Каталог :: Математика

Курсовая: Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7

Задание: 1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы. 2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы. 3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование. 4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы. 5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам. 1. Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему: 2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы 2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0) 2.2 P 2.3 Q 3. Характеристики неподвижных точек Запишем Якобиан нашей системы 3.1 3.2 3.3 Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений . а) точка О – сток, как было показано выше; б) точка Р: Область 1: Область 2: Точка Р – исток (неуст. узел) Область 3: Точка Р – седло в) точка Q: Область 1: Область 2: Область 3: Точка Q – исток ( неустойчивый узел) Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении были рассмотрены точки ( )области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус. Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

\Область

Точка

1233 – 3’
Oстокстокстоксток
Pне сущ.истокседлоседло
Qне сущ.не сущ.истокнеуст. фокус
4.1 Параметрические области системы 4.2 Область 1: 4.3 Область 2: 4.3 Область 3’ : 4.5 Область 3 – 3’ : 5. Биологическая интерпретация модели. Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).