Каталог :: Математика

Реферат: Алгебра Дж. Буля и ее применение в теории и практике информатики

     Алгебра Дж. Буля  и ее применение в теории и практике информатики
Информация, с которой имеют дело различного рода автома­тизированные
информационные системы, обычно называется дан­ными., а сами такие
системы — автоматизированными системами обработки данных (АСОД).
Различают исходные (входные), про­межуточные и выходные данные.
Данные разбиваются на отдельные составляющие, называ­емые элементарными
данными или элементами данных. Употреб­ляются элементы данных
различных типов. Тип данных (элемен­тарных) зависит от значений,
которые эти данные могут принимать.
В современной безбумажной информатике среди различных типов элементарных данных
наиболее употребительными явля­ются целые и вещественные числа, 
слова (в некотором подалфавите байтового алфавита) и так называемые 
булевы величины. Первые два типа величин нуждаются в пояснении только в
связи с конкретными особенностями их представления в современ­ных ЭВМ.
Прежде всего различают двоичное и двоично-десятичное пред­ставления чисел. В 
двоичном представлении используется двоич­ная система счисления с
фиксированным числом двоичных раз­рядов (чаще всего 32 или, для малых ЭВМ, 16
разрядов, включая разряд для представления знака числа). Если нулем обозначать
плюс, а единицей — минус, то 00001010 означает целое число +(23+2
l)= + l0, а 10001100— число— (23 + 22) = —12 (для
простоты взято 8-разрядное представление). Заметим, что знак числа в машинном
представлении часто оказывается удобным ставить не в начале, а в конце числа.
В случае вещественных чисел (а фактически, с учетом огра­ниченной
разрядности, дробных двоичных чисел) употребляются две формы представления: с 
фиксированной и с плавающей за­пятой. В первом случае просто заранее
уславливаются о месте нахождения занятой, не указывая ее фактически в коде
числа. Например, если условиться, что запятая стоит между 3-м и 4-м разрядами
справа, то код 00001010 будет означать число 00001,010= (1 + 0 • 2-1 
+ 1 • 2-2 + 0 • 2-3) = 1,25. Во втором слу­чае код числа
разбивается на два кода в соответствии с пред­ставлением числа в виде х = а
• 2b. При этом число а (со зна­ком) называется 
мантиссой, а число b (со знаком) — характеристи­кой числа х. 
О положении кода характеристики и мантиссы (вместе с их знаками) в общем коде
числа также устанавлива­ются заранее.
Для экономии числа разрядов в характеристике b ее часто представляют в
виде b = 2kb1, где k — фиксированная
константа (обычно k =2). Вводя еще одну константу m и полагая 
b = 2kb2 — m, можно избежать также
использования в коде харак­теристики знака (при малых b2 > 
0 число b отрицательно, а при больших — положительно).
В двоично-десятичном представлении обычные десятичные цифры (а также
запятая и знак) кодируются двоичными циф­рами. При этом для экономии места
часто используется так на­зываемый упакованный код, когда с помощью
одного байта ко­дируется не одна, а две десятичные цифры. Подобное
представ­ление позволяет в принципе кодировать числа любой значности. На
практике обычно все же ограничивают эту значность, хотя и столь большими
пределами, что можно считать их неограни­ченными.
Тип данных «произвольное слово во входном алфавите» не нуждается в
специальных пояснениях. Единственное условие — необходимость различать
границы отдельных слов. Это достига­ется использованием специальных
ограничителей и указателей длины слов.
Тип булева переменная присваивается элементарным данным, способным
принимать лишь два значения: «истина» (и) и «ложь» (л). Для представления
булевых величин обычно исполь­зуется двоичный алфавит с условием и = 1, p = 0.
Как известно, моделью в математике принято называть любое множество
объектов, на которых определены те или иные преди­каты. Под предикатом 
здесь и далее понимается функция у = f(xi, ..., xn
), аргументы (xi, ..., xn) которой принадлежат
данному множеству М, а значение (у) может являться либо
истиной, либо ложью. Иными словами, предикат представляет собой переменное
(зависящее от параметров (Xi, ..., Хn} выска­зывание. Оно описывает
некоторое свойство, которым может обладать или не обладать набор элементов (Xi,
..., Xn) множе­ства М.
Число п элементов этого набора может быть любым. При л = 2 
возникает особо распространенный тип предиката, который носит наименование 
бинарного отношения или просто отноше­ния. Наиболее употребительными
видами отношений являются отношения равенства (=) и неравенства 
(¹). Эти отношения естественно вводятся для элементарных данных любого
дан­ного типа. Тем самым соответствующий тип данных превращает­ся в модель.
Применительно к числам (целым или вещественным) естест­венным образом вводятся
также отношения порядка >, <, >, £, ³. Тем
самым для соответствующих типов данных определяются более богатые модели.
Любое множество М, как известно, превращается в алгебру, если на
нем задано некоторое конечное множество операций. Под операцией 
понимается функция у = f (Xi, . .., Хп), аргументы н значение которой
являются элементами множества М. При л = 1 операция называется 
унарной, а при п = 2 — бинарной. Наиболее распространенными являются
бинарные операции.
Для целых чисел естественным образом вводятся бинарные операции сложения,
вычитания и умножения, а также унарная операция перемены знака числа. В случае
вещественных чисел к ним добавляется бинарная операция деления и (если
необходимо) унарная операция взятия обратной величины. Разумеется. при
необходимости могут быть введены и другие операции.
Особое место в машинной информатике занимает булева алгебра, вводимая на
множестве величин типа булевых. Ее основу составляют две бинарные операции: 
конъ­юнкция («и»), дизъюнкция («или») и одна унарная операция: 
отрицание («не»). Конъюнкция обозначается символом /\ и за­дается правилами
0 /\ 0 = 0, 0 /\ 1=0, 1 /\ 0 = 0 , 1 /\ 1=1. Для дизъюнкции используются символ
V и правила 0 V 0 = 0, 0 V 1 == 1, 1 V 0=1, 1 V 1 = 1. Наконец, отрицание
ù    меняет значение булевой величины на противоположное: ù 0=1,
ù 1=0. Последовательность выполнения операций производится в по­рядке
убывания приоритетов от ù  к /\ и далее к V (если спе­циальной
расстановкой скобок  не  оговорено   противное).   Напри­мер,   порядок
действий в формуле ù a /\ b \/ c /\ù d 
соответству­ет прямо указанному скобками порядку:
((ù a) /\ b) V (с /\ ù a)).
В принципе могут быть введены и другие операции, однако оказывается, что любую
такую операцию можно выразить в виде формулы, использующей только конъюнкции,
дизъюнкции и отрицания. Таким образом, введенный набор операций является для
булевой алгебры универсальным.
Поскольку любая алфавитная (буквенно-цифровая) информа­ция может быть
закодирована в двоичной форме, то подобным образом могут быть закодированы
условия и решения задач ил любой области знаний. Если число таких задач конечно
(хо­тя, может быть, и очень велико), то существуют максимальная длина т 
кода условий этих задач и максимальная длина n кода nх решений. В таком случае
решения всех данных задач (в двоичном коде) могут быть получены из их условий с
по­мощью некоторой системы булевых функций yi=fi(x
i, х2, ... ..., xm) (i == 1, ..., n). В свою
очередь все эти функции могут быть выражены через элементарные булевы операции
конъюнк­ции, дизъюнкции и отрицания.
Существуют различные способы представления булевых ве­личин (двоичных цифр) в
виде тех или иных физических (обыч­но электрических) сигналов (высокое и
низкое напряжение, им­пульсы тока разной полярности и т. п.).
Выбрав форму представления (двоичных) сигналов, можно построить элементарные
устройства, называемые обычно логиче­скими вентилями (или 
логическими элементами), которые реали­зуют элементарные булевы операции.
Иными словами, выходные
сигналы этих устройств представляют собой элементарные буле­вы функции
(результат выполнения элементарных булевых опе­раций) от входных сигналов,
как это показано на рис. 1.
Имея запас таких элементов, можно строить более сложные
х 
     

z = x /\ y

/\
y

z = x V y

V
x y
x схемы, подсоединяя выходы одних элементов к входам других. Если при таких соединениях избегать воз­никновения замкнутых контуров (например, подсоединения выхода элемента на один из его собствен­ных входов), то возникает класс схем, называемых обычно комбина­ционными схемами. Такие схемы находятся в однозначном соответст­вии с формулами булевой алгебры, так что с их помощью может быть выражена любая система булевых функций. Например, схема, изображенная на рис. 2, реа­лизует систему булевых функций u = x /\ y \/ ù z и v = ù (x V y V z). На практике построение комбинационных схем усложняется, поскольку сигналы при прохождении через вентили ослабляют­ся, искажают свою первоначальную форму, запаздывают. Поэто­му необходимо наряду с логическими элементами включать в схему различного рода согласующие элементы (усилители, фор­мирователи сигналов и др.). Задача этих элементов—сделать схему работоспособной и надежной. Из сказанного ясно, что можно построить комбинационную схему для решения любого конечного множества задач, решения которых однозначно определяются их условиями (подавае­мыми на вход схемы). В частности, если ограничиться какой-ли­бо фиксированной точностью представления вещественных чисел (разрядностью), то можно в принципе построить комбинацион­ную схему, вычисляющую любую заданную вещественную функ­цию у = f(xi, ..., xn) (в двоичных кодах). На практике, однако, оказывается, что уже схема умножителя (вычисляющая функцию у = X1 • Х2) при разрядности (двоичной) 32 и более оказывается столь сложной, что умножение в совре­менных ЭВМ предпочитают реализовать другим, так называемым алгоритмическим способом, о котором речь пойдет ниже. В то же время многие, более простые функции, например функции сложения двух чисел, реализуются комбинационными схемами приемлемой сложности. Соответствующая схема носит наименование параллельного сумматора. Следует заметить, что успехи микроэлектроники делают воз­можным построение все более сложных схем. Если еще в 60-е годы каждый логический элемент собирался из нескольких физи­ческих элементов (транзисторов, диодов, сопротивлений и др.), то уже к началу 80-х годов промышленностью выпускаются так называемые интегральные схемы, содержащие многие сотни и даже тысячи логических вентилей. При этом важно подчеркнуть, что не только сами логические элементы, но и соединения меж­ду ними (т. е. вся схема в целом) изготовляются одновременно в едином технологическом процессе на тонких пластинках хими­чески чистого кремния и других веществ размерами в доли квад­ратного сантиметра. Благодаря этому резко уменьшилась стои­мость изготовления схем и повысилась их надежность. Обладая возможностью реализовать любые ф и к с и р о в а н н ы е зависимости между входными и выходными сигналами» комбинационные схемы неспособны обучаться, адаптироваться к изменяющимся условиям. На первый взгляд кажется, что такая адаптация обязательно требует структурных изменений в схеме,. т. е. изменения связей между ее элементами, а возможно, и со­става этих элементов. Подобные изменения нетрудно реализовать путем механических переключении. Однако такой путь практи­чески неприемлем из-за резкого ухудшения практически всех параметров схемы (быстродействия, габаритов, надежности и др.). Существует гораздо более эффективный путь решения ука­занной проблемы, основанный па введении в схему в дополнение к уже перечисленным логическим элементам так называемых элементов памяти. Помимо своих входных и выходных сигналов, элемент памяти характеризуется еще третьим информационным параметром—так называемым состоянием этого элемента. Со­стояние элемента памяти может меняться (но не обязательно) лишь в заданные дискретные моменты времени t1,t2, ... под влиянием сигналов, появляющихся на его входах в эти моменты. Наиболее употребительна так называемая синхронная организа­ция работы элементов памяти, при которой моменты их возмож­ных переключении (изменении состояния) следуют друг за дру­гом через один и тот же фиксированный промежуток времени Dt = const, называемый тактом. Эти моменты определяются обычно с помощью импульсов, вырабатываемых специальным тактирующим синхрогенератором. Количество тактовых импуль­сов, выдаваемых им в течение одной секунды, называется так­товой частотой. В современной электронике употребляются в основном двоич­ные элементы памяти, состояние которых представляет собой бу­леву величину. Иными словами, элемент памяти способен запом­нить всего лишь один бит информации. При необходимости запоминания большего количества информации используется составная память (запоминающее устройство), состоящая из некоторого множества элементов. В реальных условиях это мно­жество, разумеется, всегда конечно, хотя в теоретических исследованиях бывает удобно рассматривать и бесконечную память (по крайней мере потенциально). В простейшем случае множество элементов памяти организу­ется в так называемый регистр, т. е. в (конечную) линейно упо­рядоченную последовательность элементов, называемых разряда­ми (ячейками) регистра. Разряды нумеруются последовательны­ми натуральными числами 1, 2, ..., п. Число п этих разрядов на­зывается длиной регистра. Состояния в, отдельных разрядов составляют (булев) вектор о, называемый состоянием регистра. Входные и выходные сигна­лы отдельных разрядов рассматриваемого регистра (также пред­полагаемые булевыми) составляют соответственно входной х и выходной у (векторные) сигналы данного регистра. Заметим еще раз, что в подавляющем большинстве случаев у = а. Обычная последовательностная схема, называемая также конечным автоматом, составляется из регистра памяти и двух комбинационных схем. Условность подобного представления заключается прежде всего в том, что в схеме с чисто двоичными сигналами нельзя переключить сигнал и на один из выходов, а на других выходах де иметь ничего (это был бы третий вид сигнала, отличный как от 0, так и от 1). Кроме того, в подавляющем большинстве слу­чаев схемы нецелесообразно строить отдельно одну от Дру­гой, так как при этом, вообще говоря, возрастает общее число используемых логических элементов. Однако эти условности не меняют главного — сделанных оценок для числа различных ком­бинационных схем, реализуемых конечным автоматом. Кроме то­го, при некоторых реализациях двоичных сигналов (например, импульсами различной полярности) в электронных схемах есте­ственным образом реализуется и третий вид сигнала, а именно, отсутствие каких-либо импульсов. В этом случае предложенная интерпретация фактически теряет свою условность и может быть реализована практически. Процессоры Процессором называется устройство, способное выполнять не­который заданный набор операций над данными в структуриро­ванной памяти и вырабатывать значение заданного набора логи­ческих условий над этими данными. Стандартная схема процессора состоит из двух устройств, на­зываемых обычно арифметико-логическим устройством (АЛУ) и устройством управления (УУ). В схему АЛУ включается структурированная память, состоящая, как правило, из регист­ров, к которым может добавляться один или несколько стеков, С помощью специальных комбинационных схем в структуриро­ванной памяти может осуществляться тот или иной набор пре­образований. Как уже отмечалось выше, преобразования (операции), зада­ваемые комбинационными схемами, на сегодняшнем этапе раз­вития микроэлектроники предпочитают делать достаточно про­стыми. Поэтому операции, выполняемые АЛУ за один такт син­хронизирующего генератора, называются микрооперациями, а со­ответствующий их выполнению такт — микротактом. Выбор той или иной микрооперации осуществляется путем подачи кода этой микрооперации на специальный управляющий вход АЛУ.