Каталог :: Радиоэлектроника

Контрольная: Переходные процессы в электрических цепях

     Пример решения задачи     
                        по разделу «Переходные процессы»                        
     Задача. Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис.
1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Требуется определить закон
изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы.
Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании
полученного аналитического выражения построить график изменения искомой
величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = 
, где – меньший по
модулю корень характеристического уравнения.
Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
                                    Решение.                                    
                               Классический метод.                               
Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра:
i(t) = iпр(t) +  iсв(t);     u(t) = uпр(t)+  u
                                       св(t),                          (1)
где , а .
     1. Находим токи и напряжения
докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление
индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то
расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2.
Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только
одна ветвь, то ток i1(0–) равен току i3(0–), ток i2
(0–) равен нулю, и в схеме всего один контур.
Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура:
          ,          
откуда
        = 4 А.       
Напряжение на емкости равно нулю [uC(0–) = 0].
2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента
времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону
коммутации iL(0–) = iL(0+), т.е. ток i3(0+) =
4 А. По второму закону коммутации uC(0–) = uC(0+) = 0.
     Для контура, образованного ЭДС
Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа
имеем:
                    
или
          ;          
        i1(0+) = i2(0+) + i3(0+) = 14 А.        
Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC(0+) = 100 В,
напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости.
     3. Рассчитываем принужденные
составляющие токов и напряжений для 
. Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с
емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета
параметров докоммутационого режима.
       = 10 А;      
      = 100 В;      ;       
4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t =
0+, исходя из выражений i(0+) = iпр(0+) + iсв(0+) и u(0+)
= uпр(0+) + uсв(0+).
iсв1(0+) = 4 А; iсв2(0+) = 10 А; iсв3(0+) = –6 А; uсвL(0+) = uсвС(0+) = 0; .
5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени
непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему
уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3,
положив Е = 0.
          ;          
                                         (2)
                    
Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: 
, а производную напряжения на емкости – из уравнения 
. Т.е.
       и  ,
откуда
     ;                                 (3)
Подставляя (3) в (2), после решения получаем:
     ;     ;     ;    
Все полученные результаты заносим в таблицу.
     

i1

i2

i3

uL

uC

uR2

t = 0+1410400100

1001000100

410–6000

–105

–105

0

106

106

–106

6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2: . Заменим jw на р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим: или R2CLp2 + pL + R2 = 0. Откуда находим корни р1 и р2. р1 = –1127, р2 = –8873. 7. Определим постоянные интегрирования А1 и А2. Для чего составим систему уравнений: ; или ; Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL. Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде: 4 = А1i + А2i; . После решения: А1i = –8,328 А, А2i = 12,328 А. для напряжения uL: ; . После решения: = 129,1 В, = –129,1 В. 8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону: i1(t) = 10 – 8,328е–1127t + 12,328e–8873t, а напряжение uL: uL(t) = 129,1e1127t – 129,1 e–8873t.