Каталог :: Математика

Реферат: Теорема Штольца

                               Содержание работы:                               
1.      Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
2.      Применение теоремы Штольца:
a)     ;
b)     нахождение предела «среднего арифметического» первых n значений варианты 
;
c)      ;
d)     .
3.      Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения
последовательностей.
4.      Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы
Штольца.
Для определения пределов неопределенных выражений  
типа  часто бывает
полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу.
Пусть варианта ,
причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и  
возрастает:  .
Тогда   =
,
Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).
Допустим, что этот предел равен конечному числу :
          .          
Тогда по любому заданному  найдется такой номер N, что для n>N будет
                    
или
          .          
Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби 
, , ., 
, лежат между этими
границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с
номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь 
, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а
знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N
          .          
     

Напишем теперь тождество:

,

откуда

. Второе слагаемое справа при n>N становится < ; первое же слагаемое, ввиду того, что , также будет <, скажем, для n>N. Если при этом взять N>N, то для n>N, очевидно, , что и доказывает наше утверждение. Примеры: 1. Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn , причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению (ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать. 2. При а>1 Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу: 3. Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения: Если варианта an имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта (“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn). Действительно, полагая в теореме Штольца Xn=a1+a2+.+an, yn=n, Имеем: Например, если мы знаем, что , то и 4. Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным) , которая представляет неопределённость вида . Полагая в теореме Штольца xn=1k+2k+.+nk, yn=nk+1, будем иметь . Но (n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+. , так что nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+. и . 5. Определим предел варианты , представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида : . Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим . Но , а , так что, окончательно, . Пример 1. ====== ===. Пример 2. = == == == == == =. Пример 3. = =. Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций. Теорема. Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk ), т.е. функция возрастающая. Тогда , если только существует предел справа конечный или бесконечный. Доказательство: Допустим, что этот предел равен конечному числу k . Тогда, по определению предела или . Значит, какой бы ни взять, все дроби , , ., лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn ) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при . Напишем тождество(которое легко проверить): ,

Откуда

. Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему. Примеры: Найти следующие пределы: 1. очевидна неопределенность ===2 2. неопределенность ====0 3. неопределенность === Литература: “Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б.П.Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г. Г.М.Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.