Каталог :: Физика

Реферат: Упругие волны

                              УПРУГИЕ ВОЛНЫ                              
                § 1. Распространение волн в упругой среде                
Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо­образной) среды
возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это
колебание будет распро­страняться в среде от частицы к частице с некоторой
скоро­стью υ. Процесс распространения колебаний в
пространстве на­зывается волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле­каются волной в
поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений
равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к
направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и
поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль
направления распространения волны. В попереч­ной волне частицы среды
колеблются в направлениях, перпендику­лярных к направлению распространения
волны. Упругие попереч­ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей
сопротивле­нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно
возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение
как продольных, так и поперечных волн.
     Подпись: Рис. 1.2Подпись: Рис. 1.1
На рис. 1.1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной
волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час­тицы, отстоящие друг от друга на
расстояние, равное ¼ υT, т. е. на расстояние, проходимое
волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени,
принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла
час­тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения
равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода
частица 1 достигает крайнего верхнего положе­ния; одновременно начинает
смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще
четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь
в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего
положе­ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав­новесия. В
момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания
и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент.
Волна к моменту времени Т, пройдя путь υT, 
достигнет частицы 5.
     На рис. 1.2 показано движение
частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения,
касающиеся поведе­ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к
данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из
рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются
чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на
рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со
ско­ростью υ.
На рис. 1.1 и 1.2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат
на оси х. В действительности колеблют­ся не только
частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность
частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника
колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но­вые части пространства.
Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени 
t, называется фронтом волны   (или   волновым фронтом). Фронт
волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран­ства,
уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко­лебания еще не
возникли.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется
волновой поверхностью. Волновую по­верхность можно провести через любую точку
пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых
по­верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт
каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются
неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.
Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют
форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется
плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют
со­бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче­ской волне —
множество концентрических сфер.
Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х
. Тогда все точки среды, положения равновесия кото­рых имеют одинаковую
координату х (но различные значения координат y и z
), колеблются в одинаковой фазе.
     Подпись: Рис. 1.3
На рис.1.3 изображена кривая, которая дает смещение x из положения
равновесия точек с различными x в некоторый мо­мент времени. Не
следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке
показан график функции x(х, t) для некоторого фиксированного
момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси 
х. Такой график можно строить как для продольной, так и для
поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.
     
(1.1)
Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что λ =υT, где υ скорость волны, T период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ­ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2p (см. рис. 1.3).
(1.2)
Заменив в соотношении (1.1) T через 1/v (v — частота коле­баний), получим λv = υ. Подпись: Рис. 2.1К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле­бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ . Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ. § 2. Уравнения плоской и сферической волн Уравнением волны называется выражение, которое дает сме­щение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:
(2.1)
x= x(х, у, z, t) (имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно вре­мени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания час­тицы с координатами х, у, z. Периодич­ность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоя­ние λ, колеблются одинаковым образом. Найдем вид функции x, в случае плос­кой волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для уп­рощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут пер­пендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверх­ности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x( х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид x (х, t) = a cos (wt + a). Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t = x/ υ (υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид x (х, t) = a cos [ w ( t − t ) + a ] = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ]. Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:
(2.2)
x = a cos [ w ( t − x/υ ) + a ] Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t . При рас­смотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совмест­ном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.
(2.3)
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив w ( t − x/υ ) + a = const

0,

=

Подпись: dx

1

υ

Подпись: dt –
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим

υ.

υ.

откуда
(2.4)
Таким образом, скорость распространения волны υ в уравнении (2.2) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.
(2.5)
Согласно (2.4) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (2.2) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением x = a cos [ w ( t + x/υ ) + a ]

– υ,

Действительно, приравняв константе фазу волны (2.5) и продиф­ференцировав получившееся равенство, придем к соотношению из которого следует, что волна (2.5) распространяется в сторону убывания х.
(2.6)

,

λ

Подпись: k =
Уравнению плоской волны можно придать симметричный отно­сительно х и t вид. Для этого введем величину
Подпись: k =

ω

υ

(2.7)
которая называется волновым числом. Умножив числи­тель и знаменатель выражения (2.6) на частоту v, можно пред­ставить волновое число в виде
(2.8)
(см. формулу (1.2)). Раскрыв в (2.2) круглые скобки и приняв во внимание (2.7), придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х: x = a cos ( wt + kx + a ) Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (2.8) только знаком при члене kx. При выводе формулы (2.8) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При рас­пространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону: a = a 0 e–γx. Соответственно урав­нение плоской волны имеет следующий вид:
(2.9)
x = a0 e–γx cos ( wt + kx + a ) (a0 – амплитуда в точках плоскости х = 0). Теперь найдем уравнение сферической волны. Всякий реаль­ный источник волн обладает некоторой протяженностью. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источ­ника, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, по­рождаемая точечным источником, будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника равна wt + a. Тогда точки, лежа­щие на волновой поверхности радиуса r, будут колебаться с фазой w ( t – r/ υ ) = wt – kr + a

a

(2.10)
(чтобы пройти путь r, волне требуется время τ = r/υ). Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не остается постоянной — она убывает с расстоянием от источника по закону 1/r. Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид

r

x = cos ( wt + kx + a ) где a постоянная величина, численно равная амплитуде на рас­стоянии от источника, равном единице. Размерность а равна раз­мерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (2.10) нужно доба­вить множитель e –γx. Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (2.10) справедливо только при r, значительно превышающих размеры источника. При стремлении r к нулю выражение для амп­литуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объясняется неприменимостью уравнения для малых r . § 3. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в на­правлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ. Пусть колебания в плоскости, проходя­щей через начало координат (рис. 3.1), имеют вид
(3.1)
x = a cos ( wt + a )
(3.2)
υ
ω
Возьмем волновую поверхность (пло­скость), отстоящую от начала коорди­нат на расстояние l. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (3.1) на время τ =l: Подпись: Рис. 3.1x = a cos [ w( t − ) + a ] = a cos ( wtkl + a ). (k = ω/υ; см. формулу (2.7)). Выразим l через радиус-вектор точек рассматриваемой поверх­ности. Для этого введем единичный вектор n нормали к волновой поверхности. Из рис. 3.1 видно, что скалярное произведение n на радиус-вектор r любой из точек поверхности равно l: nr = r cos φ= l.
(3.3)
Заменим в (3.2) l через nr: x = a cos ( wtknr + a )
(3.4)
Вектор k = kn,
(3.5)
равный по модулю волновому числу k = 2π/λ и имеющий направ­ление нормали к волновой поверхности, называется волно­вым вектором. Таким образом, уравнение (3.3) можно представить в виде x ( r, t ) = a cos ( wt − kr + a ) Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распро­страняющейся в направлении, определяемом волновым векто­ром k. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение мно­житель eγl = eγ nr. Функция (3.5) дает отклонение от положения равновесия точ­ки с радиусом-вектором r в момент времени l (r оп­ределяет равновесное положение точки). Чтобы перейти от радиу­са-вектора точки к ее координатам х, у, z, выразим скалярное про­изведение kr через компоненты векторов по координатным осям: kr = kxx + kyy + kzz.
(3.7)
(3.6)
Тогда уравнение плоской волны примет вид x (x, y, z, t ) = a cos ( wt − kxxkyykzz + a )
λ
Подпись: kz =
cos γ.
Подпись: ky =
λ
cos β,
cos α,
Здесь
Подпись: kx =
λ
Функция (3.6) дает отклонение точки с координатами х, у, z в мо­мент времени t. В случае, когда n совпадает с ex , kx = k, ky = kz = 0 (и уравнение (3.6) переходит в (2.8). Очень удобна запись урав­нения плоской волны в виде x = Re aei t-kr+α)
(3.10)
(3.8)
(3.9)
Знак Re обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число â = aeiα, которое называют комплексной амплитудой. Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны мож­но представить в виде x = âei t-kr) Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем. § 4. Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (3.6), описывающей плос­кую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим
Сложение производных по координатам дает Подпись: (4.4)Подпись: (4.7)Подпись: (4.6)Подпись: (4.5)Подпись: (4.3)Подпись: (4.2)Подпись: (4.1)
Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k22 через 1/υ2 (см. (2.7)), получим уравнение Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде
υ
где Δ – оператор Лапласа. Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворя­ет не только функция (3.6), но и любая функция вида

f(x, y, z, t)=f(wt − kxx kyykzz + a)

Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем Аналогично
Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приво­дит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому урав­нению, если положить υ=ω/ k. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели­чины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны. Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
υ
§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде Подпись: Рис. 5.2 Пусть в направлении оси х распространяется продольная плос­кая волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δ x (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой x+Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилинд­ра. Вследствие того, что ξ меняется с изменением х не по линейному зако­ну, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако­вой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х, нужно устремить Δx к нулю. Таким образом, Подпись: (5.4)Подпись: (5.3)Подпись: (5.2) (символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t). Наличие деформации растяжения свидетельствует о существо­вании нормального напряжения σ, при малых деформациях про­порционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома (E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформа­ция , а следовательно, и напряжение σ в фиксированный мо­мент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответ­ствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды. Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра рав­на ρSΔx, где ρ – плотность недеформированной среды. Проек­ция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напря­жений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ ξ):
Значение производной в сечении x+δ можно для малых δ представить с большой точностью в виде
где под подразумевается значение второй частной произ­водной ξ по х в сечении х. Ввиду малосги величин Δx, ξ и Δξ произведем в выражении (5.3) преобразование (5.4):

Подпись: (5.5)

< Δx

<
(относительное удлинение при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Поэтому Δξ , так что слагаемым Δξ в сумме Δ x+Δξ, можно пренебречь). Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим Наконец, сократив на SΔx, придем к уравнению Подпись: (5.6) которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда ξ не зависит от у и z. Сопоставление уравнений (4.7) и (5.6) дает, что Подпись: (5.7)
υ =
Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корню квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению Подпись: (6.1)Подпись: (5.8)
υ =
где G – модуль сдвига. § 6. Энергия упругой волны Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна x = a cos ( wtkx + a ) Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, и . Выделенный нами объем обладает кинетической энергией Подпись: (6.2) (ρΔV – масса объема, его скорость). Согласно формуле (25.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации (ε = – относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (5.7) модуль Юнга через ρυ 2 (ρ – плотность среды, υ – фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид Подпись: (6.4)Подпись: (6.3) Выражения (6.2) и (6.3) в сумме дают полную энергию Разделив эту энергию на объем ΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии

w

Дифференцирование уравнения (6.1) один раз по t, другой раз по x дает Подставив эти выражения в формулу (6.4) и приняв во внимание, что k2 υ2 = ω2, получим
(6.5)
В случае поперечной волны для плотности энергии получается та­кое же выражение.
(6.6)
Из (6.5) следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квад­рата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соот­ветственно среднее по времени значение плотности энергии в каж­дой точке среды равно Плотность энергии (6.5) и ее среднее значение (6.6) пропорцио­нальны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату ампли­туды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоскости волны, но и для других видов волн (плос­кой затухающей, сферической и т. д.).
(6.7)
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает до­полнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от ис­точника колебаний в различные точки среды самой волной; следо­вательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу вре­мени, называется потоком энергии через эту поверх­ность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии Φ равен Поток энергии – скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. сов­падает с размерностью мощности. В соответствии с этим Φ измеря­ется в ваттах, эрг/с и т. п. Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором пере­носится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна
(6.8)
(см. (6.7)). Через площадку (рис. 6.1) будет перенесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объеме цилиндра с основа­нием и высотой υΔt (υ – фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и Δt ) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный υΔt: Подставив это выражение в формулу (6.8), получим для плот­ности потока энергии:
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распростране­ния волны (и переноса энергии), можно написать j = wv
Рис.6.2
Рис.6.1
Мы получили выражение для вектора плотности потока энер­гии. Этот вектор был впервые введен в рассмотрение выдающимся русским физиком Н. А. Умовым и называется вектором Умова. Вектор (6.10), как и плотность энергии w, различен в разных точках про- странства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно (см. (6.6)). Выражение (6.11), так же как и (6.6), справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.). Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, то имеют в виду среднее по времени значение плот­ности потока энергии, переносимой волной. Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разо­бьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. 6.2 косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен dV = υ dt dS cosφ . В нем содержится энергия dW = w dV = w υ dtdS cos φ (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где рас­положена площадка dS). Приняв во внимание, что w υ dS cos φ = j dS cos φ = j dS (dS = n dS; см. рис. 6.2), можно написать: dW = j dS dt. Отсюда для потока энергии dΦ через площадку dS получается формула
(6.13)
(6.14)
(ср. с формулой (11.5)). Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков (6.12): В соответствии с (11.7) можно сказать, что поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S. Заменив в формуле (6.13) вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Φ: Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каж­дой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направле­нию. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности оди­наков. Следовательно, (r — радиус волновой поверхности). Согласно (6.11) . Таким образом, (ar – амплитуда волны на расстоянии r от источника). Поскольку энергия волны не поглощается средой, средний поток энергии че­рез сферу любого радиуса должен иметь одинаковое значение, т. е. должно выполняться условие Отсюда следует, что амплитуда а, незатухающей сферической волны обратно пропорциональна расстоянию r от источника волны (см. формулу (5.10)). Соответственно средняя плотность потока энергии обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. В случае плоской затухающей волны амплитуда убывает с рас­стоянием по закону a = = a0 e-γx (см. (2.9)). Соответственно средняя плотность потока энергии (т. е. интенсивность волны) убывает по
(6.15)
Здесь c = 2γ – величина, называемая коэффициентом поглощения волны. Она имеет размерность, обратную размерности длины. Легко сообразить, что величина, обратная c, равна расстоянию, на котором интенсивность волны уменьшается в е раз. § 7. Стоячие волны Если в среде распространяется одновременно несколько волн, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна­ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при нало­жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют стоячую волну. Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях: x1 = a cos ( wtkx + a1 ), x2 = a cos ( wt + kx + a2 ).
(7.2)
(7.1)
Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим Уравнение (7.1) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α1 – α2 стала равной нулю, а начало отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α1 – α2. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (7.1) примет вид Из (7.2) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем ампли­туда зависит от х: В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2πx/λ = ± nπ (n Î N) – (3.3), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Из (3.3) получаются значения координат пучностей:
(7.4)
Следует иметь в виду, что пучность представляет собой не одну единственную точку, а плоскость, точки которой имеют значения координаты x, определяемые формулой (7.4). В точках, координаты которых удовлетворяют условию амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют значения
(7.5)
Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плос­кость, точки которой имеют значения координаты х, определяе­мые формулой (7.5).

2acos(2px/l)

Из формул (7.4) и (7.5) следует, что расстояние между сосед­ними пучностями, так же как и расстояние между соседними узла­ми, равно l/2. Пучности и узлы сдвинуты друг относительно друга на четверть длины волны. Обратимся снова к уравнению (7.2). Множитель при переходе через нулевое значение меняет знак. В соответствии с этим фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на p. Это означает, что точки, лежащие по разные стороны от узла, ко­леблются в противофазе. Все точки, заключенные между двумя со­седними узлами, колеблются синфазно. На рис. 7.1 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода. Стрелками показаны скорости частиц. Продифференцировав уравнение (7.2) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц и для дефор­мации среды e:
(7.6)
(7.7)
Уравнение (7.6) описывает стоячую волну скорости, а (7.7) – стоячую волну деформации. Подпись: Рис.7.2На рис. 7.2 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще­ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4. Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч­ностями смещения; узлы же и пучно­сти деформации совпадают соответ­ственно с пучностями и узлами сме­щения. В то время как x и ε достигают максимальных значений, обраща­ется в нуль, и наоборот. Соответст­венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль­ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо­дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со­средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю.