Каталог :: Физика

Билеты: Билеты по теоретической механике

            Ответы к билетам по теоретической механике            
                                                                          
                                                                          
     1. Первая (прямая) задача динамики точки. Способы ее решения.
По известной массе объекта и заданному закону его движения определить
приложенную к объекту силу. Алгоритм решения: 1) F = ma. 2) Рисунок
(движение и проложенные силы). 3) (х) -> .. (y) -> . . 4) F = (Fx
2 + Fy2)^(1/2).
     2. Законы динамики.
Аппаратом решения задач динамики материальной точки являются законы Ньютона: 1).
Материальный объект находится в равновесии (в состоянии покоя или равномерного
движения), если на него не действуют силы, либо если равнодействующая равна
нулю. 2). Единственной причиной возможного движения материального объекта
является приложенная к нему внешняя сила. 3). Действие рождает противодействие.
4) Закон независимости действия сил. Если к материальному объекту приложено
несколько сил, то сообщаемое этому объекту ускорение равно геометрической сумме
ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности. R = F1 + F2 
+ . + Fn; a = a1 + a2 + . + an; a
1 = F1/m; a2 = F2/m; an = F
n/m.
     3. Вторая (обратная) задача динамики точки.
Заключается в следующем: по заданной массе объекта, известным силам и с
учетом начальных условий (состояния объекта в момент начала действия силы)
найти закон движения этого материального объекта.
     4. Интегрирование обратной задачи при действии на точку постоянной силы.
F = const. (P = mg). При действии на материальный объект постоянной силы
уравнения движения могут быть получены путем двукратного интегрирования правых
частей исходных дифференциальных уравнений с учетом начальных условий.  
Пример решения задачи (возможно не нужен):  Тело бросили с земли под углом к
горизонту и оно летит по дуге, на него действует сила тяжести. Дано: P
= mg, V0, α0, m(m), x0 = y0 =
0, t = 0. Найти: x(t), y(1). В любых задачах на рисунке объект
изображается в произвольном положении. Рисунок: система координат x, y.
Из начала координат идет дуга (траектория полета). В начале координат точка M
0 и вектор V0 по касательной к дуге под углом α0
. Где-нибудь в середине дуги точка М и действующая на нее сила P вертикально
вниз. Решение: 1) F = ma. 2) (x): mx’’ = 0, my’’ = -p = -mg. => x’’
= 0, y’’ = -g. => x = const = C1. x’ = V0cos(α
0) => x = x V0cos(α0)t |t=0 
= C2. x = V0cos(α
0)t. y’’ = -g; y’ = -ygt + C3 |t
=0 = y’ = V0sin(α0) = -0 + C3 =>
C3 = V0sin(α0). y’ = V0
sin(α0) – gt. y = V0
sin(α0)t – (gt
2)/2 + C4 (C4 = 0).
     5. Интегрирование обратной задачи при действии на точку силы, зависящей от
скорости.
Если F = f(V), то левую часть уравнения необходимо выразить через dV/dt. ma = F.
(y): m (dV/dt) = mg – kmV.  интеграл от 0 до V [dV/(g –
kV)] = интеграл от 0 до t [dt]. – (1/k)*ln|g - kV| |0V =
t |0t. – (1/k)*ln|1 – (kV)/g| = t. 1 – (kV)/g = e-
tk. V = (g/k)(1 - e-tk) 
= dy/dt => y = (g/k)(t + (1/k) e-tk) + C.
     13. Теорема импульсов для МС.
Теорема об изменении количества движения МС. ki = m
iVi – количество движения отдельной материальной точки. k =
сумма от i=1 до n [(d/dt) (miri)] = (d/dt) (сумма от i=1
до n [ miri ]) = MVc. k = MV
c (1). Т.е. при любом движении системы и любом количестве объектов,
входящих в эту систему, ее количество движения определяется как количество
движения простой материальной точки, имеющей масштаб всей системы и имеющей
скорость центра масс. Мерой механического движения вращающегося тела является
не количество движения, а кинетический момент. ТЕОРЕМА:
m1V1 – m1V10 = (F1e + F1u)t
m2V2 – m2V20 = (F2e + F2u)t
..............
     mnVn – mnVn0 = (Fne + Fnu)t
k1 – k0 = Ret = Se (2)
MVc – MVc0 = Ret = Se
     Конечная форма теоремы импульсов: Изменение главного вектора количества
движения МС за некоторый промежуток времени геометрически равно импульсу
внешних сил, приложенных к системе, за тот же интервал времени. Формулу (2)
можно записать так:
MVcx – MVcx0 = Sex               (3)
MVcy – MVcy0 = Sey
     Закон сохранения количества движения (следствие из теоремы):
if Re = 0 -> Se = 0 -> k1 = k0 = const -> MVc = const -> Vc = const.
Rex = 0 -> Sex = 0 -> kx = kxo = const -> MVcx = const -> Vcx = const.
     9. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.
     Работой силы F на конечном перемещении точки ее приложения является
скалярное произведение этой силы на вектор перемещения: dA = Fdr =
Fdr*cosα = Fxdx + Fydy. Теорема: 
Единственной причиной изменения кинетической энергии объекта является
приложенная к нему внешняя сила: dT = d(mV2/2) = (2mVdV)/2 = Fdr =
dA. dT = dA – мерой действия силы при изменении
кинетической энергии объекта является производимая  внешними силами работа. 
T1 – T0 = A – изменение кинетической энергии
материального объекта на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к
нему, на том же перемещении.
     10. Вычисление работ сил различной физической природы.
     Работой силы F на конечном перемещении точки ее приложения является
скалярное произведение этой силы на вектор перемещения: dA = Fdr =
Fdr*cosα = Fxdx + Fydy. а) сила постоянная: A =
FScosα. б) сила тяжести: A = ±mgh. в) сила трения: A = – FNS. г) упругая
сила: A = ± (C∆l2)/2, C – жесткость, ∆l – деформация. 
dT = dA – мерой действия силы при изменении кинетической
энергии объекта является производимая  внешними силами работа. T1 – 
T0 = A – изменение кинетической энергии материального объекта
на некотором перемещении равно работе сил, приложенных к нему, на том же
перемещении.
     11. Теорема о движении центра масс механической системы.
Запишем для всех точек системы второй закон Ньютона:
m1r1’’ = F1e + R1
m2r2’’ = F2e + R2
     ...........
     mnrn’’ = Fne + Rn
сумма от i=1 до n [ miri’’] = Re + 0
     сумма от i=1 до n [ miri’’]
= Re = Mac.  сумма от i=1 до n [ miri
’’] = сумма от i=1 до n [ d2/dt2] (m, ri) = d
2/dt2(сумма от i=1 до n [miri]) = d2
/dt2 (M*rc) = Mrc’’ = Mac = R
e  (C). Т. е. ЦМ любой системы движется как простая материальная
точка, имеющая массу всей системы, под действием главного вектора действующих
сил, приложенных в центре масс. Mxc’’ = Rex;
Myc’’ = Rey; Mzc’’ = Re
z.
     12. Законы сохранения положения центра масс.
     Следствия из Т. о движении ЦМ МС:
if – Re = 0 -> ac = 0 -> Vc = const = Vco -> if Vc0 = 0 -> rc = const = rc0.
\
Rxe = 0 -> x’’c = 0 -> x’c = const = x’co -> if x’c0 = 0 -> xc = const = xc0.
Если на тело не действуют внешние силы => ЦМ либо не движется, либо движется
прямолинейно и равномерно.
Если в каком-то направлении к системе не приложены силы, то в этом
направлении ЦМ либо не перемещается, либо перемещается равномерно.
Оба этих следствия называются закон сохранения положения ЦМ.
     21. Принцип Даламбера для несвободной материальной     точки и системы.
     Несвободная мат. точка – такой объект, свобода перемещения которого
ограничена другими телами. Несвободное движение происходит при одновременном
действии на объект внешней силы и реакции связей. Реакции связей, возникающие
при движении, называются динамическими. Рисунок: к
потолку на нитке прикреплен шарик, нитка раскачивается. От шарика вдоль нитки
идет сила T. Вертикально вниз от шарика идет сила P, и по ней – свободное
движение. Обозначена траектория движения шарика дугой, это несвободное
движение. По касательной к траектории движения от шарика идет сила R. Запишем
второй закон Ньютона для несвободного движения объекта: ma = F = Fe 
+ R. (R – это T, Fe – это P). Fe + R  ma = 0, -ma = Fu. Fe + 
R + Fu = 0. Это означает, что в любой момент
времени движения материального объекта геометрическая сума внешних сил, реакции
связей и сил инерции равны нулю. Таким образом, для нахождения динамических
реакций связей необходимо составить уравнения равновесия, как в статике, но с
учетом сил инерции. Для решения задач с использованием принципа Даламбера
необходимо показать внешние силы, реакции связей и вычислить силы инерции. 
Пример: Стержень 1 вращается, к нему на кронштейне прикреплен стержень
2, который может отклоняться. Дано: m, длина кронштейна - b, длина
стержня 2 - l, угловая скорость вращения стержня 1 – w. Найти: угол
отклонения стрежня 2 от вертикали – α. Решение: Рисунок
: Показана вся эта бадяга. От конца стержня 2: к его началу сила T, сила Fu 
вправо, an влево, сила P вниз. Показан угол α от вертикали,
расстояние b между стержнем 1 и верхним концом стержня 2, между нижним концом
стержня 2 и стержнем 1 – расстояние R. Стержень 1 вращается со скоростью w.  F
u = man = mw2(b + lsinα). (то, что в скобке –
это и есть R). –mg l sinα + Fulcosα = 0, –mg l sinα +
mw2(b + lsinα)lcosα = 0, –g sinα + w2(b +
lsinα)cosα = 0. Отсюда находим α.
     17, 18, 19. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
для поступательного, вращательного и плоского движения.
Общая формула: T1 – T0 = Ae. Для 
поступательного движения: (mVc2)/2 – (mVco
2)/2 = Ae. Это уравнение тоже не имеет постоянной формы записи
и определяется характером приложенных сил: A(P) = ±mgh, A(Fтр) =
fNS, A(Mвр) = ± Mврα. Для вращательного
движения: (Jw2)/2 – (Jw02)/2 = Ae
. Для плоского движения: (Jw2)/2 – (Jw0
2)/2 + (MVc2)/2 – (MVco2)/2 =
Ae.
     16. Плоское движение тела. Качение колеса.
На основании теоремы об изменении кинетического момента твердого тела можно
записать дифференциальное уравнение его вращения. (Здесь все штрихи – это точки
над буквой, т.е. φ’’ – это «фи с двумя точками») Jyφ’’ = M
ye. am = Fe. На основании теоремы о движении центра
масс можно записать уравнение поступательного движения. Это означает, что для
плоского движения тела необходимо использовать обе теоремы. Mac = R
ce. Jzφ’’ = Mze. Дальше
фигурная скобка на три следующих уравнения: Mx’’c = Rx
e, My’’c = Rye, Mz’’c = R
ze. Качение колеса.  Рисунок: Два
колеса, левое – ведущее, правое – ведомое. Скорость направлена влево. Ось у
направлена влево, х – вверх. От каждого колеса вниз идут силы Q, вверх – N. От
точки, где левое колесо соприкасается с землей влево сила Fсц
. От точки, где правое колесо соприкасается с землей, вправо идет тоже F
сц. Внутри левого колеса против часовой стрелки идет M, внутри правого –
w. От центра левого колеса вправо FR и Rb. От центра
правого колеса влево FT, вправо Rb и Fk. 1)
Ведущее: фигурная скобка на 3 следующих уравнения: Mx’’c = Fсц 
– Fk – Rb; 0 = Q – N; Jcε = M – Fсц
R. Фигурная скобка на 2 следующих уравнения: Mx’’c = fN – Nfk
/R – Rb; mρ2ε = M – fNR. Из первого уравнения
=> x’’c = (N(f – k))/m. ε = (M – fNR)/mρ2.
Условие отсутствия пробуксовки (нормальное качение): x’’c = εR.
(N(f – k))/m = R(M – fNR)/mρ2 => M = [mQ(f – k) ρ2
]/mR + fNR. M = [Q(f – k) ρ2]/R + fNR.
     20. Принцип возможных перемещений.
ПВП используется для анализа положения равновесия МС. ВП – перемещения,
допускаемые наложенными связями. Этот принцип применим для МС с идеальными
связями (связи без трения). Идеальные связи: сумма работ реакций = 0. 
сумма от i=1 до n [RiδSi
cosαi] Признак равновесия: Fe1 
+ R1 = 0. δRi – возможное перемещение i-ой точки.
Сумма от i=1 до n [Fieδri + Ri
δri] = 0. Сумма от i=1 до n [FiδSi
cosαi] = 0 – форма (I). Таким образом, если МС с идеальными
связями находится в положении равновесия, то алгебраическая сумма работ всех
внешних сил на возможных перемещениях точек их приложения равна нулю. 
Порядок решения задач: 1) Показать МС в положении равновесия. 2) Убедиться в
том, что связи идеальные, либо их можно сделать идеальными. 3) Показать
возможные перемещения. 4) Составить уравнение работ ПВП либо в форме (I), либо
в координатной форме:  Сумма[Fiexδx] + F
1yδy + F1zδz = 0 – форма (II).
5) Выразить возможные перемещения в этом уравнении одно через другое, либо
через одно и то же третье.
     15. Теорема моментов. Динамика вращения тела.
k = MVc – для поступательного движения. Кинетический момент – мера
механического движения системы или твердого тела при вращении.  Ly 
= Jyw. Моментом инерции твердого тела (Jy
) называется мера инерционных свойств тела при вращении. Jy = сумма
от i=1 до n [miyi)2]. 
Диск: Jz = mR2/2, R – радиус диска. 
Стержень: Jz = ml/2, l – длина стержня. dLy/dt = J
yε = Mye. Единственной причиной изменения
кинетического момента системы или твердого тела является приложенный к этой
системе момент внешних сил. На основании теоремы об изменении кинетического
момента можно решать задачи динамики твердого тела. Если вращающееся тело имеет
неправильную форму, то момент инерции таких тел вычисляется: Jy =
mρ2, ρ – радиус инерции. ρ – это расстояние, на
котором нужно сосредоточить в одной точке всю массу тела, чтобы момент инерции
реального тела был равен моменту инерции данной точки. Определяется
экспериментально. Для колеса: Jy = mR2. Динамика
вращения тела: На основании теоремы об изменении кинетического момента
твердого тела можно записать дифференциальное уравнение его вращения. (Здесь
все штрихи – это точки над буквой, т.е. φ’’ – это «фи с двумя точками») J
yφ’’ = Mye. am = Fe. На основании
теоремы о движении центра масс можно записать уравнение поступательного
движения. Это означает, что для плоского движения тела необходимо использовать
обе теоремы. Mac = Rce. Jzφ’’
= Mze. Дальше фигурная скобка на три следующих уравнения:
Mx’’c = Rxe, My’’c = Ry
e, Jφ’’c = Mze.