Каталог :: Математика

Шпора: Математические примеры

Ôèðñîâ Äìèòðèé 441
                                ¹368Â                                
Îòîáðàçèòü âåðõíþþ ïîëîâèíó ïëîñêîñòî ñðàçðåçàìè ïî îòðåçêàì  íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü.
Ðåøåíèå:
     
Îòîáðàæåíèå 
     
      îòîáðàæàåò âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ ðàçðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ (ïîä îïåðàöèåé âçÿòèÿ â êâàäðàòíûå ñêîáêè íàäî ïîíîìàòü âçÿòèå öåëîé ÷àñòè îò ÷èñëà). Äîêàæåì ýòî:
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå  èç ïîëîñû  ïîëóïëîñêîñòè ñðàçðåçàìè â ïîëóïëîñêîñòü áåç ðàçðåçîâ. (*) ñîâåðøåííî î÷åâèäíî ,÷òî â íàøåì ñëó÷àå . Òî åñòü, ìû ïîëó÷àåì âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç äåéñòâèòåëüíîé îñè. Ðàññìîòðèì îáðàç ëó÷à . Ïîäñòàâëÿÿ â ôîðìóëó (*) çíà÷åíèÿ z íà ëó÷å ìû ïîëó÷èì â îáðàçå ëó÷, ëåæàùèé íà äåéñòâèòåëüíîé îñè .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè, ÷òî îáðàçîì ïîëîñû (1) ÿâëÿåòñÿ 
     
     . Åñëè íà ïîëîñó  ïëîñêîñòè áåç ðàçðåçà ïîäåéñòâîâàòü îòîáðàæåíèåì sin(Z) òî â îáðàçå ïîëó÷èì òàêîå ìíîæåñòâî 
     
     (2). Ïðèìåíèâ
îòîáðàæåíèå  
ê ïîëîñå(1) ñ
ðàçðåçîì â
îáðàçå
ïîëó÷èì
ìíîæåñòâî (2).
Ïîýòîìó
ôóíêöèÿ  
îòîáðàæàåò
ïîëîñó  
ñ ðàçðåçîì â
ïîëîñó  
áåç ðàçðåçà.
Ïðîäîëæèì
ýòó ôóíêöèþ
íà âñþ
ïîëóïëîñêîñòü
ñ ðàçðåçàìè.
Ðàññìîòðèì
ôóíêöèþ  
çàäàííóþ â
ïîëîñå  
ñ ðàçðåçîì.
Ôóíêöèÿ  
îòîáðàæàåò
ýòó ïîëîñó
íà ïîëîñó  
áåç ðàçðåçà.
È òîãäà
îòîáðàæåíèå  
îòîáðàæàåò
ïîëîñó  
áåç ðàçðåçà.
Ïðîâåðèì
ÿâëÿåòñÿ ëè
ôóíêöèÿ  
àíàëèòè÷åñêèì
ïðîäîëæåíèåì
ôóíêöèè 
. Äëÿ ýòîãî
ïðèìåíèì
òåîðåìó:
Òåîðåìà.
Ïóñòü ôóíêöèÿ  àíàëèòè÷íà â îáëàñòè  è ôóíêöèÿ  àíàëèòè÷íà â îáëàñòè . È îáëàñòè  è  èìåþò îáùèé ôðàãìåíò ãðàíèöè . Åñëè ôóíêöèè íà  ñîâïàäàþò òî ôóíêöèÿ  ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè  â îáëàñòü .
Åñòåñòâåííî ôóíêöèè   è  ñîâïàäàþò íà ëó÷å . Ïîýòîìó ôóíêöèÿ  ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè   íà ïîëîñó  . Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìû ìîæåì ïðîäîëæìòü ôóíêöèþ íà âñþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè. È â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ôóíêöèþ: 
     
      îòîáðàæàþùóþ âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü ñ âûðåçàìè íà âåðõíþþ ïîëóïëîñêîñòü áåç âûðåçîâ.