Каталог :: Философия

Реферат: Турбулентность

     Возникновение турбулентности. 
В качестве примера возникновения самоорганизации возьмем переход ламинарного
течения жидкости в турбулентное. Рассмотрим воду при термодинамическом
равновесии, при малых и при больших отклонениях от равновесия. Проблемы
перехода к турбулен­тности важны для практики, для гидро- и аэромеханики, и эти
проблемы неоднократно решались в рамках физики, механики и математики многими
учеными, но точного описания нет до сих пор. В теории обычно имеют дело с
безразмерным параметром — числом Рейнольдса Re, введенным в 1883 г.
Безразмерный параметр Re Ос-борн Рейнольдс (1842 -1912) связал с
режимом течения. Гидродина­мические теории с использованием числа Re 
развивали русские уче­ные Николай Егорович Жуковский (1847—1921), Сергей
Алексеевич Чаплыгин (1869—1942) и другие. По определению он равен скорости
потока , умноженной на характерный линейный размер, фигуриру­ющий в задаче ,
который делится на вязкость среды, отнесенную к плотности . Одна из
наиболее стройных теорий перехода к турбулентности была построена в 1944г
Ландау. Термин "турбулен­тность" ввел еще Кельвин, производя его от латинского 
"turbulentus " (беспорядочный). Пока нет простой математической модели
турбулен­тных движений, которые оказались связанными с нелинейностью
При равновесии, если система замкнута и скорость потока = 0, ее энтропия
максимальна. При нарушении равновесия путем создания, например градиента
давления, жидкость начнет двигаться в сторону меньших давлений, причем
движение ее будет происходить как бы слоями, параллельными направлению течения 
(ламинарное течение). Потоки и термодинамические силы связаны линейными
соотношениями, производство энтропии в стационарном состоянии (течении)
минимально. При малых значениях числа Re существует единственная
стацио­нарная картина течения, соответствующая ламинарному течению (рис. 1, а).
Небольшие отклонения в скоростях движения от стацио­нарных значении,
возникающие из-за флуктуаций,  экспоненциаль­но затухают со временем,
появляется пара вихрей (рис 1,6).
При увеличении скорости потока выше критической некоторые из малых возмущений
перестают затухать, система теряет устойчи­вость и переходит в новый режим,
вихри начинают осциллировать (рис. 1,в), движение жидкости становится 
турбулентным (рис. 1,г). Линейная зависимость потоков и сил нарушается,
перестает выпол­няться и теорема Пригожина о минимальном приросте энтропии,
хотя картина носит еще стационарный характер. В этом случае гово­рят о первой
бифуркации, или бифуркации Хопфа. При увеличении числа Рейнольдса новый
периодический режим вновь теряет устой­чивость, возникают незатухающие
колебания с частотой, определяе­мой величиной Re. С ростом
неравновесности должно возрастать чис­ло корреляций и параметров,
характеризующих систему. При перехо­де к турбулентному режиму между отдельными
областями течения возникают новые корреляции, новые макроскопические связи.
Затем появляются новые частоты, при этом интервал частот сокращается, и, по
теории Ландау, появляющиеся новые движения имеют все бо­лее мелкие масштабы.
Нерегулярное поведение, типичное для турбу­лентного движения, есть результат
бесконечного каскада бифуркаций (рис 1,д).
Так существенно усложняется структура течения и одновременно увеличивается
его внутренняя упорядоченность. Это уже не тот бес­порядок, который имелся в
равновесном состоянии. Существенно ме­няется характер броуновского движения
частиц, турбулентность ска­зывается на поглощении и рассеянии
электромагнитных и звуковых волн. Например, фотографии распределения световой
волны, прошед­шей через турбулентную жидкость, фиксируют пятна типа
интерфе­ренционной картины, соответствующей фокусам и каустикам, кото­рые
возникают в световом пучке.
Проблема возникновения турбулентности и анализа возникающих неустойчивостей
важна не только в связи с инженерными приложе­ниями. Большая часть среды,
заполняющей Вселенную, находится в турбулентном движении, поэтому с
неустойчивостями сталкиваются в физике атмосферы и астрофизике, в океанологии и
физике планет. В 1963 г. метеоролог Э. Лоренц описал новый механизм потери
устой­чивости, наблюдаемый им в опытах по моделированию процессов возникновения
турбулентности в процессе конвекции. Он обнаружил в фазовом пространстве трех
измерений (где координатами были ско­рость и амплитуды двух температурных мод)
область, которая как бы притягивала к себе траектории из окрестных областей.
Попадая в область, названную Лоренцом "странным аттрактором" (лат. 
attractio "притяжение"), близкие траектории расходились и образовывали
сложную и запутанную структуру. Переход системы на такой режим означает, что в
ней наблюдаются сложные непериодические колебания, которые очень чувствительны
даже к малому изменению начальных условий. Поскольку две близкие траектории
разбегаются в фазовом пространстве, то предсказание движения по начальным
данным не может быть хорошим. С этим связаны трудности предска­зания погоды при
отсутствии точных начальных данных. До Лоренца еще в начале 60-х годов
советские математики Д. В. Аносов и Я. Г. Синай установили существование
областей, обладающих таки­ми свойствами, и исследовали устойчивость явлений в
них.
Поскольку течение жидкости описывается детерминистическими уравнениями, переход
к турбулентности считается возникновением динамического хаоса. В 1975
г. американские ученые Т. Ли и Дж. Йорк опубликовали статью "Период три дает
хаос", тем самым определив его как состояние, возникающее при третьей
бифуркации, связан­ной с удвоением периода неустойчивой моды. Однако этот
неустой­чивый, хаотический режим имеет внутреннюю упорядоченность, ко­торую
можно уловить при исследовании деталей тонкой динамики. Поэтому можно сказать,
что хаотический турбулентный режим име­ет более сложную структуру, чем
упорядоченный ламинарный. Прин­ципиальным в теориях динамического хаоса
является признание роли начальных условий того обстоятельства, что в ходе
эволюции систе­ма занимает не все точки "фазового пространства". В нем есть
опре­деленные места, "цепочки" их концентрации, статистические "ано­малии",
влияющие на всю микроструктуру. Исследования диалекти­ки случайностей и
регулярностей облегчаются возможностями моде­лирования этих процессов на ЭВМ.
Исследования динамического ха­оса показывают, что он способен породить не
только "унылое рав­новесие", возникает "вторичная динамика", которую исследуют
в синергетике.
Итак, в точке бифуркации поведение системы "разветвляется", становится
неоднозначным. При достижении третьей бифуркации на­ступает состояние
динамического хаоса, который скрывает внутрен­нюю упорядоченность. Проблема
выяснения условий возникновения порядка из хаоса стала на повестку дня в
грядущем столетии. По сло­вам Уилера, это — задача номер один современной
науки.
       а.
R=10-2
      б.
      в.
R=100
     

. г. д. Рис.1.Обтекание цилиндра жидкостью при различных скоростях. § 1 I Беспорядок и хаос в больших системах ^_Хаотические эффекты, нарушавшие стройную картину классической физики с первых дней становления теории, в XVII в воспринимались как досадные недора­зумения Кеплер отмечал нерегулярности в движении Луны вокруг Земли/Ньютон, по словам своего издателя Роджера Котеса, принадлежал к тем исследователям, которые силы природы и простейшие законы их действия "выводят аналитически из каких-либо избранных явлений и затем синтетически получают законы осталь­ных явлений" Но закон — однозначное и точное соответствие между рассматри­ваемыми явлениями, он должен исключать неопределенность и хаотичность От­сутствие однозначности в науке Нового времени рассматривалось как свидетель­ство слабости и ненаучного подхода к явлениям Постепенно из науки изгонялось все, что нельзя формализовать, чему нельзя придать однозначный характер Так пришли к механической картине мира и "лапласовскому детерминизму" Необратимость процессов нарушила универсальный характер механических законов /По мере накопления фактов менялись представления, и тогда Клаузиус ввел "принцип элементарного беспорядка" Поскольку проследить за движением каждой молекулы газа невозможно, следует признать ограниченность своих воз можностей и согласиться, что закономерности, наблюдаемые в поведении массы газа как целого, есть результат хаотического движения составляющих его моле кул Беспорядок при этом понимается как независимость координат и скоростей отдельных частиц друг от друга при равновесном состоянии Более четко эту идею высказал Больцман и положил ее в основу своей молекулярно-кинетической тео­рии Максвелл указал на принципиальное отличие механики отдельной частицы от механики большой совокупности частиц, подчеркнув что большие системы харак­теризуются параметрами (давление, температура и др ), не применимыми к от дельной частице Так он положил начало новой науке — статистической механи­ке Идея элементарного беспорядка, или хаоса устранила противоречие между ме­ханикой и термодинамикой На основе статистического подхода удалось совмес- тить обратимость отдельных механических явлений (движений отдельных моле­кул) и необратимый характер движения их совокупности (рост энтропии в замкну­той системе) В дальнейшем оказалось, что идеи хаоса характерны не только для явлений тепловых, а более фундаментальны При изучении теплового излучения возникли противоречия: электромагнитная теория Фарадея — Максвелла описывала обрати­мые процессы, но процессы обмена световой энергией между телами, находящи­мися при разных температурах, ведут к выравниванию температур, т е. должны рассматриваться как необратимые. Планк ввел гипотезу "естественного излуче­ния", соответствующую гипотезе молекулярного беспорядка, смысл которой мож­но сформулировать так: отдельные электромагнитные волны, из которых состоит тепловое излучение, ведут себя независимо и "являются полностью некогерент­ными". Эта гипотеза привела к представлению о квантовом характере излучения, которое обосновывалось с помощью теории вероятностей Хаотичность излуче­ния оказалась связанной с его дискретностью Квантовый подход позволил Планку и Эйнштейну объяснить ряд законов и явлений (закон Стефана — Больцмана, за­кон смещения Вина, законы фотоэффекта и др.), которые не находили объяснения в классической электродинамике^/ (Отступления Луны от траекторий, рассчитанных по законам нью­тоновской механики, американский астроном Джордж Хилл в кон­це прошлого века объяснил притяжением Солнца. Пуанкаре предпо­ложил, что вблизи каждого тела есть некоторые малозаметные фак­торы и явления, которые могут вызвать нерегулярности. Поведение даже простой системы существенно зависит от начальных условий, так что не все можно предсказать. Решая задачу трех тел, Пуанкаре обнаружил существование фазовых траекторий, которые вели себя запутанно и сложно, образуя "нечто, вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь много, бесконечно много раз пет ли сети". В начале века на эту работу особого внимания не обратили Примерно в это же время Планк начал изучать другую хаотич ность классической науки и нашел выход в введении кванта, кото рый должен был примирить прежние и новые представления, но ни самом деле сокрушил классическую физику. В строении атомов дол­гое время видели аналогию Солнечной системы. Интерес к невоз­можности однозначных предсказаний возник в связи с появлением принципиально иных статистических законов движения микрообъ­ектов, составляющих квантовую механику. В силу соотношений нео­пределенности Гейзенберга необходимо сразу учитывать, что Moryi реализовываться не точные значения координат и импульсов, а не которая конечная область состояний Ар и Aq, внутри которой лежа1 начальные координаты Яд и импульсы pp. При этом внутри выделен ной области они распределены по вероятностному закону По мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний Лр и Aq. На небольших временных интервалах неопределенность со­стояния будет нарастать медленно, и движение системы будет устой-* чивым. Для таких систем классическая механика плодотворна. В 60-е годы 6шю установлено, что и в простых динамических си­стемах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняю­щимися определенным и однозначным законам механики, возмож­ны случайные явления, от которых нельзя избавиться путем уточне­ния начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему. Такие движения возникают в простых динамических сис­темах с небольшим числом степеней свободы — нелинейных колеба­тельных системах как механических, так и электрических. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямах, разделенных барьером (рис 177). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать б Рис. 177. Пример хаотического движения: а — шарик в потенциальных ямах; б — шарик на плоскости со стенками (биллиард Синая) перепрыгивать из одной ямы в другую после совершения колебаний в одной из ям. Периодические колебания с определенной частотой вызывают колебания с широким спектром частот Кроме того, на систему могут действовать и некоторые случай­ные силы, которые даже при самой малой величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие сис­темы чувствительны не только к начальным значениям параметров, но и к изменениям положений и скоростей в разных точках траекто­рии Получается парадокс: система подчиняется однозначным дина­мическим законам, и совершает непредсказуемые движения. Реше­ния динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Напри­мер, нельзя видеть сколь угодно долго стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамических пе­реходит в статистическую, т е. следует задать начальные условия ста­тистическим распределением и следить за его эволюцией. Эти слу­чайные явления получили название хаосов Эволюцию динамических систем во времени оказалось удобным анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных,

Рис 178 Фазовая траектория маятника а — без затухания, б—с затуханием

характеризующих состояние си­стемы Примером может слу­жить пространство, имеющее в качестве своих координат коор­динаты и скорости всех частиц системы Для линейного гармо­нического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы) Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению коорди­наты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, дви­жется по фазовой траектории (рис 178) Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеб­лется без затухания, представляют собой эллипсы (mv2^) + (mo)^/2) x2 = const В случае затухания фазовые траектории при любых начальных зна­чениях оканчиваются в одной точке, которая соответствует покою в положении равновесия ^таточка, или аттрактор, как бы притяги­вает к себе со временем все фазовые траектории (англ to attract "при­тягивать") и является обобщением понятия равновесия, состояние, которое притягивает системы Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается На диаграмме его состоянии (фазовой диаграмме) по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость измене­ния этого угла Получается фазовый портрет в виде точки, движу­щейся вокруг начала отсчета Начало отсчета и будет аттрактором, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение ма­ятника по фазовой диаграмме В таком простом аттракторе нет ничего странного В более сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен весом груза, после чего характер его движения останется неизменным Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вско­ре остановится Ситуации с сильным начальным толчком на фазавой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружно­стью, т е объектом не более странным, чем точка Разным маятни­кам соответствуют аттракторы, которые называют предельными цик­лами Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению если начальные отклонения были ма­лыми, они возрастут, а, если амплитуды были большими, то умень- 71 А шатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — уста­новившимся режимом. Если движение состоит из наложения двух колебаний разных час­тот, то фазовая траектория навивается на тор в фазовом простран­стве трех измерений. Это движение устойчиво, а две фазовые траек­тории, начинающиеся рядом, будут навиваться на тор, не уходя друг от друга. Ситуация соответствует устойчивому установившемуся дви­жению, к которому сама стремится. В случае хаотического движения фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически пе­ремешиваются, так как они могут удаляться только до какого-то предела из-за ограниченности области изменений координат и им­пульсов. Поэтому фазовые траектории создают складки внутри фазо­вого пространства и оказываются достаточно близко друг к другу. Так возникает область фазового пространства, заполненная хаотичес­кими траекториями, называемая странным аттрактором. На рис 179 изображен такой аттрактор, полученный Э Лоренцом на ЭВМ. Вид­но, что система (изображаемая точкой) совершает быстрые нерегу­лярные колебания в одной области фазового пространства, а затем случайно перескакивает в другую область, через некоторое время — обратно. Так динамический хаос обращается с фазовым простран­ством При этом образование складок возможно только при размер­ностях больших трех (только в 3-ем измерении начинают склады­ваться плоские траектории) От этих хаотичностей нельзя избавиться. Они внутренне присущи системам со странными аттракторами. Хао­тические движения в фазовом пространстве порождают случайность, которая связана с появлением сложных траекторий в результате рас­тяжения и складывания в фазовом пространстве.

Важнейшим свойством странных аттракторов является фракталь-ность Фракталы — это объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Их начали активно исследовать с появлением мощных ЭВМ. Изве­стно, что прямые и окружности — объекты элементарной геомет­рии — природе не свойственны. Структура вещее гва чаще прини­мает замысловато ветвящиеся формы, напоминающие обтре­панные края ткани Примеров подобных структур много это и коллоиды, и отложения металла при электролизе, и клеточные популяции^