Каталог :: Математика

Реферат: Граничные условия общего вида

                                      План.                                      
1.     Сопряженный оператор.
2.     Сопряженная однородная задача.
3.     Условия разрешимости.
                          Сопряженный оператор.                          
Обозначим через  дифференциальный оператор второго порядка, т.е.
                             (1)
где  представляют
собой непрерывные функции в промежутке 
. Если  и 
- дважды непрерывно дифференцируемые на 
функции, то имеем:
                      (2)
Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает:
     
     
          (3)
Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в
правой части (3) через 
, т.е. 
     
          (4)
При этом соотношение (3) перепишется так:
         (5)
Оператор  называется
сопряженным по отношению к оператору 
. Умножая соотношение (4) на  
и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору 
. Таким образом, операторы  
и  взаимно
сопряжены.
Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:
     (6)
будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
     (7)
Если же , то
оператор  и
дифференциальное уравнение 
будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу,
что  тогда и
только, когда:
     
Таким образом, оператор   будем  самосопряженным тогда и только тогда, когда .
При этом:
     
Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в
самосопряженную форму, умножив на функцию 
.
Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа:
          (8)
Правая часть этой формулы может быть записана как:
     
     
                  (9)
где
              (10)
Отметим, что:
      и следовательно,
матрица 
-невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает:
     (11)
                      Сопряженная однородная задача.                      
Введем следующее невырожденное линейное преобразование  в вектор :
     (12),
где
                           
Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным
множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом
векторе две
последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые
значения компонентам
. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных
граничных условий. Поскольку 
, мы можем обратить преобразование (12) и получить:
     .
При этом (11) можно переписать как:
     
или
      (13),
где     (14)
Билинейная форма  в
соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в
правой части тождества (11).
Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в
соотношении (13)
     и и получим:
      (15)
Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны
равенствам:
               (16)
             (17)
С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид:
              (18)
При ненулевом векторе  
последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты  
и  принимали любые
требуемые значения, лишь бы  
и не обращались в
нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из
условия . При этом
из соотношения (11) следует, что 
. Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы
выполнялись равенства 
. При этом из соотношения (11) вытекает, что 
. Таким образом, задача, сопряженная задаче 
(19)
имеет вид:
      (20)
где  и  
связаны с компонентами  
вектора  
соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только
тогда, когда и
каждая из двух компонент  
и  является линейной
комбинацией  и 
, т.е. 
пропорциональна .
Один из определителей:
     
матриц-блоков
     
должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с
теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что 
. Далее, выберем такие 
и , чтобы строки
матрицы А были линейно независимы.
Например, положим и .
При этом матрица А примет вид:
                  (21).
Из формулы (19) следует, что .
Тогда
       (22)
Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а):
     
     
     Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид:
     
     
      (22)
     
     
        (23)
Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы  
и чтобы каждая из компонент  
и  являлась линейной
комбинацией  и 
. Как указывалось выше,  
тогда и только тогда, когда 
. При этом условия (21) и (20)  принимают вид:
          (24)
Разрешая равенства относительно  и  при  и заменяя  на , получаем:
                      (25)
Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и
только тогда, когда:
                                 (26)
Краевая задача при  
самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство 
.
                          Условие разрешимости.                          
Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи.
Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде:
                (27)
     ,
тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:
                      (27)
Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь  
и  с вектором 
, описываемую формулой (14а) т.е.:
         (28)
При этом соотношение (27) принимает вид:
     
     
     
Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо
два из граничных значений через два других.