Каталог :: Математика

Статья: Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания

     БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЙ АДАПТИВНЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ В СИСТЕМЕ КОМПЕНСАЦИИ НЕИЗВЕСТНОГО
                                ЗАПАЗДЫВАНИЯ                                
                               А.В. Старосельский                               
          Московский Государственный Институт Электроники и Математики,          
                     Москва, Россия, E-mail:                      
Настоящая работа посвящена построению системы компенсации неизвестного
запаздывания. Наличие большого запаздывания, как известно [1], отрицательно
сказывается на работоспособности системы управления.
Для компенсации неизвестного запаздывания разработана адаптивная система,
состоящая из быстродействующего адаптивного наблюдателя, вычисляющего оценки
неизвестных параметров и запаздывания системы управления, и прогнозатора
Смита, компенсирующего это запаздывание.
Центральным моментом работы является построение алгоритма быстродействующего
адаптивного наблюдателя для оценивания неизвестного запаздывания, так как
прогнозатор Смита применим лишь в тех случаях, когда запаздывание априори
известно. Этот алгоритм основан на использовании метода настраиваемой модели.
Суть алгоритма изложена ниже.
Пусть поведение интересующего нас объекта описывается следующим
дифференциальным уравнением:
     ,                                      (1)
     ; 
Здесь a1=3, a0=2 - известные постоянные коэффициенты;  
- неизвестные постоянные. Тогда структурная схема соответствующего процесса
управления будет иметь вид, представленный на рис. 1. Здесь приборному
измерению доступны вход xd(t) и выход x(t) системы управления.
Построим быстродействующий адаптивный наблюдатель для идентификации неизвестных
параметров системы 
, а также прогнозатор Смита для компенсации запаздывания 
, после чего будем подставлять получаемые наблюдателем оценки  
в прогнозатор.
     
                                      
–
       Рис 1. Система управления для объекта с неизвестным запаздыванием.       
                     
                                                                            y(t)
v(t)
–
                                                                   +
–
                                         
        Рис. 2. Адаптивная система компенсации неизвестного запаздывания.        
На каждом из подынтервалов времени функционирования системы Jj 
настраиваемую модель опишем следующими уравнениями:
                                     (2)
     ,
где  - параметры модели, настраиваемые соответственно на параметры  объекта (1).
Введем ошибку e(t) = x(t) - y(t).
Конечная структурная схема системы управления с адаптивным наблюдателем и
прогнозатором Смита показана на рис. 2.
Система уравнений для выходного сигнала прогнозатора Смита v(t) и входного
сигнала объекта, прогнозатора и наблюдателя u(t):
                    
Уравнение для ошибки e(t) будет иметь вид (вычитаем (2) из (1) и линеаризуем
правую часть):
     ,                                     (3)
где  
Приведем (3) к системе уравнений первого порядка. Положим
                      
                    
Тогда в векторной форме уравнение (3) будет иметь вид
     +                              (4)
или в краткой форме
          ,          
где , , A=, Z= .
Решением (4) будет
                         (5)
или в краткой форме
                    
где Ф(t)= , R(t)=  - решения уравнений
                                                                         (6)
     .                                                         (7)
Перепишем первую строку системы (5) в виде
                                                        (8)
где
                    
                    
          .          
Здесь w(t) и  -
известные величины для любого t; вектор g содержит неизвестные параметры
объекта, а векторы bj (j=0,l,...,N-l) являются функциями
перестраиваемых параметров эталонной модели 
.
Набирая данные на каждом из подынтервалов Jj в моменты времени t
j1,...,tjm, образуем из (8) алгебраическую систему вида
                    
или в матричной форме
                                                       (9)
Число m выбирается так, чтобы уравнений в (9) было не меньше числа
неизвестных параметров. В данном случае m больше или равно 3.
Решение алгебраической системы (9) при этом записывается в виде
                                                      (10)
где  - псевдообратная матрица.
Изменение параметров bj при переходе от подынтервала Jj к
Jj+1 осуществляется по рекуррентной формуле
     ,                                           (11)
где L=diag(l1,....,l3) - вещественная диагональная
матрица, все числа li>0. Можно показать [2], что этот процесс
перестройки параметров сходится экспоненциально, т.е. значения перестраиваемых
параметров модели  
сходятся к значениям неизвестных параметров объекта 
.
Таким образом, для того, чтобы идентифицировать постоянные неизвестные параметры  
объекта (1), параметры настраиваемой модели (2)  
следует изменять с помощью алгоритма, который описывается уравнениями (6)-(11).
Было проведено численное моделирование этой системы на ЭВМ в среде MATLAB
5.2. Результаты компьютерного моделирования подтверждают эффективность
разработанного алгоритма.
Предлагаемый алгоритм адаптивного наблюдателя обладает важными для практики
свойствами: заданной длительностью переходного процесса по параметрам и
запаздыванию; отсутствием взаимного влияния переходных процессов настройки в
разных параметрических каналах и практической независимостью времени
переходных процессов по параметрам и запаздыванию от изменения амплитуды
входных и выходных сигналов.
                                Литература                                
[1] Гурецкий X. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. Пер. с
польского. - М.: Машиностроение, 1974.
[2] Копысов О.Ю., Прокопов Б.И. Построение алгоритма перестройки параметров и
запаздывания в методе настраиваемой модели. М.: МГИЭМ, 1999.