Каталог :: Математика

Реферат: Уравнения с параметрами

Министерство общего и профессионального образования
                              Свердловской области                              
            Управление образования Администрации города Нижний Тагил            
     

Образовательное учреждение: МОУ СОШ № 55

Образовательная область: математика

Предмет: алгебра

РЕФЕРАТ

на тему:

Решение задач с параметрами

Исполнитель:

Научный руководитель:

Рецензент областного тура:

Нижний Тагил

2004 Оглавление Введение 3 1. Основные определения 4 2. Аналитический способ решения задач 5 2. 1. Линейные уравнения 5 2. 2. Квадратные уравнения 8 2. 3. Системы уравнений 13 3. Графический метод решения задач 16 4. Заключение 18 Список литературы 19

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. В первой части моего реферата я ввожу некоторые обозначения, используемые впоследствии для более краткой записи решений; во второй части я рассматриваю наиболее стандартный аналитический способ решения задач, а в третьей – графический метод. Я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении в ВУЗ.

1. Основные определения

Задачи с параметрами встречаются фактически с самого начала изучения математики, когда начинают оперировать с буквами, как с числами. Они связаны с решением уравнений и неравенств или исследованием функций, в запись которых наряду с переменными входят буквы, называемые параметрами. Введём следующие обозначения и термины: N={1, 2, .} – множество всех натуральных чисел; w={0, 1, 2, .} – множество всех натуральных чисел с нулём; Z={-N, 0, N} – множество всех целых чисел; Q={Z, , где pÎZ, qÎN} – множество всех рациональных чисел; R={Q, иррациональные числа} – множество всех действительных чисел; Æ – пустое множество – множество, не имеющие ни одного элемента; Î – знак принадлежности; Þ – знак следствия; Û – знак равносилия; ОДЗ – область допустимых значений; D – дискриминант.

2. Аналитический способ решения задач

2. 1. Линейные уравнения

Пример 1. Решить относительно х:

.

(1)

По смыслу задачи (m-1)(x+3) ¹ 0, то есть m ¹ 1, x ¹ –3. Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение , получаем . Отсюда при m ¹ 2,25 . Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых найденное значение x равно –3. , решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при т = –0,4. Ответ: при т ¹ 1, т ¹ 2,25, т ¹ –0,4 уравнение (1) имеет единственное решение ; при т = 2,25 и при т = –0,4 решений нет, при т = 1 уравнение (1) не имеет смысла. Пример 2. Решить относительно х:

(1)

ОДЗ: х ³ –а, х ³ 0;

Поскольку уравнение (1)Û

Û

(2)

и левая часть уравнения (2) неотрицательна, дополнительно к условиям ОДЗ налагаем условие а ³ 0; Þ

;

(3)

при этих условиях ; теперь к условиям (3) добавляем ещё условие

;

в условиях (3), (4) имеем

(4)

при а = 0 х = 0 в силу условий (3), (4); при а > 0 х ; отсюда, добиваясь выполнения условия (4), получаем Ответ: при а = 0 х = 0; при а ³ 1 уравнение (1) имеет единственное решение х ; при а < 0, 0 < а < 1 уравнение (1) не имеет решений. Пример 3. Решить относительно х:

(1)

а). Х ³ 0, ; по условию х ³ 0, то есть параметр должен удовлетворять условию б). Х < 0, по условию х < 0, то есть < 0< 1; . Ответ: при уравнение (1) имеет два решения при > 1 уравнение (1) не имеет решений.

2. 2. Квадратные уравнения

Пример 1. Решить относительно х:

(1)

а). Пусть а = 0, тогда –2х+4 = 0 Û х = 2; б). Пусть а ¹ 0, тогда D = 1– 4а; при 1– 4а < 0 Þ а > х Î Æ; при 1– 4а ³ 0 Þ а £ . Ответ: при а = 0 х = 2; при а ¹ 0 и а £ уравнение (1) имеет два решения ; при а ¹ 0 и а > уравнение (1) не имеет решений. При исследование квадратичной функции мы используем теоремы, которые также помогают при решение задач с параметрами. Т1. Если приведённое квадратное уравнение имеет два корня и b > 0, c > 0, то оба корня этого уравнения отрицательные; b < 0, c > 0, то оба корня этого уравнения неотрицательны. Т2. Необходимые и достаточные условия, чтобы корни квадратного уравнения были больше заданного числа d: Пример 2. При каких значениях параметра а, корни уравнения неотрицательны:

(1)

Разделим уравнение (1) на а, но поставим условие а ¹ 0, тогда получим

(2)

По Т1: ; 1). D = ; приводим к общему знаменателю а2, получаем ; .
2). > 0; корень уравнения : а = –2 и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 1). Получаем а < –2, а > 0

Рис. 1

3). ; корень уравнения : а = –3
и а ¹ 0. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 2).
Получаем –3 < а < 0.

Рис. 2

4). Объединим полученные результаты:

(Рис. 3)

Получаем

Рис. 3

Ответ: при уравнение (1) имеет неотрицательные корни. Пример 3. При каких значениях параметра а, корни уравнения больше 1:

(1)

По Т2: . 1). > 0, разделим получившееся неравенство на –8, получаем
корни данного уравнения: . Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 4).

Рис. 4

Получаем < а <

2). , помножим обе части данного неравенства на 2а, при этом а ¹ 0; 2а + 1 > Þ 2а – 2а > –1 Þ 0 > –1 Þ а Î R. 3). Y(1) = 2а –2; корни уравнения 2а(а-1) > 0: а1 = 0; а2 = 1. Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 5).

Рис. 5

Получаем а < 0, а > 1 4). Объединим полученные результаты:

(Рис.6)

Рис. 6

Получаем Ответ: при корни уравнения (1) больше 1. Пример 4. При каком наибольшем целом а оба корня уравнения заключены строго между –2 и 4:

Способ 1:

(1)

; тогда корни уравнения (1): . Они должны быть заключены строго между –2 и 4: Нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 7).
Получаем

Рис. 7

Способ 2: По Т2: 1). D = 1> 0; 2). ; 3). Y(–2) = а2+4а+3
а2+4а+3 > 0; корни уравнения а2+4а+3 = 0: а1 = –3, а2 = –1; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 8).

Рис. 8

Получаем а < –3, а > –1. Y(4) = а2–8а+15
а2–8а+15 > 0; корни уравнения а2–8а+15 = 0: а1 = 3, а2 = 5; нанесем полученные точки на координатную прямую (Рис. 9).

Рис. 9

Получаем а < 3, а > 5. 4). Объединим полученные результаты:

(Рис.10)

Рис. 10

Получаем –1 < а < 3. Ответ: при а =2 оба корня уравнения (1) заключены строго между –2 и 4. Пример 5. Найти коэффициент а, если корни уравнения связаны соотношением 12 = 3: по теореме Виета: ; составим и решим систему: получаем х1 = 1, х2 = 1, тогда а = 1. Ответ: а = 1.

2. 3. Системы уравнений

Системы линейных уравнений типа: 1) имеют единственное решение, если 2) не имеют решений, если 3) имеют бесконечное множество решений, если Пример 1. Найти все значения а, при которых система имеет бесчисленное множество решений:

Система (1) имеет бесчисленное множество решений, когда

(1)

1) , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ –3; 2) , ОДЗ: а ¹ –3, а ¹ ; , разделим обе части уравнения на 4: 3) , ОДЗ: а ¹ 0, а ¹ ; Ответ: при а = 1 система (1) имеет бесчисленное множество решений. Пример 2. При каких m и n система а) имеет единственное решение; б) не имеет решений:

(1)

а). Система (1) имеет единственное решение, когда так как 5 ¹ 0 и 3 ¹ 0, то 5m ¹ 30, отсюда m ¹ 6. б). Система (1) не имеет решений, когда 1) отсюда m = 6. 2) отсюда n 8. 3) отсюда n при m = 6 n 8, при n8 m = 6. Ответ: а) при m ¹ 6 система (1) имеет единственное решение; б) при n8 и m = 6 система (1) не имеет решений. Пример 3. Решить относительно х:

(1)

1) а < 0, тогда получаем систему

если то система (2) несовместима, а если , то – а < х <

2) а = 0, тогда получаем систему

3) а 0, тогда получаем систему

если , то х > – а, а если – а < – 1а > 1, то х >

(2)

Ответ: в системе (1) при а– 1 х Æ; при – а < х < при а = 0 ; при х > – а; при а > 1 х >

3. Графический метод решения задач

Рассмотренный мною стандартный способ решения задач с параметрами в отдельных случаях приводят к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен, если применять графический метод. Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение:

(1)

Пусть Тогда, возведя обе части этого уравнения квадрат, получаем х = t2а, тогда уравнение (1) эквивалентно системе . График функции при условии пересекает семейство прямых y = a в одной точке при и при а > 1 (Рис. 11). Ответ: при ; а > 1 уравнение (1) имеет единственное решение.

Рис. 11

Пример 2. Найти все значения параметра а, при котором уравнение имеет ровно три различных корня:

(1)

Построим график функции для и отразим его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс y = a, пересекает график ровно в трех точках при а = 5 (Рис. 12). Ответ: уравнение (1) имеет ровно три различных корня при а = 5.

Рис. 12

4. Заключение

Итак, я рассмотрела часто встречающиеся типы уравнений и способы их решений и сделала вывод, что наиболее эффективным является графический метод решения задач с параметрами. Работа над данным рефератом помогла мне в учебе не только в школе, но и в Городском Компьютерном Центре при УГТУ УПИ. Да, я могу сказать, что я научилась решать уравнения с параметрами, но я не хочу останавливаться на достигнутом и поэтому в следующем году я собираюсь работать над рефератом на тему: «Решение неравенств с параметрами». Также в данной работе я не рассмотрела примеры тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений, поэтому в моём реферате нельзя ставить точку.

Список литературы

1. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – М.: Асар, 1996. 2. Важенин Ю. М. Самоучитель решения задач с параметрами. – Екатеринбург: УрГУ, 1996. 3. Окунев А. А. Графическое решение уравнений с параметрами. – М.: Школа – Пресс, 1986. 4. Райхмист Р. Б. Графики функций: задачи и упражнения. – М.: Школа- Пресс, 1997. 5. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. – М.: Просвещение, 1986.