогенные переменные – это зависимые переменные, число которых равно числу
уравнений в системе.
Экзогенные переменные – это предопределенные переменные, влияющие на
эндогенные переменные, но не зависящие от них.
Приведенная форма модели -  представляет собой систему линейных функций
эндогенных переменных от экзогенных:
                    
где δi – коэффициенты приведенной формы модели.
Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции
структурной формы модели.
При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь
сталкивается с проблемой идентификации. Индетификация – это единственность
соответствия между приведенной и структурной формами модели.
С позиции идентификацируемости структурные модели можно подразделить на три
вида:
ü      идентифицируемые;
ü      неидентифицируемые;
ü      сверхидентифицируемые.
Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются
однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной модели, т.е.
если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной
формы модели.
Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа
структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут
быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.
Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше
числа структурных коэффициентов.
Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений,
каждое из которых требуется проверить на идентификацию. Модель считается
идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо.
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в
зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее
распространение в литературе получили следующие методы оценивания
коэффициентов структурной модели:
ü      косвенный метод наименьших квадратов;
ü      двухшаговый метод наименьших квадратов;
ü      трехшаглвый метод наименьших квадратов;
ü      метод максимального правдоподобия с полной информацией;
ü      метод максимального правдоподобия при ограниченной информации.
Под системой эконометрических  уравнений обычно понимается система
одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей,
которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа
факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило,
не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических
процессов.
               4. Моделирование одномерных временных рядов.               
Временной ряд – это совокупность значений какого – либо показателя за
несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень
временного ряда формируется по воздействием большого числа факторов, которые
условно можно подразделить на три группы:
ü      факторы, формирующие тенденцию ряда;
ü      факторы, формирующие циклические колебания ряда;
ü      случайные факторы.
Аддитивная модель временного ряда – это модель, в которой временной ряд
представлен как сумма перечисленных компонент.
Мультипликативная модель – модель, в которой временной ряд представлен как
произведение перечисленных компонент.
Автокорреляция уровней ряда – корреляционная зависимость между
последовательными уровнями временного ряда.
Лаг – число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции.
Свойства коэффициента автокорреляции:
ü      Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким
образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего
уровней ряда.
ü      По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о
возрастающем или убывающей тенденции в уровнях ряда.
Последовательность коэффициента автокорреляции уровней первого, второго и
т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного порядка. График
зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.
Аналитическое выравнивание временного ряда – это построение аналитической
функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.
Кусочно-линейные модели регрессии – разделение исходной совокупности на две
подсовокупности (до времени t* и после момента t*) и
построить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии.
               5. Изучение взаимосвязей по временным рядам.               
Для того чтобы получить коэффициенты корреляции, характеризующие причино –
следственную связь между изучаемыми рядами, следует избавиться от так
называемой ложной корреляции,  вызванной наличием тенденции в каждом ряду.
Методы исключения:
ü      Методы, основанные на преобразовании уровней исходного ряда в новые
переменные, не содержащие тенденции. Эти методы предполагают непосредственное
устранение трендовой компоненты Т из каждого уровня временного ряда. Два
основных метода в данной группе – метод последовательной разности и метод
отклонения от трендов;
ü      Методы, основанные на изучении взаимосвязи исходных уровней
временных рядов при элиминировании воздействия фактора времени на зависимую и
независимые переменные модели. В первую очередь это метод включения в модель
регрессии по временным рядам фактора времени.
Методы автокорреляции остатков:
Первый метод – построение графика зависимости остатков от времени и
визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции.
Второй метод – использование критерия Дарбина – Уотсона и расчет величины
                    
Модель регрессии по скользящим средним – модель, где определяемые средние за
два периода уровни каждого ряда, а затем по полученным усредненным уровням
обычным МНК рассчитываем параметры а и b:
(yt+yt-1)/2=a+b(xt+xt-1)/2+ut/2
Коинтеграция – причино-следственная зависимость в уровнях двух (или более)
временных рядов, которая выражается в совпадении или противоположенной
направленности их тенденции и случайной колеблемости.
                 6. Динамические эконометрические модели.                 
Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К
модели первого типа относятся модели авторегрессии и модели с распределенным
лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды времени
непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую
информацию в неявном виде.
Лаг – это величина, характеризующая запаздывание в воздействии фактора на
результат.
Лаговая переменная – временной ряд самой факторной переменной, сдвинутый на
один или более моментов времени.
Краткосрочный мультипликатор – коэффициент регрессии bo при
переменной хt характеризует абсолютное изменение yt при
изменении хt на 1 ед. своего измерения в некоторой фиксированный
момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х.
Промежуточный мультипликатор – в момент (t+1) совокупное воздействие факторной
переменной хt на результат yt составит (b0+b
1) усл. ед., (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой  (b0
+b1+b2) и т.д.
Величина b – это долгосрочный мультипликатор. Но показывает абсолютное
изменение в долгосрочным периоде t+1 результата у под влиянием изменения на 1
ед. фактора х.
     

Список используемой литературы

1. Эконометрика под ред. И.И.Елисеевой М.: изд-во «Финансы и кредит», 2002. 2. Я.Р.Магнус, П.К.Катышев, А.А.Пересецкий «Эконометрика начальный курс» М.: изд-во «Дело» 2000.