Каталог :: Физика

: Стереометрия. Тема Движение

Ðåôåðàò ïî ñòåðåîìåòðèè
Ó÷åíèêà 11 “” êëàññà
Àëåêñååíêî Íèêîëàÿ
                        Òåìà :                        
           Äâèæåíèå.           
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå !
29.10.1995 ã.
Øêîëà # 1278, êë. 11 “”.
Äâèæåíèÿ. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ôèãóð.
Ïðè ñîçäàíèè ðåôåðàòà áûëè èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå êíèãè:
1. “Ãåîìåòðèÿ äëÿ 9-10 êëàññîâ”. À.Ä.Àëåêñàíäðîâ, À.Ë.Âåðíåð, Â.È.Ðûæèê.
2. “Ãåîìåòðèÿ”. Ë.Ñ.Àòàíàñÿí, Â.Ô.Áóòóçîâ, Ñ.Á.Êàäîìöåâ è äð.
3. “Ìàòåìàòèêà”. Â.À.Ãóñåâ, À.Ã.Ìîðäêîâè÷.
Âñå ðèñóíêè íàõîäÿòñÿ íà îòäåëüíîì ëèñòå, ïðèëîæåííîì ê ðåôåðàòó. Ðåøåíèÿ çàäà÷ òàêæå íà îòäåëüíîì ëèñòå. Äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíûõ òåîðåì, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì, ÿ òàêæå ïðèâîæó íà îòäåëüíûõ ëèñòêàõ. Â ðåôåðàòå - òîëüêî îïðåäåëåíèÿ è êëàññèôèêàöèÿ.
Äâèæåíèåì â ãåîìåòðèè íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå, ñîõðàíÿþùåå ðàññòîÿíèå. Ñëåäóåò ðàçúÿñíèòü, ÷òî ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïîä ñëîâîì “îòîáðàæåíèå”.
1. Îòîáðàæåíèÿ, îáðàçû, êîìïîçèöèè îòîáðàæåíèé.
     Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó èç M åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà èç N.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îòîáðàæåíèå ôèãóð â ïðîñòðàíñòâå. Íèêàêèå äðóãèå îòîáðàæåíèÿ íå ðàññìàòðèâàþòñÿ, è ïîòîìó ñëîâî “îòîáðàæåíèå” îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâèå òî÷êàì òî÷åê.
Î òî÷êå X’, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðè äàííîì îòîáðàæåíèè f òî÷êå X, ãîâîðÿò, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì òî÷êè X, è ïèøóò X’ = f(X). Ìíîæåñòâî òî÷åê X’, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì ôèãóðû M, ïðè îòîáðàæåíèè f íàçûâàåòñÿ îáðàçîì ôèãóðû M è îáîçíà÷àåòñÿ M’ = f(M).
Åñëè îáðàçîì M ÿâëÿåòñÿ âñÿ ôèãóðà N, ò.å. f(M) = N, òî ãîâîðÿò îá îòîáðàæåíèè ôèãóðû M íà ôèãóðó N.
Îòîáðàæåíèå íàçûâàåòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, åñëè ïðè ýòîì îòîáðàæåíèè îáðàçû êàæäûõ äâóõ ðàçëè÷íûõ òî÷åê ðàçëè÷íû.
Ïóñòü ó íàñ
åñòü
âçàèìíî
îäíîçíà÷íîå
îòîáðàæåíèå
f ìíîæåñòâà M
íà N. Òîãäà
êàæäàÿ
òî÷êà X’
ìíîæåñòâà N
ÿâëÿåòñÿ
îáðàçîì
òîëüêî îäíîé
(åäèíñòâåííîé)
òî÷êè X
ìíîæåñòâà M.
Ïîýòîìó
êàæäîé
òî÷êå X’ Ì N
ìîæíî
ïîñòàâèòü â
ñîîòâåòñòâèå
òó
åäèíñòâåííóþ
òî÷êó X Ì M,
îáðàçîì
êîòîðîé ïðè
îòîáðàæåíèè
f ÿâëÿåòñÿ
òî÷êà X’. Òåì
ñàìûì ìû
îïðåäåëèì
îòîáðàæåíèå
ìíîæåñòâà N
íà
ìíîæåñòâî M,
îíî
íàçûâàåòñÿ 
îáðàòíûì 
äëÿ
îòîáðàæåíèÿ
f è
îáîçíà÷àåòñÿ
f. Åñëè
îòîáðàæåíèå
f èìååò
îáðàòíîå, òî
îíî
íàçûâàåòñÿ 
îáðàòèìûì.
Íåïîäâèæíîé òî÷êîé îòîáðàæåíèÿ j íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà A, ÷òî
j(A) = A.
Èç äàííûõ îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî åñëè îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f   òàêæå îáðàòèìî è (f  )   = f. Ïîýòîìó îòîáðàæåíèÿ f è f   íàçûâàþòñÿ òàêæå âçàèìíî îáðàòíûìè.
Ïóñòü çàäàíû äâà îòîáðàæåíèÿ: îòîáðàæåíèå f ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî N è îòîáðàæåíèå g ìíîæåñòâà N â ìíîæåñòâî P. Åñëè ïðè îòîáðàæåíèè f òî÷êà
X Ì N ïåðåøëà â òî÷êó X’ = f(X) Ì N, à çàòåì X’ ïðè îòîáðàæåíèè g ïåðåøëà â òî÷êó X’’ Ì P, òî òåì ñàìûì â ðåçóëüòàòå X ïåðåøëà â X’’ (ðèñ.1).
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåòñÿ íåêîòîðîå îòîáðàæåíèå h ìíîæåñòâà M â ìíîæåñòâî P. Îòîáðàæåíèå h íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèåé îòîáðàæåíèÿ f ñ ïîñëåäóþùèì îòîáðàæåíèåì g.
Åñëè äàííîå îòîáðàæåíèå f îáðàòèìî, òî, ïðèìåíÿÿ åãî, à ïîòîì îáðàòíîå åìó îòîáðàæåíèå f  , âåðíåì, î÷åâèäíî, âñå òî÷êè â èñõîäíîå ïîëîæåíèå, ò.å. ïîëó÷èì òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òàêîå, êîòîðîå êàæäîé òî÷êå ñîïîñòàâëÿåò ýòó æå òî÷êó.
2. Îïðåäåëåíèå äâèæåíèÿ.
     Äâèæåíèåì (èëè ïåðåìåùåíèåì) ôèãóðû íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûì äâóì åå òî÷êàì A è B ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè A’ è B’, ÷òî |A’B’| = |AB|. (ðèñ.2).
     Òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ äâèæåíèÿ.
     Ôèãóðà F’ íàçûâàåòñÿ ðàâíîé ôèãóðå F, åñëè îíà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç F äâèæåíèåì.
3. Îáùèå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ.
     Ñâîéñòâî 1 (ñîõðàíåíèå ïðÿìîëèíåéíîñòè).
                 Ïðè äâèæåíèè òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïåðåõîäÿò â òðè òî÷êè, ëåæàùèå íà ïðÿìîé, ïðè÷åì òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè, ïåðåõîäèò â òî÷êó, ëåæàùóþ ìåæäó îáðàçàìè äâóõ äðóãèõ òî÷åê (ñîõðàíÿåòñÿ ïîðÿäîê èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ).
     Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïëàíèìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî òðè òî÷êè A, B, C ëåæàò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíà èç íèõ, íàïðèìåð òî÷êà B, ëåæèò ìåæäó äâóìÿ äðóãèìè - òî÷êàìè A è C, ò.å. êîãäà âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
                               |AB| + |BC| = |AC|.                               
Ïðè äâèæåíèè ðàññòîÿíèÿ ñîõðàíÿþòñÿ, à çíà÷èò, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ è äëÿ òî÷åê A’, B’, C’:
                            |A’B’| + |B’C’| = |A’C’|.                            
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êè A’, B’, C’ ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è èìåííî òî÷êà B’ ëåæèò ìåæäó A’ è C’.
Èç äàííîãî ñâîéñòâà ñëåäóþò òàêæå åùå íåñêîëüêî ñâîéñòâ:
     Ñâîéñòâî 2. Îáðàçîì îòðåçêà ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê.
     Ñâîéñòâî 3. Îáðàçîì ïðÿìîé ïðè äâèæåíèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, à îáðàçîì ëó÷à - ëó÷.
     Ñâîéñòâî 4. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ ðàâíûé åìó òðåóãîëüíèê, îáðàçîì ïëîñêîñòè - ïëîñêîñòü, ïðè÷åì ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè îòîáðàæàþòñÿ íà ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè, îáðàçîì ïîëóïëîñêîñòè - ïîëóïëîñêîñòü.
     Ñâîéñòâî 5. Ïðè äâèæåíèè îáðàçîì òåòðàýäðà ÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð, îáðàçîì ïðîñòðàíñòâà - âñå ïðîñòðàíñòâî, îáðàçîì ïîëóïðîñòðàíñòâà - ïîëóïðîñòðàíñòâî.
     Ñâîéñòâî 6. Ïðè äâèæåíèè óãëû ñîõðàíÿþòñÿ, ò.å. âñÿêèé óãîë îòîáðàæàåòñÿ íà óãîë òîãî æå âèäà è òîé æå âåëè÷èíû. Àíàëîãè÷íîå âåðíî è äëÿ äâóãðàííûõ óãëîâ.
Ñíà÷àëà ÿ ðàññìîòðþ âñå îñíîâíûå âèäû äâèæåíèé, à çàòåì ñâåäó èõ â åäèíóþ ñèñòåìó.
4. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
     Îïðåäåëåíèå. Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, èëè, êîðî÷å, ïåðåíîñîì ôèãóðû, íàçûâàåòñÿ òàêîå åå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå åå òî÷êè ñìåùàþòñÿ â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè íà ðàâíûå ðàññòîÿíèÿ (ðèñ.3), ò.å. ïðè ïåðåíîñå êàæäûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû ñîïîñòàâëÿþòñÿ òàêèå òî÷êè X’ è Y’, ÷òî
                                XX’ = YY’.                                
Îñíîâíîå ñâîéñòâî ïåðåíîñà: Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è íàïðàâëåíèÿ, ò.å.
                                   X’Y’ = XY.                                   
Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ åñòü äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, ñîõðàíÿþùåå íàïðàâëåíèå, åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
Èç ýòèõ óòâåðæäåíèé òàêæå âûòåêàåò, ÷òî êîìïîçèöèÿ ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
     Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê. Íàïðèìåð, åñëè óêàçàíî, â êàêóþ òî÷êó A’ ïåðåõîäèò
äàííàÿ òî÷êà A, òî ýòîò ïåðåíîñ çàäàí âåêòîðîì AA’, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå òî÷êè
ñìåùàþòñÿ íà îäèí è òîò æå âåêòîð, ò.å. XX’ = AA’ äëÿ âñåõ òî÷åê Õ.
5. Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.
     Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè òî÷êè A, A’, O ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è OX = OX’. Òî÷êà Î ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìà ñåáå (îòíîñèòåëüíî Î).
     Äâå ôèãóðû íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î, åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå è îáðàòíî.
Êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé, ôèãóðà ìîæåò áûòü ñèììåòðè÷íà ñàìà ñåáå îòíîñèòåëüíî íåêîåé òî÷êè Î. Òîãäà ýòà òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè ôèãóðû, à ôèãóðà - öåíòðàëüíî-ñèììåòðè÷íîé.
     Îïðåäåëåíèå 2. Öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé ôèãóðû îòíîñèòåëüíî Î íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå ýòîé ôèãóðû, êîòîðîå ñîïîñòàâëÿåò êàæäîé åå òî÷êå òî÷êó, ñèììåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî Î.
     Îñíîâíîå ñâîéñòâî : Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèå, à íàïðàâëåíèå èçìåíÿåò íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Èíà÷å ãîâîðÿ, ëþáûì äâóì òî÷êàì X è Y ôèãóðû F ñîîòâåòñòâóþò òàêèå òî÷êè X’ è Y’, ÷òî
                            X’Y’ = -XY.                            
     Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïðè öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè ñ öåíòðîì â òî÷êå Î òî÷êè X è Y îòîáðàçèëèñü íà X’ è Y’. Òîãäà, êàê ÿñíî èç îïðåäåëåíèÿ öåíòðàëüíîé ñèììåòðèè (ðèñ.4),
                              OX’ = -OX, OY’ = -OY.                              
Âìåñòå ñ òåì
                         XY = OY - OX, X’Y’ = OY’ - OX’.                         
Ïîýòîìó èìååì:
                             X’Y’ = -OY + OX = -XY.                             
Îòñþäà âûõîäèò, ÷òî öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì, èçìåíÿþùèì íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå è íàîáîðîò, äâèæåíèå, èçìåíÿþùåå íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå, åñòü öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ.
     Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ ôèãóðû çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñóùåñòâóþùèõ òî÷åê: åñëè òî÷êà À îòîáðàæàåòñÿ íà À’, òî öåíòð ñèììåòðèè - ýòî ñåðåäèíà îòðåçêà AA’.
6. Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ (îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè).
     Îïðåäåëåíèå 1. Òî÷êè A è A’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, åñëè îòðåçîê AA’ ïåðïåíäèêóëÿðåí ýòîé ïëîñêîñòè è äåëèòñÿ åþ ïîïîëàì. Ëþáàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè a ñ÷èòàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé ñàìîé ñåáå îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè (ðèñ.5).
Äâå ôèãóðû F è F’ íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, åñëè îíè ñîñòîÿò èç òî÷åê, ïîïàðíî ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè, ò.å. åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè îäíîé ôèãóðû åñòü ñèììåòðè÷íàÿ åé òî÷êà â äðóãîé ôèãóðå.
Åñëè ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè ïåðåâîäèò ôèãóðó â ñåáÿ, òî ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè a, à ïëîñêîñòü a - ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè. 
     Îïðåäåëåíèå 2. Îòîáðàæåíèå ôèãóðû, ïðè êîòîðîì êàæäîé åå òî÷êå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà, ñèììåòðè÷íàÿ åé îòíîñèòåëüíî äàííîé ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ îòðàæåíèåì ôèãóðû â ýòîé ïëîñêîñòè (èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé).
     Òåîðåìà 1. Îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ è, ñòàëî áûòü, ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 1.
     Òåîðåìà 2. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì âñå òî÷êè íåêîòîðîé ïëîñêîñòè íåïîäâèæíû, ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì â ýòîé ïëîñêîñòè èëè òîæäåñòâåííûì îòîáðàæåíèåì.
     Çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ çàäàåòñÿ óêàçàíèåì îäíîé ïàðû ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê, íå ëåæàùèõ â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè: ïëîñêîñòü ñèììåòðèè ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ýòè òî÷êè, ïåðïåíäèêóëÿðíî ê íåìó.
7. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé.
Äëÿ áîëåå ÷åòêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ î ïîâîðîòå âîêðóã ïðÿìîé ñëåäóåò âñïîìíèòü ïîâîðîò íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè. Ïîâîðîòîì íà ïëîñêîñòè îêîëî äàííîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ òàêîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì êàæäûé ëó÷, èñõîäÿùèé èç äàííîé òî÷êè, ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ.6). Ïåðåéäåì òåïåðü ê ïîâîðîòó â ïðîñòðàíñòâå.
     Îïðåäåëåíèå. Ïîâîðîòîì ôèãóðû âîêðóã ïðÿìîé a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå, ïðè êîòîðîì â êàæäîé ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïðÿìîé a, ïðîèñõîäèò ïîâîðîò âîêðóã òî÷êè åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé a íà îäèí è òîò æå óãîë j â îäíîì è òîì æå íàïðàâëåíèè (ðèñ. 7). Ïðÿìàÿ a íàçûâàåòñÿ îñüþ ïîâîðîòà, à óãîë j - óãëîì ïîâîðîòà.
Îòñþäà âèäèì, ÷òî ïîâîðîò âñåãäà çàäàåòñÿ îñüþ, óãëîì è íàïðàâëåíèåì ïîâîðîòà.
     Òåîðåìà 1. Ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèåì.
Ñì. Äîêàçàòåëüñòâî 2.
     Òåîðåìà 2. Åñëè äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà èìååò ìíîæåñòâîì ñâîèõ íåïîäâèæíûõ òî÷åê ïðÿìóþ, òî îíî ÿâëÿåòñÿ ïîâîðîòîì âîêðóã ýòîé ïðÿìîé.
7.1. Ôèãóðû âðàùåíèÿ.
     Ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ôèãóðîé âðàùåíèÿ, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïðÿìàÿ, ëþáîé ïîâîðîò âîêðóã êîòîðîé ñîâìåùàåò ôèãóðó ñàìó ñ ñîáîé, äðóãèìè ñëîâàìè, îòîáðàæàåò åå ñàìó íà ñåáÿ. Òàêàÿ ïðÿìàÿ íàçûâàåòñÿ îñüþ âðàùåíèÿ ôèãóðû. Ïðîñòåéøèå òåëà âðàùåíèÿ : øàð, ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð, ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ.
7.2. Îñåâàÿ ñèììåòðèÿ.
×àñòíûì
ñëó÷àåì
ïîâîðîòà
âîêðóã
ïðÿìîé
ÿâëÿåòñÿ
ïîâîðîò íà 180°.
Ïðè ïîâîðîòå
âîêðóã
ïðÿìîé a íà 180°
êàæäàÿ
òî÷êà A
ïåðåõîäèò â
òàêóþ òî÷êó
A’, ÷òî ïðÿìàÿ a 
ïåðïåíäèêóëÿðíà
îòðåçêó AA’ è
ïåðåñåêàåò
åãî â
ñåðåäèíå. Ïðî
òàêèå òî÷êè A
è A’ ãîâîðÿò,
÷òî îíè
ñèììåòðè÷íû
îòíîñèòåëüíî
îñè a.
Ïîýòîìó
ïîâîðîò íà 180°
âîêðóã
ïðÿìîé
ÿâëÿåòñÿ
íàçûâàåòñÿ
îñåâîé
ñèììåòðèåé
â
ïðîñòðàíñòâå
.
8.1. Íåïîäâèæíûå òî÷êè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.
Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî åãî íåïîäâèæíûõ òî÷åê. Çäåñü ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ ëèøü ñëåäóþùèå ïÿòü ñëó÷àåâ:
1.      Ó äâèæåíèÿ íåïîäâèæíûõ òî÷åê íåò (íåòîæäåñòâåííûé ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ).
2.      Äâèæåíèå èìååò ëèøü îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó (öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).
3.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé (ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé).
4.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ (çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèÿ).
5.      Ìíîæåñòâî íåïîäâèæíûõ òî÷åê äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ âñåì ïðîñòðàíñòâîì (òîæäåñòâåííîå äâèæåíèå).
Äàííàÿ êëàññèôèêàöèÿ î÷åíü óäîáíà, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò âñå âèäû äâèæåíèÿ êàê åäèíóþ ñèñòåìó.
8.2. Îñíîâíûå òåîðåìû î çàäàíèè äâèæåíèé ïðîñòðàíñòâà.
     Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå äàíû äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà ABC è A’B’C’. Òîãäà ñóùåñòâóþò äâà è òîëüêî äâà òàêèõ äâèæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ïåðåâîäÿò A â A’, B â B’, C â C’. Êàæäîå èç ýòèõ äâèæåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî ñ ïîìîùüþ êîìïîçèöèè åãî ñ îòðàæåíèåì â ïëîñêîñòè A’B’C’.
     Òåîðåìà 2. 
Ïóñòü â
ïðîñòðàíñòâå
çàäàíû äâà
ðàâíûõ
òåòðàýäðà ABCD è
A’B’C’D’. Òîãäà
ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííîå
äâèæåíèå
ïðîñòðàíñòâà
j, òàêîå, ÷òî j (A) = A’, j
(B) = B’, j (C) = C’, j (D) = D’.
9. Äâà ðîäà äâèæåíèé.
Ñëåäóåò òàêæå çíàòü, ÷òî âñå äâèæåíèÿ ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà äâà ðîäà â çàâèñèìîñòè îò òîãî, íåïðåðûâíû îíè èëè íåò. Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ ñóùíîñòè ýòîãî ðàçäåëåíèÿ ââåäó ïîíÿòèå áàçèñà è åãî îðèåíòàöèè.
9.1. Áàçèñû è èõ îðèåíòàöèÿ.
                 Áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ òðîéêà âåêòîðîâ, íåïàðàëëåëüíûõ îäíîâðåìåííî íèêàêîé ïëîñêîñòè.
Òðîéêà áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (ëåâîé), åñëè ýòè âåêòîðû, îòëîæåííûå îò îäíîé òî÷êè, ðàñïîëàãàþòñÿ òàê, êàê ðàñïîëîæåíû ñîîòâåòñòâåííî áîëüøîé, óêàçàòåëüíûé è ñðåäíèé ïàëüöû ïðàâîé (ëåâîé) ðóêè.
Åñëè èìåþòñÿ äâå ïðàâûå (ëåâûå) òðîéêè âåêòîðîâ, ãîâîðÿò, ÷òî ýòè òðîéêè îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Åñëè îäíà òðîéêà ÿâëÿåòñÿ ïðàâîé, à âòîðàÿ - ëåâîé, òî îíè îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî.
9.2. Äâà ðîäà äâèæåíèÿ.
     Äâèæåíèÿ ïåðâîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå ñîõðàíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íåêîåé ôèãóðû. Îíè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.
     Äâèæåíèÿ âòîðîãî ðîäà - òàêèå äâèæåíèÿ, êîòîðûå èçìåíÿþò îðèåíòàöèþ áàçèñîâ íà ïðîòèâîïîëîæíóþ. Îíè íå ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íåïðåðûâíûìè äâèæåíèÿìè.
Ïðèìåðàìè äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ ïåðåíîñ è ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé, à äâèæåíèÿìè âòîðîãî ðîäà - öåíòðàëüíàÿ è çåðêàëüíàÿ ñèììåòðèè.
     Êîìïîçèöèåé ëþáîãî ÷èñëà äâèæåíèé ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ äâèæåíèå ïåðâîãî ðîäà.
                 Êîìïîçèöèÿ ÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé âòîðîãî ðîäà åñòü äâèæåíèå 1 ðîäà, à êîìïîçèöèÿ íå÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé 2 ðîäà - äâèæåíèå 2 ðîäà.
10. Íåêîòîðûå ðàñïðîñòðàíåííûå êîìïîçèöèè.
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåêîòîðûå êîìáèíàöèè äâèæåíèé, èñïîëüçóåìûå äîñòàòî÷íî ÷àñòî, íî íå óäåëÿÿ èì îñîáîãî âíèìàíèÿ.
10.1. Êîìïîçèöèè îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.
     Òåîðåìà 1. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè äâóõ èëè ÷åòûðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.
                 Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî âèäà åñòü ëèáî îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè, ëèáî ïðåäñòàâèìî â âèäå êîìïîçèöèè òðåõ îòðàæåíèé â ïëîñêîñòè.
Îòñþäà ìû ìîæåì îáúÿñíèòü óæå èçâåñòíûå íàì äâèæåíèÿ òàê:
·         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ.
·         Êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â 2 ïåðåñåêàþùèõñÿ ïëîñêîñòÿõ åñòü ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé.
·         Öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî äàííîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ êîìïîçèöèåé 3 îòðàæåíèé îòíîñèòåëüíî ëþáûõ 3 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, ïåðåñåêàþùèõñÿ â ýòîé òî÷êå. 
10.2. Âèíòîâûå äâèæåíèÿ.
     Îïðåäåëåíèå. Âèíòîâûì äâèæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé îñè ïîâîðîòà. Ïðåäñòàâëåíèå î òàêîì äâèæåíèè äàåò ââèí÷èâàþùèéñÿ èëè âûâèí÷èâàþùèéñÿ âèíò.
     Òåîðåìà 2. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà ïåðâîãî ðîäà - âèíòîâîå äâèæåíèå (â ÷àñòíîñòè ïîâîðîò âîêðóã ïðÿìîé èëè ïåðåíîñ).
10.3. Çåðêàëüíûé ïîâîðîò.
     Îïðåäåëåíèå. Çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì âîêðóã îñè a íà óãîë j íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà âîêðóã îñè a íà óãîë j è îòðàæåíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ïîâîðîòà.
     Òåîðåìà 3. Ëþáîå äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, èìåþùåå íåïîäâèæíóþ òî÷êó, ÿâëÿåòñÿ çåðêàëüíûì ïîâîðîòîì, êîòîðûé, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò áûòü öåíòðàëüíîé èëè çåðêàëüíîé ñèììåòðèåé.
10.4. Ñêîëüçÿùèå îòðàæåíèÿ.
     Îïðåäåëåíèå. Ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ êîìïîçèöèÿ îòðàæåíèÿ â íåêîåé ïëîñêîñòè è ïåðåíîñà íà âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé ýòîé ïëîñêîñòè.
     Òåîðåìà 4. Äâèæåíèå ïðîñòðàíñòâà âòîðîãî ðîäà, íå èìåþùåå íåïîäâèæíûõ òî÷åê, åñòü ñêîëüçÿùåå îòðàæåíèå.
     Òåîðåìà Øàëÿ. Äâèæåíèå ïëîñêîñòè ïåðâîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ëèáî ïîâîðîòîì, ëèáî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì.
                 Äâèæåíèå ïëîñêîñòè âòîðîãî ðîäà ÿâëÿåòñÿ ñêîëüçÿùèì îòðàæåíèåì.
Ïðèìå÷àíèå: Ê ðåôåðàòó ïðèëàãàþòñÿ 7 ðèñóíêîâ, 2 ïèñüìåííûõ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì è ðåøåíèÿ çàäà÷.
     ÑÏÀÑÈÁÎ ÇÀ ÂÍÈÌÀÍÈÅ !
Ðåôåðàò ñîñòàâëåí è íàïå÷àòàí Íèêîëàåì Àëåêñååíêî â ðåäàêòîðå Word for Windows 6.0.