Каталог :: Математика

: Элементарные конформные отображения

                                      ЕЛЕЦ                                      
                    ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.                    
                             КУРСОВАЯ РАБОТА                             
                        ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ                        
        Тема: «Элементарные конфортные отображения»        
                                  Выполнила: студентка группы М-31
                                 физико-математического факультета
                                                     Е.Г. Петренко
                                                           Научный руководитель:
                                                      О.А. Саввина
                                 1998 г.                                 
               ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ               
     Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек 
и . Если задан закон 
, ставящий в соответствие каждому  
точку (или точки) ,
то говорят, что на множестве 
задана функция комплексной переменной со значениями в множестве 
. Обозначают это следующим образом: 
. (Часто говорят также, что 
отображает множество 
    в множество .)    
Задание функции  
эквивалентно заданию двух действительных функций  
и тогда  , где 
, . Как и в обычном
анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют
элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1.   
- линейная функция. Определена при всех 
. Отображает полную комплексную плоскость 
на полную комплексную плоскость  
. Функция и обратная
ей - однозначны.
Функция 
поворачивает плоскость 
на угол, равный ,
растягивает (сжимает) ее в  
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину 
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2.  . Определена на
всей комплексной плоскости, причем 
, . Однозначна,
непрерывна всюду, за исключением точки 
. Отображает полную комплексную плоскость 
на полную комплексную плоскость 
, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в
точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3.   -
показательная функция. По определению 
, т.е. , 
, . Из определения
вытекают формулы Эйлера:
        ; ;       ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. 
периодична с периодом 
. Отображает каждую полосу, параллельную оси 
, шириной  
в плоскости в полную
комплексную плоскость 
. Из свойств отметим
простейшие:  , 
4.  -
логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: 
.   Выражение          
называется главным значением 
, так что .
Определен для всех комплексных чисел, кроме 
.  -
бесконечно-значная функция, обратная к 
. , 
5.   
- общая показательная функция. По определению, 
. Определена для всех 
, ее главное значение 
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;;  По определению, ;   ;
      ;       
7.  Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями
действительной переменной, а именно:
      , 
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
                            Задачи с решением.                            
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: ,  , , ,
     Решение. По определению,    ,, ; если , то очевидно, , ,
     ,  ,  
     ,   , , 
     , , , 
Найти суммы:
1)      
2)      
     Решение. Пусть:      , а
     . Умножим вторую
строчку на , сложим
с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: 
     
     
     ; Преобразуя, получим:
     ,     
     3. Доказать, что:      1)         2)
3)           4)
     Доказательство:
1) По определению, 
2) 
3)  ; 
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного
аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) 
; 2) ; 3) 
;
     Решение:  и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
     , , ,
     
     
     
Напомним, что 
2) 
     
     
     ,  ,
     
3) 
     
     
       ,   ,
      ,  .
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций:        ;   ; 
     Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
      ;   ;   ; ;
      ; 
     Вычислить:      1) ;          3)   ;               5) ;
2) ;     4)  ;       6)  ;
     Решение. По определению, , 
1),          ,       ,
     
2) ,       ,        ,
     
3) ,          ,       , 
4),      ,   ,
     
5), ,  ,
     
6),      ,   ,      
Найти все значения следующих степеней:
1) ;        2)  ;       3) ;         4);
     Решение. Выражение   для любых комплексных  и определяются формулой 
1) 
2)
     
     
3)  
4) .
8. Доказать следующие равенства:
1)   ;
2)  ;
3)   
     Доказательство:   1) , если , или  , откуда  , или .
Решив это уравнение, получим , т.е.  и 
2) , если , откуда  , или , следовательно,
     ,     
3) , если , откуда , или
     .
Отсюда  , следовательно,