Каталог :: Математика

Лекция: Конспект по дискретной математики

Дискретная математика
                                                                          
                                 Введение                                 
Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач
переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных
структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению
средство формирования и организации.
Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных
формулировок.
В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе
дискретной математике 4 раздела:
1.      Язык дискретной математики;
2.      Логические функции и автоматы;
3.      Теория алгоритмов;
4.      Графы и дискретные экстремальные задачи.
Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В
настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка
алгоритмических языков программирования.
Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема
сложности вычислений.
Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при
решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные
задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи.
Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом
ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ.
                      Множества и операции над ними                      
Одно из основных понятий математики – множество.
     Определение:
     Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов.
Множество обозначают: M,N ...
m1, m2, mn – элементы множества.
                                Символика                                
     A Î M – принадлежность элемента к множеству;
     А Ï М – непринадлежность элемента к множеству.
Примеры числовых множеств:
     1,2,3,. множество натуральных чисел N;
     .,-2,-1,0,1,2,. - множество целых чисел Z.
      множество рациональных чисел а.
I – множество иррациональных чисел.
R – множество действительных чисел.
K – множество комплексных чисел.
Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является
элементом В.
     А Í В – А подмножество В (нестрогое включение)
Множества А и В равны, если их элементы совпадают.
     A = B
Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение).
Множества бывают конечные и бесконечные.
|М| - мощность множества (число его элементов).
Конечное множество имеет конечное количество элементов.
Пустое множество не содержит элементов: M = Æ.
Пример: пустое множество:
1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ.
2) множество D, сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ.
Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то
множество Е называется униварсельным.
     Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества:
художественные книги, книги по математике, физики, физики .
Если универсальное множество  состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n.
Если , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным.
Множество можно задать:
1)      Списком элементов {a,b,c,d,e};
2)      Интервалом 1<x<5;
3)      Порождающей процедурой: xk=pk  sinx=0;
     

Операции над множествами

1) Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.

А È В

Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества.
Объединение двух множеств

А

В

Объединение системы множеств можно записать - объединение системы n множеств. Пример: объединение множеств, когда они заданы списком. A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h}

AUB AUB

Объединение трех множеств:
2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В.

A ÇB

Пересечение прямой и плоскости

1) если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка; 2) если прямые II пл., то M ¹Æ; 3) если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой. Пересечение системы множеств: 4) Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. С = А \ В

A \ B

A \ B

А

А \ В

B

A

В

А

В

A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A \ B={a}. В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна; 2) не коммутативна, т.е. A\B ¹ B\A. 4) дополнение E – универсальное множество. -- дополнение Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми. Основные законы операций над множествами. Некоторые свойства È, Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются.

Основные свойства

1) AUB=BUA; AÇB=BÇA – переместительный закон объединения и пересечения. 2) (АUB)UC = AU(BUC); (AÇB)ÇC=AÇ(BÇC) – сочетательный закон. 3) АUÆ=A, AÇÆ=Æ, A \ Æ=A, A \ A=Æ 1,2,3 – есть аналог в алгебре. 3.а) Æ \ A = Æ - нет аналога. 4) Æ; E \ A =; A \ E=Æ; AUA=A; AÇA=A; AUE=E; AÇE=A; 5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах. 5) AÇ(BUC)=(AÇB)(AÇC) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U.

Прямые произведения и функции

Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎА, bÎB. С=AхВ, если А=В то С=А2. Прямыми «х» n множеств A1x,.,xAn называется множество векторов (a1,.an) таких, что a1ÎA1 ,., AnÎAn. Через теорию множеств введем понятие функции. Подмножество FÎMx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎMx найдется yÎМу не более одного. (x;y)ÎF, y=F(x). Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:
Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎMX соответствует 1 элемент yÎMY и обратное справедливо. Пример: 1) (х,у) в круге

2) x = sinx
Rà R
Пусть даны две функции f: AàB и g: BàC, то функция y:AàC называется композицией функций f и g. Y=f o g o – композиция. Способы задания функций: 1) таблицы, определены для конечных множеств; 2) формула; 3) графики; Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры. Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n! Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств. Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие. Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n. Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел. Множество N2 – счетно.

Доказательство

Разобьем N2 на классы К 1-ому классу отнесем N1 (1; 1)
1-ый элемент 1-го множества

1-ый элемент

2-го множества

Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)} К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1} Каждый класс будет содержать i пар. Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а. Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2. Аналогично доказывается счетность множеств N3,.,Nk. Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным.

Доказательство

Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.
}
1
1-я 0, a11, a12 .. 2-я 0, а21, a22 .. ........ Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3
1
b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, . Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1]. Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум. Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора.

Отношение

Пусть дано RÍMn – n местное отношение на множество М. Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b. Проведем отношение на множество N: А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_ Б) (9,7) не выполняется. Пример отношения на множество R А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö21) Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется. Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств. Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств. Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна
С=1234
11111
20111
30011
40001

101

010

001

С=

Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства. Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1 .

Свойства отношений

  1. Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу
если ни для какого а не . ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний £ рефлексивное < антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b
  1. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным.
  2. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого Лекция: Элементы общей алгебры Р. Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j1 ,., jm}, т.е. система А = {М1;j1,., jm } называется алгеброй. W - сигнатура. Если M1ÌM и если значения j( M1), т.е. замкнуто ==> A1=1;j1,., jm} подалгебра A. Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2)
  1. B=(Б;È;Ç) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)
Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись ajb. 1. (ajb)jc=aj(bjc) – ассоциативная операция Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно 2. ajb = bja – коммутативная операция Пр. +,x – коммутат. –; : – некоммут. умножение мат A×B ¹ B×A – некоммутативно. 3. aj(bjc) = (ajb) j(ajc) –дистрибутивность слева (ajb)jc) = (ajс) j(bjc) –дистрибутивность справа. Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа но не abc ¹ abac

Р. Гомоморфизм и изоморфизм

Алгебры с разными членами имеют различные строения. Алгебры с одинаковыми членами имеют сходство. Пусть даны две алгебры A=(K; jI) и B=(M; j I) – одинакового типа. Пусть отображение Г:KàM при условии Г(jI)= jI (Г), (1) т.е. результат не зависит от последовательности возможных операций: Или сначала вып. операции jI b А и затем отображении Г, или сначала отображение Г, или сначала отображение Г и затем отображение jI в В. Тогда условие (1) называется Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В. Когда существует взаимооднозначный гомоморфизм его называют изоморфизмом. В этом случае существует обратное отображение Г-1. Мощности изоморфных алгебр равны. Пр. Алгебры (QN; +) и (Q2; +) – отображение типа и условие (1) запишется как 2(а+b)=2а+2b. Отношение изоморфизма является отношением эквивалентности на множестве алгебр, т.е вычисление рефлексивное, симметричности и транзитивности. Изоморфизм важнейшее понятие в математике. Полученные соотношения в алгебре А автоматически .. на изоморфные алгебры.