Каталог :: Математика

Шпора: Шпора по матану

     1.Мн-во операций над мн-вами
Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.
Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих
как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением
двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы
одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в
А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва
целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во
В, то разность В\А н-ся дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во,
состоящ. Из Эл-ов универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.
     2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней
Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во
рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел
(Cегмент: [a,b]={x|a<x≤b} Полунтервал: (a,b]={x|a<x≤b}
[a,b)={x|a≤x<b} [a,+∞)={x|a≤x<∞}
(-∞,a]={x|-∞<x≤a}Интервал: (a,b)={x|a<x<b}
(a,+∞)={x|a<x<+∞} (-∞,a)={x|-∞<x<a}
R={x|-∞<x<∞}=(-∞,+∞) ). Все эти мн-ва н-ся
промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] – конечные
промежутки, остальные-бесконечные!
+можно взять из 3 вопроса
     3.Грани числовых мн-в, св-во граней
     

Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.

Мн-во Х назся огран. сверху(снизу), если сущ-ет число с такое, что для любого х Х вып-ся неравенство с³х(х³с). Число с наз-ся верхн.(нижн.) гранью мн-ва Х. Мн-во, огран. сверху и снизу наз-ся ограниченым Если мн-во имеет 1 верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во. Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число Х* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $. min [0,1)=0

Число Х* наз-ся точной верхн. гранью, мн-ва Х, если во-первых оно явл. верхн. гранью этого мн-ва, а во-вторых при сколь угодном уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн. грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*

Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Таким образом у огран. мн-ва обе грани $, док-во основано на непрерывности мн-ва действит. Чисел. 4.Th о сущ. т.в.г. и т.н.г. Теорема. Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числ. мн-во имеет точную верх(ниж) грань. Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел, ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г 5.Числовые последовательности, действия над ними Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему число xn, то мн-во чисел х1,х2, . ,хn, .(1,2,3,n –внизу) наз-ся числовой последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл- ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Над числовыми последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции: произведение, сумма, разность, произведением на число, частное. 6.Огранич и неогранич пос-ти Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn} M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич. сверху и снизу. Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А. 7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е. ("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной. Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б. Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))( "n>N):|An|< ε Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть {1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть. (следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м. 8.Понятие сходящихся постей, lim пости. Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n >N:½xn-a½< e Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся расходящимися. Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(e), такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности. 9.Основные св-ва сход. Постей Теорема «Об единственности пределов» Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от противного) {xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на. Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена» Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет неравенству½xn½£ c = max {½a-e½,½a+e½,½xn½,.,½xn-1½} Теорема «Об арифметических дейсьвиях» Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем: а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0 Док-во: а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва. б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn an*b – это произведение const на б/м а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м. => поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b 10. Предельный переход в нер-вах. 11. Монотонные пос-ти Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<.<xn<xn+1<.; неубывающей, если x1£x2£.£xn£xn+1£.; убывающей, если x1>x2>.>xn>xn+1>.; невозр., если x1³x2³.³xn³xn+1³. Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху. 12. Число е Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) . Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается символом е»2,7128. Док-ем формулу lim(n->∞)(1+1/n)^n(в степени n)=е yN=; zN=yN + 1) yN монотонно растет 2) yN<zN 3) zN-yN®0 4) zN монотонно убывает Доказателство: zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-= 2=y1<yN<zN<z1=3 e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных промежутках имеем: yN<e<zN = yN + 1/(n*n!) Если через qN обозначить отношение разности e - yN к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN /(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = y N + qN/(n*n!), qÎ(0,1) Число e иррационально: Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN m/n = e = yN + qN/(n*n!) m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие 13. Th о вложенных промежутках Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],.,[an,bn],. Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.: 1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn], "n=1,2,.; 2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с указанными св-вами наз-ют вложенными. Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков к которой они стягиваются. 14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация 15.Предел ф-ии в точке(Гейне,Коши,правый,левый) Предел ф-ии на бесконечности 16. Th о пределе ф-ии 17. Первый замечательный предел Доказательство: докажем для справедливость неравенства В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке Из рисунка видно, что площадь кругового сектора , так как х>0, то , 2. следовательно, что 1. Покажем, что 2. Докажем, что 3. Последнее утверждение: 18. Второй замечательный предел lim(n®¥)(1+1/n)^n=e Док-во: x®+¥ n x:n=[x] => n£x<n+1 => 1/(n+1)<1/x<1/n Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n£(1+1/n)^x£ (1+1/n)^(n+1) (4) Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х®+¥, n®¥) lim(n®¥)(1+1/(n+1))=lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n®¥)(1+1/(n+1))^n+1*lim(n®¥)1/(1+1/(n+1))=e lim(n®¥)(1+1/n)^n+1= lim(n®¥)(1+1/n)^n* lim(n®¥)(1+1/n)=e*1=e 19.Б-м ф-ии, действия над ними Опр. Ф-ция a(х) наз-ся б/м если ее предел в этой т-ке равен 0 из этого определения вытекает следующее св-во б/м ф-ций: а) Алгебраическая сумма и произведение б/м ф-ций есть б/м ф-ции. б) Произведение б/м ф-ции на ограниченную ф-цию есть б/м ф-ция, т.е. если a(х)®0 при х®х0, а f(x) определена и ограничена ($ С:½j(х)½£С)=> j(х)a(х)®0 при х®х0 Для того чтобы различать б/м по их скорости стремления к 0 вводят сл. понятие: 1) Если отношение 2-х б/м a(х)/b(х)®0 при х®х0 то говорят что б/м a имеет более высокий порядок малости чем b. 2) Если a(х)/b(х)®A¹0 при х®х0 (A-число), то a(х) и b(х) наз-ся б/м одного порядка. 3) если a(х)/b(х)®1 , то a(х) и b(х) наз-ся эквивалентными б/м (a(х)~b(х)), при х®х0. 4) Если a(х)/b^n(х)®А¹0, то a(х) наз-ся б/м n-ного порядка относительно b(х). Аналогичные определения для случаев: х®х0-, х®х0+, х®-¥, х®+¥ и х®¥. 20. Б-б ф-ии, связь с б-м Опр. Ф-ия y=f(x) называется бесконечно большой в точке а, если ее предел в этой точке равен бесконечности. (f(x)-б-б)=lim(x->a)(f(x))=∞ Свойства :Пусть y=f(x) и y=g(x) - бесконечно большие ф-ии в точке а. Ф-ия j(х) имеет предел в точке а, отличный от 0 Ф-ия a(х) и b(ч) – бесконечно малые Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Произведение двух бесконечно больших ф-ий – бесконечно большая ф-ия. 2. Произведение бесконечно больших на ф-ию, имеющую отличный от нуля предел - бесконечно большая. 3. Ф-ия, обратная величине бесконечно большой – есть бесконечно малая, и наоборот. 21.Сравнение б-м ф-ии, сравнение б-б ф-ии 22.Определение непрерывности в точке, на отрезке. Опр1.Ф-ия у=f(x) н-ся непрерывной в т.Х0, если lim(x->x0)(f(x))=f(x0) Опр2.Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т Х0, если для любой пос-ти значений аргумента Х: х1,х2,х3..,хn,.. Сходящейся к Х0 соответствующая пос-ть значений ф-ии: f(x1), f(x2),f(x3),....,f(xn),... сходится к числу f(x0), т.е. ("{xn}->x0, xn€X):{f(xn)}->f(x0) Опр3. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в т. Х0, если для любого ε>0 найдется отвечающее ему положительное число δ такое что для всех х, удовлетворяющих условию |x-x0|< δ выполняется нер-во |f(x)-f(x0)|< ε Опр4. Ф-ия f(x) н-ся непрерывной в точке х0, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при ▲x->0, т.е. lim(▲x->0)( ▲y)=0 23.Th о сумме, разн, пр, частн непрер ф-ии Th Пусть ф-ии f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда ф-ии f(x)±g(x), f(x)g(x),f(x)\g(x) также непрерывны в этой точке(для частно g(x0)≠0) Докво.Т.к. ф-ия f(x) непрерывна в точке х0, то lim(x->x0)(g(x))=g(x0). Тогда по теореме о пределах ф-ии пределы ф-ии f(x)+g(x),f(x)g(x) b f(x)\g(x) существуют и соответственно равны f(x0)±g(x0),f(x0)g(x0),f(x0)\g(x0)(g(x0)≠0).Но эти величины равны соответствующим значениям ф-ии в точке х0.Следовательно, согласно определению ф-ии f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)\g(x) непрерывны в точке х0 24.Точки разрыва ф-ии: (не) устранимый разрыв,1,2 рода Точки, в которых ф-ия не является непрерывной, называются точками разрыва ф-ии. Все т-ки р-рыва делятся на 3 вида: т. устранимого р-рыва; точки р-рыва 1-го , и 2-го рода. а) если в т-ке х0 $ оба односторонних предела, которые совпадают между собой f(x0+)= f(x0-), но ¹ f(x0), то такая т-ка наз-ся точкой устранимого р- рыва. Если х0 т-ка устранимого р-рыва, то можно перераспределить ф-цию f так чтобы она стала непр. в т-ке х0. Если по ф-ции f построить новую ф-цию положив для нее знач. f(x0)= f(x0-)=f(x0+) и сохранить знач. в др. т-ках, то получим исправл. f. б) если в т-ке х0 $ оба 1-стороних предела f(x0±), которые не равны между собой f(x0+)¹f(x0-), то х0 наз-ся т-кой р-рыва первого рода. в) если в т-ке х0 хотя бы 1 из односторонних пределов ф-ции не $ или бесконечен, то х0 наз-ся т-кой р-рыва 2-го рода. 25.Th об устойчивости знака непрерывной ф-ии 26.1 Th Больцано-Коши (th о прохождении ф-ии через нулевое значение при смене знаков) Если f(x) непр. на отрезке (a,b) и принимает на концах этого отрезка значение разных знаков f(a) f(b), то $ т-ка сÎ(a,b),в которой ф-ия обращается в0. Док-во Одновременно содержит способ нах-ния корня ур-ния f(x0)=0 методом деления отрезка пополам. f(d)=0 c=d Т-ма доказана. Пусть f(d)¹0 [a,d] или [d,b] ф-ция f принимает значение разных знаков. Пусть для определ-ти [a,d] обозначим через [a1,b1]. Разделим этот отрезок на 2 и проведем рассуждение первого шага док-ва в итоге или найдем искомую т-ку d или перейдем к новому отрезку [a2,d2] продолжая этот процесс мы получим посл-ть вложения отрезков [a1,b1]>[a2,b2] длинна которых (a-b)/2^n®0, а по т-ме о вл-ных отрезков эти отрезки стягиваются к т-ке с. Т-ка с явл. искомой с:f(c)=0. Действительно если допустить, что f(c)¹0 то по св-ву сохр. знаков в некоторой d окрестности, т-ке с f имеет тот же знак что и значение f(c) между тем отрезки [an,bn] с достаточно N попабают в эту окрестность и по построению f имеет разный знак на концах этих отрезков. 27.2 Th Больцано-Коши(Th о прохождении непрерывной ф-ии через любое промежуточное значение) 28.1 Th Вейерштрасса(Th об ограниченности непрерывной на сегменте ф-ии) Т-ма 1(о огран. непр. ф-ции на отрезке). Если f(x) непр. на [a,b], тогда f(x) огран. на этом отрезке, т.е. $ с>0:½f(x)½£c "xÎ(a,b). Док-во т-мы 1. Используем метод деления отрезка пополам. Начинаем от противного; f неогр. на [a,b], разделим его, т.е. тогда отрезки [a;c][c;b] f(x) неогр. Обозн. [a1,b1] и педелим отрез. [a2,b2], где f-неогр. Продолжая процедуру деления неогр. получаем послед. влож. отрезки [an;bn] котор. оттяг. к т-ке d (d=c с надстройкой) из отрезка [a,b], общее для всех отр. Тогда с одной стороны f(x) неогр. в окр-ти т-ки d на конц. отрезка [an,bn], но с др. стороны f непр. на [a,b] и => в т-ке d и по св-ву она непр. в некоторой окрестности d. Оно огран. в d => получаем против. Поскольку в любой окр-ти т-ки d нах-ся все отрезки [an;bn] с достаточно большим 0. Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки 29. 2 Th Вейерштрасса(Th о достижении непрерывной на отрезке ф-ии своих точных граней) Если f(x) непр. на [a,b], тогда она достигает своего экстр. на этом отрезке, т.е. $ т-ка max X*:f(x*)³f(x) "xÎ[a,b], т-ка min X_:f(x_)£f(x) "xÎ[a,b]. Док-во.Обозначим E(f) – множиством значений ф-ии f(x) на отр. [a,b] по предыд. т-ме это мн-во огран. и сл-но имеет конечные точные грани supE(f)=supf(x)=(при хÎ[a,b])=M(<¥). InfE(f)= inff(x)=m(m>-¥). Для опр. докажем [a,b] f(x) достигает макс. на [a,b], т.е. $ х*:f(x)=M. Допустим противное, такой т-ки не $ и сл-но f(x)<M "xÎ[a,b] рассмотрим вспомогат. ф-цию g(x)=1/(M-f(x) при хÎ[a,b]. g(x) – непр. как отношение 2-х непр. ф-ций и то знач. 0 согластно т-ме 1 g(x)- огран. т.е. $ c>0 !0<g(x)£c g³0, на [a,b] – 1/(M-f(x))£c => 1£c(M-f(x)) => f(x) £M-1/c "xÎ[a,b] Однако это нер-во противор., т.к. М-точная верхн. грань f на [a,b] а в правой части стоит “C” Теорема ВЕЙЕРШТРАССА. Эти теремы неверны если замкнутые отрезки заменить на др. пр-ки 30.Th о непрерывности сложной ф-ии 31.Th о непрерывности обратной ф-ии(без док-ва, примеры) Пусть ф-ия y=f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке Х и пусть У-множество ее значений. Тогда на множестве У обратная ф-ии x=φ(y) одназначна, строго монотонна и непрерывна. 32.Понятие производной Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0. Пусть ▲x – приращение аргумента в точке x0, а ▲y=f(x0+▲x)-f(x0)– соответствующее приращение функции. Составим отношение ▲y/(поделить)▲x этих приращений и рассмотрим его предел при▲x->0. Если указанный предел существует, то он называется производной функции f в точке x0 и обозначается , или , то есть . Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала (a,b), то она называется дифференцируемой на этом интервале. 33.Геометрический смысл производной
а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), дифференцируемой в точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта) Рис. 13. Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M приближается к точке M0, а прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол α(альфа). При этом равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. 34.Понятие дифференцируемости ф-ии Df : Ф-ия дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде: , А – const. Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная. Доказательство: (необходимость) (достаточность): 35.Непрерывность и диф. 36.Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью dy Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy. Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и Поскольку - б.м. одного порядка малости. - б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е. Пусть ************** Zm1: и х – независимые переменные, т.е. Zm1: для независимых переменных. 37.Правила диференц суммы,разн,произв,частн 1) ; 2) , где - постоянная; 3) ; 4) ; 5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле , где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование. 38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg ,ctg, loga(основание)Х(а>0,a≠1,x>0) 39.Th о произв сложной ф-ии Пусть: 1. - дифф. в точке y0 . 2. - дифф. в точке х0 . 3. тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х0 и справедлива формула: Доказательство: 1. - дифф. в точке y0 2. - дифф. в точке х0 3. - дифф. в точке х0 а значит непрерывна в этой точке. 40.Производная ф-ий x^α, αЄR(прием логарифм. Диф) 41.Th о производной обратной ф-ии Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0 =f(x0) Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1 g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0) Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и g’(y0)=1/f’(x0) Доказательство: Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN ®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN: xN=g(yN), f(xN)=yN g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO )/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN ®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO ®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO) 42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1) 1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2) 1/2 2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2 3) x®Arctg’x = 1/1+x2 4) x®Arcctg’x= -1/1+x2 5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a- OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna 43.Производная высших порядков Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO , то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) - производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0 (xO)=f(xO). Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO. Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t). Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t) +нужно док-во 44.Диференциалы высших порядков dy= f‘(x)dx – диф. первого порядка ф-ции f(x) и обозначается d^2y, т.е. d^2y=f‘‘(x)(dx)^2. Диф. d(d^(n-1)y) от диф. d^(n-1)y наз-ся диф. n-ного порядка ф-ции f(x) и обознач. d^ny. Опр-ие: Дифференциалом n-го порядка функции у=f(х) называется дифференциал первого порядка от дифференциала (n-1)-го порядка. (обозначается dny)По определению dny= d(dn-1 y). Иногда dy называют диф. Первого порядка. В общем случае, dn y=f(n)(х)dxn, в предположении, что n-ая производная f(n)(х) сущ-ет. +нужно док-во 45.Возрастание и убывание ф-ии в точке. Достаточное условие возрастан и убыван ф-ии в точке 46.Понятие локального экстремума, необходимое условие локального экстремума Опр-ие: Функция у=f(х) имеет в точке x0 локальный максимум, если сущ-ет окрестность 0-d, х0+d), для всех точек х которой выполняется неравенство f(х)£f(х0 ). Аналогично определяется локальный минимум, но выполняться должно равенство f(х)³f(х0). Теорема Ферма: Если функция у=f(х) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то ее производная f'(х0 ) равна нулю. Док-во: Проведем его для случая максимума в точке х0. Пусть 0-d, х0+d) - та окрестность, для точек которой выполняется неравенство
Здесь возможно как 1 и 2 варианты, но | ∆х| <δ При ∆х>0, будет ∆y:∆x ≤0, поэтому
При ∆х<0, будет ∆y:∆x ≥0, поэтому По условию теоремы, существует производная f'(х0)А это означает, что правая производная fпр'(х0) и левая производная fл'(х0) равны между собой: f пр'(х0)= fл'(х0)= f'(х0). Таким образом, с одной стороны, f'(х0)≤0, с другой стороны, f'(х0)≥0, что возможно лишь, когда f'(х 0)=0. 47.Th Роля Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл. А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) $ т- ка такая что f‘(c)=0, т.е. с-крит. т-ка. Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f‘(x)=0 $ x Î (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f¹ const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. – max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. сÎ(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f‘(c)=0, что и требовалось д-ть. 48.Th Логранжа (формула конечн.приращен) Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда " т. х и x+Dx Î [a,b] $ т-ка С лежащая между х и х+Dх такая что спаведлива ф-ла (f(x+Dx)-f(x))=f(c)*Dx (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены. Придадим ф-ле (7) классический вид => x=a x+Dx=b+> тогда ф-ла (7)=(f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (7‘) – ф-ла конечных приращений Логранджа. (f(b)-f(a))/(b-a)=f‘(c) (1) Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию g(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a) * (x-a) Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b] А)Непрерывна на [a,b] Б) Дифференц. на (a,b) В) g(a)=g(b)=0 Все усл. Ролля соблюдены, поэтому $ т-ка С на (a,b) g‘(c)=0 g‘(c)=f‘(x)- (f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений. 49.Th Коши(обобщенная формула конечн.приращен) Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c Î (a,b), что выполняется равенство (1)
Докозательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0 ,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию: К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c Î (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем: Подставляем x=c: После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) ¹0), мы приходим к формуле (1) 50.Усл. монотонности ф-ии по интервалам(монотонной,строгомонот ф-ии) 51.Правило Лопиталя (без док-ва,примеры) Раскрытие 0/0. 1-е правило Лопиталя. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x), то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x), когда предел $ конечный или бесконечный. Раскрытие ¥/¥. Второе правило. Если lim(x®a)f(x)= lim(x®a)g(x)=¥, то lim(x®a)f(x)/g(x)= lim(x®a)f‘(x)/g‘(x). Правила верны тогда, когда x®¥,x®-¥,x®+¥,x®a-,x®a+. Неопред-ти вида 0¥, ¥-¥, 0^0, 1^¥, ¥^0. Неопр. 0¥, ¥-¥ сводятся к 0/0 и ¥/¥ путем алгебраических преобразований. А неопр. 0^0, 1^¥, ¥^0 с помощью тождества f(x)^g(x)=e^g(x)lnf(x) сводятся к неопр вида 0 52.Стационарные точки (достаточн.усл.экстремума) 53.Экстремум ф-ии, недиф. В данной точке. Th пусть ф-ия f(x) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за исключением,может быть,самой точки с.Тогда, если в пределах указанной окрестности f’(x)>0 слева от точки с и f’(x)<0 справа от точки с,то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.Если f’(x)<0 слева от точки с и f’(x)>0 справа от точки с, то ф-ия имеет в точке с локальный минимум. Если ф-ия имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет. (док-во такое же как в вопросе «Стационарные точки, первое достаточное условие локального экстремума) 54.Два достаточных условия экстремума. 55.Направление выпуклости ф-ии (опр,признаки) Опр. Ф-ция явл. выпуклой (вогнутой) на (a,b) если кассат. к граф-ку ф-ции в любой т-ке интервала, лежит ниже (выше) гр. ф-ции. y=y0+f‘(x0)(x-x0)=f(x0)+f‘(x0)(x-x0) – линейная ф-ция х, который не превосходит f(x) и не меньше f(x) в случае вогнутости неравенства хар-щие выпуклость (вогнутость) через диф. f(x)³f(x0)+ f‘(x0)(x-x0) " x,x0Î(a;b) f вогнута на (а,b). Хорда выше (ниже), чем график для вып. ф-ций (вогн.) линейная ф-ция kx+b, в частности постоянна, явл. вып. и вогнутой. 56.Точки перегиба графика ф-ии(опр,признаки) Опр. Т-ки разд. интервалы строгой выпуклости и строгой вогнутости наз-ся т-ми перегиба т. х0 есть т-ка перегибы, если f‘‘(x0)=0 и 2-я пр-ная меняет знак при переходе через х0=> в любой т-ке перегиба f‘(x) имеет локальный экстремум. Геометр. т-ка перегиба хар-ся тем что проведенная касат. в этой т-ке имеет т- ки графика по разные стороны. 57.Достаточное усл. Точек перегиба 58.Ассимптоты графика: вертика, гор, накл. Геом смысл накл ассимптоты. В некоторых случаях, когда график ф-ии имеет бесконечные ветви, оказывается, что при удалении точки вдоль ветви к бесконечности, она неограниченно стремится к некоторой прямой. Такие прямые называют асимптотами. .Вертикальные асимптоты – прямая называется вертикальной асимптотой графика ф-ии в точке b , если хотя бы один из разносторонних пределов равен бесконечности. Если ф-ия задана дробно-рациональным выражением, то вертикальная асимптота появляется в тех точках, когда знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. ******************** Наклонная асимптота – прямая наклонная асимптота ф-ии , если эта ф-ия представлена в виде Необходимый и достаточный признак существования наклонной асимптоты: Для существования наклонной асимптоты к графику ф-ии необходимо и достаточно существование конечных пределов: Доказательство: Пусть: Пусть: Следовательно существует асимптота.