Каталог :: Математика

Курсовая: Определение рационального варианта размещения производственно-хозяйственных предприятий (на примере АБЗ) и выбор оптимального маршрута поездки коммивояжера

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
                                    МАДИ (ТУ)                                    
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
                                                        Выполнил: Белоногов М.В.
                                                        Группа 4ВЭДС3
                                                          Проверил: Беляков Г.С.
Москва 1999-2000
     Раздел 1.
     Выбор оптимального маршрута поездки.
Постановка задачи:
Машина с инкассатором ежедневно забирает выручку 4-х торговых точек (пункты
Б, В, Г, Д), расположенных на разных улицах города и отвозит ее в банк (пункт
А). Определено время на проезд по различным улицам с учетом интенсивности
движения по ним транспортного потока. Требуется найти маршрут движения
инкассаторской машины, который начинался и заканчивался бы в пункте А,
позволял посетить каждую торговую точку и проехать по соответствующей улице
только один раз и характеризовался  минимальными затратами времени на
поездку. Маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г.
Порядок решения задачи:
1.      Определить кратчайшие расстояния между различными парами пунктов
используя алгоритм поиска кратчайших путей на циклической сети.
     А                           1                           Б
     
4 В 2
Д 3 Г Найдем кратчайшие расстояния до пункта А.

пункт i

АБВД14

yi

0¥¥¥¥¥
2813178,329
16,64
Первоначально принимаем расстояния до пункта А равными бесконечности, а расстояние от А до самого себя равным нулю. Затем пересчитываем величины yi используя правило: Если yj + lij < yi , то величина yi = yj + lij , в противном случае yi оставляем без изменений. Расчет начинаем с пункта А и дуг, которые в него входят. yA + l4A=0+9=9 < y4=¥ Þ y4=9 yA + lBA=0+13=13 < yB=¥ Þ yB=13 yA + l1A=0+8,32=8,32 < y1=¥ Þ y1=8,32 Теперь рассматриваем пункт i для которого yi перестала быть равной бесконечности и дуги, которые в него входят. y4 + lB4=9+7=16 > yB=13 y4 + lД4=9+8=17 < уД=¥ Þ yД=17 yВ + lДВ=13+12=25 > yД=17 yВ + lБВ=13+15=28 < уБ=¥ Þ yБ=28 yВ + l=13+9=22 > у1=8,32 y1 + lВ1=8,32+10=18,32 > yВ=13 y1 + lБ1=8,32+8,32=16,64 < уБ=28 Þ yБ=16,64 yД + l=8,32+17=25,32 > y4=9 yД + lВД=17+12,32=29,32 > yВ=13 yБ + lВБ=16,64+15,32=31 > yВ=13 yБ + l=16,64+8=24,64 > y1=8,32 Теперь проверим условие lij ³ yi - yj для всех дуг сети. l4A = у4 - уА 9=9-0 l > у4 – уД 8,32>9-17 lД4 = уД – у4 8=17-9 lДВ > уД – уВ 12>17-13 lBA = yB - yA 13=13-0 l > yB – yД 12,32>13-17 l > yB – yБ 15,32>13-16,64 lB4 > yB – y4 7>13-9 lB1 > yB – y1 10>13-8,32 lБВ > уБ - уВ 15>16,64-13 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l = у1 – уА 8,32=8,32-0 l > у1 – уВ 9>8,32-13 l > у1 – уБ 8>8,32-16,64 Чтобы найти кратчайшие пути, найдем дуги для которых выполняется условие: lij = yi - yj Таковыми являются: l4A = у4 - уА 9=9-0 lД4 = уД – у4 8=17-9 lBA = yB - yA 13=13-0 lБ1 = уБ – у1 8,32=16,64-8,32 l = у1 – уА 8,32=8,32-0 Кратчайшие расстояния до пункта А равны:
пункт4ДБ1В
расстояние до А91716,648,3213
Аналогичным образом находятся кратчайшие расстояния до других пунктов. 2. Построить матрицу кратчайших расстояний между пунктами А, Б, В, Г, Д.
АБВГД
А---1613,32---17,64
Б16,64---1521---
В1315,32---1512,32
Г---21,6415,32---16
Д17---1216,32---
3. Математическая модель задачи коммивояжера: Найти минимальное значение целевой функции z n+1 n+1 min z = S S lij * xij i=1 j=1 при следующих ограничениях: n из каждого города i нужно уехать только один раз n+1 S xij = 1 i=1, ......, n+1 j=1 n в каждый город j нужно приехать только один раз: n+1 S xij = 1 j=1, ......, n+1 i=1 n переменные xij могуть принимать одно из двух значений: 0 или 1, 1 - если в искомый маршрут входит переезд из пункта i в пункт j 0 - в противном случае n решение есть простой цикл 4. Решение задачи:
АБВГД
А---1613,32---17,64
Б16,64---1521---
В1315,32---1512,32
Г---21,6415,32---16
Д17---1216,32---
Б – Г, Д – В, В – А, А – Б, Г – Д Так как маршрут должен включать переезд из пункта Б в пункт Г, то первым разрешающим элементом будет элемент 21. (1) Обводим его в кружок. (2)Зачеркиваем все оставшиеся элементы в строке и столбце содержащем элемент 21. (3)Зачеркиваем также элемент 21,64 , чтобы исключить повторное посещение пунктов. (4)Находим наибольшие элементы и зачеркиваем их до тех пор пока в какой-нибудь строке или столбце не появится один незачеркнутый элемент, теперь он будет разрешающим. Повторяем действия (1), (2), (3), (4) до тех пор пока не останется последний разрешающий элемент. В итоге искомый маршрут будет проходить через пункты: А – Б – Г – Д – В – А min z = 16+21+16+12+13 = 78 Раздел 2. Определение рационального варианта размещения производственных предприятий (на примере АБЗ). Постановка задачи: В 2000г планируется осуществить ремонт и реконструкцию дорожной сети некоторого района. Территория района разбита на 4 части, потребности которых в асфальтобетоне в 2000г будут составлять: B1 = 50.000 т B2 = 60.000 т B3 = 45.000 т B4 = 70.000 т Для удовлетворения потребностей в асфальтобетоне планируется разместить сеть полустационарных асфальтобетонных заводов. На территории района выбрано 4 возможных пункта размещения заводов, для каждого пункта рассматривается 3 варианта мощности заводов – 10, 25, 50 т аб./час. Известны затраты на приготовление аб в каждом пункте и доставку его потребителям. Требуется найти в каких пунктах и какой мощности следует разместить аб заводы, чтобы суммарные затраты на его приготовление и доставку потребителям были минимальными. Затраты на приготовление аб, руб
мощность АБЗ

Приведенные затраты на приготов-е 1т аб АБЗ, располож-м в пункте, руб, Cpi + E*Kpi уд

т/частыс. т/год1234
1018484489495481
2545423428435420
5090405410416401
Затраты на транспортировку 1т аб потребителям, Сij, руб
Пункт размещенияЗона-потребитель

128,360,345,390,3

261,330,393,348,3

350,395,333,362,3

499,354,365,336,3
Математическая модель транспортной задачи: m n min z = S S Cij * xij i=1 j=1 Ограничения: n n S xij = ai i=1, ......, m j=1 весь продукт ai имеющийся у i-го поставщика должен быть вывезен потребителю. m n S xij = bj j=1, ......, n i=1 спрос j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен n xij ³ 0 i=1, ...., m; j=1, ...., n xij – объем перевозок от i-го поставщика j-му потребителю Транспортная таблица:
Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=135

Ui

Ki

433,3

440,3 < 465,3

449,3 < 450,3

437,3 < 495,3

0

X1=90

504005/9

433,3 < 471,3

440,3

449,3 < 503,3

437,3 < 458,3

0

X2=90

603006/9

433,3 < 466,3

440,3 < 511,3

449,3

437,3 < 478,3

0

X3=90

45450½

433,3 < 500,3

440,3 < 455,3

449,3 < 466,3

437,3

0

X4=90

702007/9

Vj

433,3440,3449,3437,30
Так как задача не сбалансирована, то определяем спрос фиктивного потребителя: Вф=S аi - S bj = 360 – 225 = 135 тыс.т/год В верхний правый угол клеток вносится суммарная величина приведенных затрат на приготовление и транспортировку 1т аб, Сpi + E*Kp i + Cij С помощью правила минимального элемента вносим в таблицу перевозки xij. Проверяем план на вырожденность: m + n - 1 = 8 = 8 (занятых клеток), следовательно план является невырожденным. Строим систему потенциалов поставщиков и потребителей. Для этого потенциал столбца или строки с наибольшим кол-вом занятых клеток приравниваем нулю, в данном случае это потенциал столбца Bф, остальные потенциалы определяем исходя из условия оптимальности для занятых клеток (Ui + Vj = Сpi + E*Kpi + C ij). Проверяем план на оптимальность: · число занятых клеток не должно превышать величину m + n – 1 · для каждой занятой клетки сумма потенциалов должна равняться суммарной величине затрат на приготовление и транспортировку 1т аб. · для каждой свободной клетки должно выполняться неравенство : Ui + Vj < Сpi + E*Kpi + Cij Все три условия выполняются, следовательно план является оптимальным с точки зрения транспортной задачи. Определяем значения коэффициентов интенсивности. Ki = S xij / xi S xij – cуммарный объем поставок i-го АБЗ реальным потребителям xi – мощность i-го АБЗ Так как ни один Ki не равен нулю или единице, то рассматриваемый вариант размещения АБЗ соответствующей мощности не есть наилучший, поэтому необходимо его улучшить. Отыскиваем смешанную строку с минимальной величиной Ki и в этой строке мощность АБЗ уменьшаем до следующей возможной величины, в нашем случае это третья строка. Строим новую транспортную таблицу не забывая, что суммарная мощность АБЗ должна равняться суммарному спросу потребителей. Также необходимо пересчитать величину Сpi + E*Kpi + Cij для клеток третьей строки.
Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=90

Ui

Ki

433,3

424,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-16< 0

X1=90

5040-161

449,3 < 471,3

440,3

466,3 < 503,3

437,3 < 458,3

0

X2=90

603006/9

449,3 < 485,3

440,3 < 530,3

466,3 < 468,3

437,3 < 497,3

0

X3=45

4500

449,3 < 500,3

440,3 < 455,3

466,3

437,3

0

X4=90

57015015/18

Vj

449,3440,3466,3437,30
Новый вариант также не является наилучшим, поэтому уменьшаем мощность АБЗ во втором пункте.
Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki

433,3

439,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-18< 0

X1=90

5040-16

452,3 < 489,3

458,3

469,3< 521,3

440,3 < 476,3

1 > 0

X2=45

45 _ +3

451,3 < 485,3

457,3 < 530,3

468,3

439,3 < 497,3

0

X3=45

0 + _ 452

449,3 < 500,3

455,3

466,3

437,3

-2 < 0

X4=90

15 + 5 _700

Vj

449,3455,3466,3437,3-2
Для одной свободной клетки не выполняется условие Ui + Vj < С pi + E*Kpi + Cij поэтому план необходимо улучшить. Строим цикл для этой клетки. Вершине свободной клетки присваиваем знак “-”, для остальных вершин этот знак чередуется. Перевозка хп = 5. Перемещаем эту перевозку по циклу, прибавляя ее в клетках со знаком “+” и отнимая в клетках со знаком “-”. После строим новую транспортную таблицу с учетом изменений.
Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=45

Ui

Ki

433,3

440,3 < 465,3

450,3

422,3 < 495,3

-18 < 0

X1=90

5040-181

451,3 < 489,3

458,3

468,3 < 521,3

440,3 < 476,3

0

X2=45

40508/9

451,3 < 485,3

458,3 < 530,3

468,3

440,3 < 497,3

0

X3=45

54001/9

448,3 < 500,3

455,3

465,3 < 466,3

437,3

-3 < 0

X4=90

2070-31

Vj

451,3458,3468,3440,30
План является оптимальным, теперь подсчитываем коэффициенты интенсивности. Так как не все коэффициенты равны нулю или единице, то уменьшаем мощность завода в 3-м пункте.
Мощность АБЗСпрос зон-потребителей, тыс.т/год
тыс.т/год

B1=50

B2=60

B3=45

B4=70

Bф=18

Ui

Ki

433,3

439,3 < 465,3

450,3

421,3 < 495,3

-78 < 0

X1=90

5040-161

452,3 < 489,3

458,3

469,3 < 521,3

440,3 < 476,3

-59 < 0

X2=45

4531

511,3 < 545,3

517,3 < 590,3

528,3

499,3 < 557,3

0

X3=18

018620

449,3 < 500,3

455,3

466,3

437,3

-62 < 0

X4=90

1557001

Vj

449,3455,3466,3437,3-62
План является оптимальным, подсчитываем значения коэффициентов интенсивности. Так как все коэффициенты равны либо 1, либо 0, то данный план является наилучшим. Рассчитать значение целевой функции для каждого из промежуточных вариантов и построить таблицу.
Вариант размещенияМощность АБЗ, расположенного в пункте, тыс.т/год

Значение целевой функции, zi, тыс.руб.

М1

М2

М3

М4

15060457098912,5
2906007599037,5
39040590100067,5
4 -наилучший9045090100072,5