Каталог :: Математика

Реферат: Асимптота

                      МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ,                      
                           МЕНЕДЖМЕНТА И ПРАВА                           
                                 РЕФЕРАТ                                 
     по дисциплине: Высшая математика
     на тему: Асимптоты (определение, виды, правила нахождения)
                                             Выполнила: студентка 1 курса
                                                       Экономического факультета
                                                            (вечернее отделение)
                                                                    Козлова М.А.
                                                    Проверил: Рошаль А.С.
                                                        

Москва 2002 год

2

Содержание

Введение 3

2. Нахождение асимптоты 4 2.1 Геометрический смысл асимптоты 5 2.2 Общий метод нахождения асимптоты 6 3. Виды 8 3.1 Горизонтальная асимптота 8 3.2 Вертикальная асимптота 9 3.3 Наклонная асимптота 10

Использованная литература 12

3

Введение

Асимптота, так называемая прямая или кривая линия, которая, будучи продолжена, приближается к другой кривой, но никогда не пересекает ее, так что расстояние между ними делается бесконечно малой величиной. Понятие асимптоты играет важную роль в математическом анализе. Они проводятся при изучении свойств многих кривых (гиперболы, конхоиды, логарифмич. линии, циссоиды и др.). 4 2. Нахождение асимптоты Пусть функция f (x) определена для всех x > а (соответственно для всех x < а). Если существуют такие числа k и l, что f(x) - kx - l = 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥), то прямая y = kx + l называется асимптотой графика функции f (x) при x ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥). Существование асимптоты графика функции означает, что при х ® + ¥ (или х ® - ¥) функция ведёт себя «почти как линейная функция», то есть отличается от линейной функции на бесконечно малую. x- 3x - 2 Найдём, например, асимптоту графика функции y = x +1 Разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, 2 2 получим y = x - 4 + x + 1 Так как x + 1 = 0 при х ® ± ¥, то прямая y = x-4 является асимптотой графика данной функции как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥. 5 2.1 Геометрический смысл асимптоты Рассмотрим геометрический смысл асимптоты. Пусть М = (x, f (x)) – точка графика функции f, М - проекция этой точки на ось Ох, АВ – асимптота, q - угол между асимптотой и положительным направлением оси Ох, q ¹, MP – перпендикуляр, опущенный из точки М на асимптоту АВ, Q – точка пересечения прямой ММ с асимптотой АВ (рис.1). (рис.1) Тогда ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) – (kx +l), MP = MQ cos q. Таким образом, MP отличается от MQ лишь на не равный нулю множитель cos q, поэтому условия MQ ® 0 и MP ® 0 при х ® + ¥ (соответственно при х ® - ¥) эквивалентны, то есть lim MQ = 0, то и lim MP = 0, и наоборот. х ® + ¥ х ® + ¥ Отсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от графика функции, то есть отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М = (x, f (x)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (при х ® + ¥ или, соответственно, х ® - ¥). 6 2.2 Общий метод отыскания асимптоты Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты, то есть способ определения коэффициентов k и l в уравнении y = kx + l. Будем рассматривать для определённости лишь случай х ® + ¥ (при х ® - ¥ рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции f имеет асимптоту y = kx + l при х ® + ¥. Тогда, по определению, f (x) = kx + l + 0 Разделим обе части равенства f (x) = kx + l + 0 на х и перейдём к пределу при х ® + ¥. Тогда lim = k. х ® + ¥ Используя найденное значение k, получим из f (x) = kx + l + 0 для определения l формулу l = lim (f (x) – kx). х ® + ¥ Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа k и l, что выполняется условие l = lim (f (x) – kx), то прямая y = kx + l является х ® + ¥ асимптотой графика функции f (x). В самом деле, из l = lim (f (x) – kx) имеем х ® + ¥ lim [f (x) - (kx + l)] = 0, х ® + ¥ то есть прямая y = kx + l действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие f (x) = kx + l + 0. Таким образом, формулы lim = k. и l = lim (f (x) – kx) х ® + ¥ х ® + ¥ сводят задачу отыскания асимптот y = kx + l к вычислению пределов определённого вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции f в виде f (x) = kx + l + 0, то k и l выражаются по формулам lim = k. и l = lim (f (x) – kx) х ® + ¥ х ® + ¥ Следовательно, если существует представление y = kx + l, то оно единственно. Найдём по этому правилу асимптоту графика функции f (x) = , найденную нами выше другим способом: 7 то есть мы, как и следовало ожидать, получили тоже уравнение асимптоты y = x – 4, как при х ® + ¥, так и при х ® - ¥. В виде y = kx + l может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Oy. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Oy. 8 3. Виды 3.1 Горизонтальная асимптота Пусть $ lim f (x) = b. Тогда говорят, что у функции f (x) имеется горизонтальная асимптота y = b. График функции чаще всего имеет такой вид (при x ® +¥) (рис.2)

(рис.2) хотя в принципе, может иметь и такой вид (рис.3) (рис.3) 9 3.2 Вертикальная асимптота
(рис.4) Пусть при x ® a ± 0 lim f (x) = ± ¥. Тогда говорят, что прямая x = a является х ® ¥ вертикальной асимптотой f (x). График функции f (x) при приближении x к а ведёт примерно так (рис.4), хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит f (x) в + ¥ или - ¥. Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда f (x) имеет вид . Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения 10 3.3 Наклонная асимптота (рис.5) Пусть уравнение асимптот есть y = ax + b. Значение функции при аргументе х есть d = ax + b – f (x). Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина d = ax + b – f (x) стремится к 0 при х ® ± ¥ lim [f (x) – (ax + b)] = 0. x ® ¥ Если эта величина стремится к нулю, то тем более стремится к нулю величина Но тогда мы имеем и так как последний предел равен нулю, то Зная а, можно найти и b из исходного соотношения Тем самым параметры асимптоты полностью определяются. Пример то есть асимптота при x ® +¥ имеет уравнение y=x. 11 Аналогично можно показать, что при x ® - ¥ асимптота имеет вид y = - x. Сам график функции выглядит так (рис.6) (рис.6) 12 Использованная литература 1. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г. 2. Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981 3. Лекции по математике