Каталог :: Математика

Контрольная: Высшая математика

Государственный университет управления
                           Институт заочного обучения                           
Специальность – менеджмент
                            КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА                            
по дисциплине: Высшая математика.
Вариант № 1.
     5 (отл.)
Выполнил студент Ганин Д.Ю.
Студенческий билет № 1211
Группа № УП4-1-98/2
                                 Москва, 1999 г.                                 
     
     
                            Содержание                            
                                                                          
Часть I.________________________________________________________ 3
Задание №2. Вопрос №9._________________________________________________________3
Задание №3. Вопрос №1._________________________________________________________3
Задание №12. Вопрос №9.________________________________________________________5
Задание №13. Вопрос №2.________________________________________________________5
Задание №18. Вопрос №9________________________________________________________ 6
Часть II._______________________________________________________ 9
Задание №8. Вопрос №8._________________________________________________________9
Задание №12. Вопрос №9._______________________________________________________10
Задание №14. Вопрос №2._______________________________________________________10
Задание №15. Вопрос №6._______________________________________________________11
Задание №18. Вопрос №9._______________________________________________________12
Дополнительно Часть I._______________________________________ 13
Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________13
Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________13
Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________14
Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________15
Дополнительно Часть II._______________________________________ 15
Задание №7. Вопрос №1.________________________________________________________15
Задание №9. Вопрос №8.________________________________________________________16
Задание №11. Вопрос №6._______________________________________________________18
Задание №15. Вопрос №1._______________________________________________________18
     

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

машин ежедневно остается в гараже на профилактическом ремонте.

машин с водителями ежедневно уходят в рейс.

водителей из штата гаража ежедневно не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

количество водителей в течение месяца, не выходящих в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

дней в месяц каждый водитель из штата гаража не выходит в рейс из-за профилактического ремонта автомашин.

Ответ:

Каждый водитель из штата гаража в течение месяца может иметь свободных дней.

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS (P) и найдите координаты точки равновесия, если , .

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:
С осью OP (Q=0):С осью OQ (P=0):

Для Q=QS(P):

Для Q=QD(P):

Подпись: Рисунок 1.
 
График функции спроса и предложения.
Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика (рис.1). Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в которой спрос равен предложению. Для этого решим систему: , из этой системы получаем: , тогда , значит координаты т.M.

Ответ:

Координаты точки равновесия равны ,

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите производные следующих функций:

Решение:

Ответ:

Производная заданной функции равна

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение
числа:

Решение:

Ответ:

Приближенное значение заданного числа равно 1,975.

Задание №18. Вопрос №9

Исследуйте функцию и постройте ее график:

Решение:

1. Область определения данной функции: . 2. Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY :

С осью OX :

, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е.

Точка пересечения:

Точки пересечения: ,

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ. 4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва. Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: , где: т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение имеет вид: , т.е. - уравнение горизонтальной асимптоты. 5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую производную: Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая производная функции равна нулю, т.е. : Подпись: Рисунок 2.
 
Исследование на экстремум.
, дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , отсюда , следовательно , значит точка - точка экстремума функции. На участке производная > 0, значит, при , заданная функция возрастает. На участке производная < 0, значит, при , заданная функция убывает (рис 2.). Следовательно - точка максимума заданной функции . 6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем ее вторую производную: Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная функции равна нулю, т.е. : , дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. , значит , тогда , отсюда Отсюда , . Подпись: Рисунок 3.
 
Исследование на выпуклость.
На участке производная >0, значит это участок вогнутости графика функции. На участке производная >0, значит это тоже участок вогнутости графика функции. Следовательно, при график заданной функции является вогнутым. На участке производная <0, значит, при график заданной функции является выпуклым (рис. 3). Следовательно, точки , - точки перегиба графика заданной функции . Подпись: Рисунок 4.
 
График заданной функции  


Выполненные исследования заданной функции позволяют построить ее график (см. рис. 4).

Часть II.

Задание №8. Вопрос №8.

Фирма производит товар двух видов в количествах и. Задана функция полных издержек . Цены этих товаров на рынке равны и . Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль, найти эту прибыль. , ,

Решение:

Пусть - функция прибыли, тогда Найдем первые частные производные функции : , . Найдем стационарные точки графика функции . Для этого решим систему: Следовательно - стационарная точка. Проверим ее на экстремум, для этого введем обозначения: , , , тогда , , , . Т.к. > 0, то экстремум есть, а т.к. < 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска и , достигается максимальная прибыль равная:

Ответ:

и достигается при объемах выпуска и .

Задание №12. Вопрос №9.

Вычислить неопределенный интеграл:

Решение:

Ответ:

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость) .

Решение:

Ответ:

Данный несобственный интеграл – расходящийся.

Задание №15. Вопрос №6.

Решить уравнение

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение . Представим , как , тогда

Ответ:

Решением данного уравнения является .

Задание №18. Вопрос №9.

Найти общее решение уравнения:

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: , тогда , следовательно , , тогда фундаментальную систему решений образуют функции: , Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида: . Имеем , , тогда т.к. - многочлен второй степени, то общий вид правой части: . Найдем частные решения: , , Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , решив систему: , отсюда . Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид: .

Ответ:

.

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: .

Решение:

.

Ответ:

Заданный предел равен .

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики: .

Решение:

1. Область определения данной функции: . 2. Т.к. точка не входят в область значений функции, то это точка разрыва, а т.к. и , следовательно, уравнение – уравнение вертикальной асимптоты. 3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: , где: Подпись: Рисунок 5.

 
Графики асимптот функции 
т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной асимптоты имеет вид: . Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем точки пересечения наклонной асимптоты с осями координат: С осью OX: точка, с осью OY: точка

Ответ:

и – уравнения асимптот заданной функции.

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: .

Решение:

Т.к. по определению производная функции в точке вычисляется по формуле , тогда приращение в точке : . Следовательно .

Ответ:

.

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: .

Решение:

.

Ответ:

Заданный предел равен .

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением: .

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции в точке имеет вид: . Поэтому, продифференцируем заданное уравнение поверхности: . Подставив в полученное уравнение координаты точки вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их приращения, получим: .

Ответ:

Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в заданной точке имеет вид .

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области: .

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе области. Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему: , точка не принадлежит заданной области дифференцирования, значит стационарных точек внутри области нет, следовательно, наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области дифференцирования. Граница области ограничена окружностями и . Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа: 1. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Эта система имеет четыре решения:

, ,

Точка – точка условного максимума, при этом функция .

, ,

Точка – точка условного максимума, при этом функция .

, ,

Точка – точка условного минимума, при этом функция .

, ,

Точка – точка условного минимума, при этом функция .

2. , тогда , , следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной точки имеет вид: Эта система также имеет четыре решения:

, ,

Точка – точка условного максимума, при этом функция .

, ,

Точка – точка условного максимума, при этом функция .

, ,

Точка – точка условного минимума, при этом функция .

, ,

В точке – точка условного минимума, при этом функция .

Подпись: Рисунок 6.

 
График наибольших/наименьших значений функции   при  .
Следовательно, заданная функция в заданной области дифференцирования достигает наибольшего значения в точках и и наименьшего в точках и при этом графики функций и касаются окружности в точках , и , соответственно (см. рис.6).

Ответ:

Заданная функция при условии имеет и .

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: .

Решение:

Ответ:

Заданный неопределенный интеграл равен .

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: .

Решение:

. Разделив обе части на , получим . Проинтегрируем полученное уравнение: .

Ответ:

Решением данного уравнения является .