Каталог :: Математика

Курсовая: Метод итерации

Метод итерации.
Если каким-либо способом получено приближенное значение х0 корня
уравнения(12.1), то уточнение корня можно осуществить методом
последовательных приближений или методом итераций. Для этого уравнение (12.1)
представляют в виде:
x=                                                                 (12.6)
это уравнение всегда можно решить и притом разными способами, например:
x=x+cf(x),                                                     (12.7)
где с-произвольная постоянная. Пусть число Х1 есть результат подстановки
х0 в правую часть уравнения (12.6): Х1=  (Х0); далее, Х2=  (Х1), Х3=  (Х2),..,
Хn=  (Xn-1)                                                    (12.8)
Процесс последовательного вычисления чисел Хn (n=1,2,3,.) по формуле (12.8)
называется методом последовательных приближений или методом итераций.
Итерационный процесс сходится (lim Xn=E), если на отрезке [a,b], содержащем
корень Е и его последовательные приближения, выполнено условие
maх |    (х)|<=q<1.                                       (12.9)
     Замечание. В качестве Х0 можно взять произвольное значение из
интервала, содержащего корень, такой интервал можно сделать достаточно малым.
     Пример 1. Методом итераций найти меньший положительный корень уравнения:
                                                           Х-5Х+1=0.
     Решение. Графически отделяя корни данного уравнения, заключаем,
что уравнение имеет три действительных корня, лежащих на отрезках [-3;-2],
[0;1],[2; 3]. Найдем меньший положительный корень принадлежащий отрезку
[0;1].Укажем отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Поскольку 
f(x)=x-5x+1, f(0)=1>0, f                     <0, то корень принадлежит
отрезку [0;0,5].Данное уравнение приведем к виду (12.6):
Х=                  или X=  (X),
где                     . Так как                      , то условие (12.9)
выполнено; процесс итераций будет сходиться. Взяв в качестве начального
приближения середину отрезка, т.е. пример Х0=0,25, вычисление последующих
приближений проведем по формуле:
Хn+1=
Результаты этих вычислений представлены в таблице 12.3, из которой видно, что
искомый корень Х=0,20164.
     
n

Xn

xn3

X3n +1

xn+1=(x3n+1)/5

00,250,015631,015630,20313
10,203130,008381,008380,20168
20,201680,008211,008210,20164
30,201640,008201,008200,20164
Замечание. При нахождении двух других корней исходного уравнения методом последовательных приближений уже нельзя пользоваться формулой X= (X3+1) , так как max ½j’(x)½ = max 3x2 = 27 >1, 5 2<|x|<3 2<|x|<3 5 5 и условие (12,9) не выполняется. В этом случае данное уравнение следует представить в другом виде, например, Х= ; для функции условие (12,9) на отрезках [-3;-2], [2,3] будет выполняться. Представим выражение f(x)=0 в форме x=Ф(x), что всегда можно сделать разными способами. Выберем на отрезке [a, b] –произвольную точку x0-нулевое приближение. В качестве следующих приближений выберем x1=f(x0 ), x2=f(x1), ., xn=f(xn-1 ). Этот процесс последовательного вычисления чисел xn где (n=1,2,3,.)-называется методом итерации. Процесс итерации следует продолжить до тех пор, пока для двух последующих приближений |xn-x n-1|<=E. Метод отделения корней уравнений. Корнем уравнения f(x)=0 (12.1) называется такое значение х=E аргумента, при котором это уравнение обращается в тождество: f(E)=0. Корень уравнения (12,1) геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения, точку касания или другой общей точки графика функции у=f(x) и оси Х (12,1). Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный промежуток, внутри которого имеется единственный корень данного уравнения. Отделение корней можно осуществить аналитическим или графическим способом. Для отделения корней уравнения (12,1) применяют следующий критерий: если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и монотонна, а ее значение на концах отрезка имеют разные знаки, то этот отрезок содержит один и только один корень уравнения f(x)=0 , остаточным признаком монотонности f(x) на отрезке является сохранение знака её производной (если f’(x)>0, то функция возрастает; если f’(x)<0, функция убывает). Отделение корней уравнения (12.1) можно выполнить графически, построив график функции f(х), по которому можно судить о том, в каких промежутках находятся точки пересечения его с осью Ох. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение (12.1) в эквивалентном виде. f1(x)=f2(x) (12.2) С таким расчетом, чтобы графики функций y1=f1(x) и y2=f2(x) строились проще, чем графики f(x). Корень уравнения (12.2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков y1=f1(x), y2=f2(x). Таким способом можно, например, отделить корни уравнения x3+px+q=0; это будут абсциссы точек пересечения прямой y=-px-q и линии y=x3. Пример 1. Отделить корни уравнения x3+2x-1=0. Решение. В данном случае f(x)=x3+2x-1, f’(x)=3x 2+2. Поскольку f’(x)>0 при всех x, то функция f(x) возрастает в промежутке (-∞,+∞). Корень считается отдельным, если указан конечный промежуток (a,b), на котором он находится. Методом проб находим отрезок [a,b], для которого f(a) f(b)<0 т.е. на концах отрезка функция f(x) принимает значения разных знаков). Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента: f(-1)=(-1)3+2(-1)-1=-4<0, f(0)=-1<0, f(1)=1+2-1=2>0. как f(1) f(0)>0, то на отрезке [-1,0] корня нет; поскольку f(-1) f(0)>0, то корень находится на отрезке [0,1]. Замечание 1. Можно указать отрезок меньшей длины, которому принадлежит корень. Взяв середину отрезка [0,1], т.е. положив x=0,5, по формуле: f(0,5)=(0,5)3+2∙0,5-1>0. Так как f(0) f(0,5)<0, то корень находится на отрезке [0;0,5]. Этот процесс можно продолжать. Замечание 2. Корень данного уравнения можно отделить и графически. Придадим уравнению вид x3=-2x+1, т.е. вид (12.2), и построим графики функций y=x3 , y=-2x+1 (рис. 12.2). Эти графики пересекаются в точке М, абсцисса которой принадлежит интервалу (0,1). Метод касательных. Метод касательных (или метод Ньютона) состоит в следующем. Пусть на отрезке [a,b] находится единственный корень ξ уравнения (12.1). Проведем касательную к кривой y=f(x) в точке A (a, f(a)) до пересечения с осью Ox (рис.12.4): её уравнение имеет вид y f(a)=f’(a) (x-a). Полагая в этом уравнении y=0, находим абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox: в предположении, что f’(a)≠ 0.Абсциссу x1 точки пересечения касательной с осью Ox можно взять в качестве x1 -первого приближения корня. Проведя касательную через соответствующую точку A1(x1, f(x1)) и найдя точку её пересечения с осью Ox, получим x2 –второе приближение корня. Аналогично определяются последующие приближения корня. В методе касательных n-ое приближение вычисляется по формуле причем за начальное приближение принимается такое значение х0 из отрезка [a,b] для которого выполняется условие Фурье f(x0 )f ‘’(x)>0 (12.4) Если функция f(x) имеет отличную от нуля производную f ‘(x) на отрезке [a,b], то оценка абсолютной погрешности вычислений определяется формулой (12.5) Пример 1. Методом касательных найти действительный корень уравнения х3+х-3=0. Решение. Записав данное уравнение в виде х3=-х+3 и построив графики функций f1(x)=x3, f2(x) =-x+3,найдем, что единственный корень уравнения принадлежит отрезку [1,2]. Укажем отрезок меньшей длины, на котором находится корень. Так как f(x)=x3 +x-3, f(1,2)=(1,2)3+1,2-3=-0,072<0, f(1,3)=(1,3)3 +1,3-3=0,497>0, то корень лежит на отрезке [1,2;1,2]. Серединой этого отрезка является точка x=1,25. Поскольку f(1,25)=(1,25) 3+1,25-3=0,203125>0 и f(1,2)<0, то искомый корень принадлежит отрезку [1,20;1,25]. Данная функция f(x)=x3 +x-3 имеет производные f ‘(x) =3x2+1, f “(x)=6x, принимающие положительные значения на отрезке [1,20;1,25]. В качестве начального приближения возьмем x=1,25, так как для этой точки выполняется условие (12.4). Результаты вычислений, выполненных по формуле (12.3) записываем в таблице 12.1, из которой видно, что искомый корень x=1,21341.

n

X n

Xn

X3n

X3n

f(xn )=x3n+xn-3

f’(xn)=3x2n+1

f(xn)

f’(xn)

Xn+1=xn=

-

0

1,25

1,953125

0, 203125

5,6875

0,035714

1,214286

1

1,214286

1,790452

0,004738

5,42347

0,000874

1,213412

2

1,213412

1,786590

0,000002

5,417107

0,0000004

1,213412

Возьмем некоторую точку x0-отрезка [a, b] и проведем в точке Р0 [x0;f(x0)] - графика функции касательной кривой до пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку Р1[x1;f(x0)] и найдя точки пересечения с осью абсцисс, получим второе приближение корня х 2 и т.д. Затем выводим формулу для последовательных приближений к корню. Уравнение касательной, проходящей через точку Р0, имеет вид : y=f(x)+f(x0)*(x-x0). Полагая, что y=0 найдем абсциссу х 1 – точки пересечения касательной с осью абсцисс х1=x0 ..... .0 Процесс вычисления можно прекратить, если |xn-xn-1|<=E. Метод половинного деления. Уравнение y=f(x), где функция f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)*f(b)<0. Для нахождения корней уравнения делим отрезок [a, b] пополам, и находим х0=a+b/2. Если при этом f(x)=0, то x0 – является корнем уравнения. Если f(x) неравно 0, то выбираем тот из отрезков [a, b] или [b, x0] имеющие противоположные знаки. Выбранный отрезок снова делим пополам, до тех пор, пока длина отрезка на концах которого 0, не будет меньше заданной точности Е.