Каталог :: Математика

Реферат: Формула Шлетца

              КОМИТЕТ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ.              
                  КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ.                  
§1. Пространство R(p1,p2).
А1- аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу
r = {a,`e},     где а и`e   соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q`e  , d`e= W`e               (1),
причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного
аффинного пространства :
D q = qÙW , DW=WÙW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2`e + 1/6d
3`e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e* =e*`e. Из (1) получаем :e*
=1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной
длины вектора `e* , близкого к `e , по отношению к `e.
Пусть R(p1,p2) – пространство всех пар (p1,p
2) точек p1,p2  прямой А1. Поместим
начало а репера r в середину Q отрезка р1р2, а конец
вектора `е – в точку р1; при этом р2 совместится с концом
вектора -`е.
Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют
соответственно вид: W+q=0,   -W+q=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1
2) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.
Очевидно, что dim R(p1,p2)=2. Заметим ,что в
репере r форма 2W является дифференциалом относительной длины отрезка 
р12*, близкого к р1р2
,по отношению к р1р2.
§ 2. Отображение f.
     А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R
={p,`ej}. Деривационные формулы репера R и уравнения
структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp=
Wjej ; d`ej= Wj 
k;
     DWj=Wk^Wkj ; DWj=Wjy^Wyk .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А2 
в пространстве R(p1,p2):f:A2®R(p1
,p2).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется
: rang f=2        (1)
Поместим начало Р репера R в точку f-1(p1
,p2). Тогда дифференциальные уравнения отображения f 
запишутся в виде :
     Q+W=ljWj   ;   Q-W=mjWj                 (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение 
f-1: R(p1,p2)®A2 
обратное к f.В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения 
f-1 имеют вид :
        Wj=lj(Q+W)+mj(Q-W)           (3)
Из (2) и (3) получаем :
     lklj+mkmj=djk
     ljlj=1
     mjmj=1                            (*)
     ljmj=0
     mjlj=0
Указанную пару {r;R} реперов пространств А1 и А
2 будем называть репером нулевого порядка отображения f.
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
     D(λjWj-W-Q)=0,
получаем :
     jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk
     D(μjWj+W-Q)=0
получаем :
     jkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWk
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :
     Q+W=λjWj
     Q-W=μjWjjkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWkjkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWj
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г1={λjj} является геометрическим объектом. Он называется
фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f.
Осуществим второе продолжение системы (2) :
     k^WjkkdWj
k+1\4(λjμkkμj)^W
k+1\4(λjμkkμj
)dWk+dλjk^WkjkdWk
=0.
получим:
     (dλjtktWjk
jkWtk+1\4(λkμjtkλjk)Wk+1\16λt
μkjj)Wk)^Wt
=0
     dμk^WjkkdWj
k+1\4d(λjμkkμj
)^Wk+1\4(λjμkk
μj)dWk+dμjk^Wk
jkdWk=0
получим:
     (dμjtktWjk
jtWtk+1\4(λkμjtkλjt)Wk+1\16λt
μkjj)Wk)^Wt
=0
обозначим:
          λj=dλjtWjt
          μj=dμjtWjt
          λjk=dλjktkWktjtWkt
          μjk=dμtkWjtjtWkt
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f
примет вид:
     Q+W=λjWj
     Q-W=μjWjjkWjk+1\4(λjμkkμj)WkjkWkjkWjk+1\4(λ
jμkkμj)WkjkWk                                          (4)
            λjk
=(1\4(μαλjkαμ
jk)+1\16λkμαjj)+λjkα)Wα
            μjk
=(1\4(μαλjkαμ
jk)+1\16λkμαjj)+μjkα)Wα
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г2={λ
jjjkjk} образует
геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом
второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) 
приведет к фундаментальному геометрическому объекту ГР 
порядка р :
     ГР={λjjj1j2j1j2,...,λj1j2...jpj1j2...jp}.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин j},{μj} образует подобъекты
геометрического объекта Г1. Будем называть их основными
ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две
инвариантные прямые:
     λjXj=1 ; μjXj=1                             (6)
не инцидентные точке Р. Из условия rang f=2 и уравнения (2) 
вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают,
что величины jj} являются
компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных
ковекторов. Таким образом , величины jj
} охватываются объектом Г1.
Из (*) получаем:
     j=-λkWkj-1\4(λ
jjtWtkt
λkλtWtktWtkμjj=-μkWkj
ktμkλjWtkt
μkμjWt+1\4λt
jj)Wt
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные
объектом Г1. Будем называть их основными векторами 1-го
порядка.
Предположение 1.Конец вектора  v1jej 
(вектора v2jej) лежит на прямой 
(6). Доказательство вытекает из формул (*),(2). Прямые, параллельные
прямым (6), инцидентные точке Р, определяются соответственно
уравнениями:
     λjXj=0  ,  μjXj = 0
(7).
Предположение 2. Основные векторы j} и 
j} параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство
вытекает из формул (*) и (7). Взаимное расположение
рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
     
λjXj=1
     
V2
V1             μjXj=1
     
Система величин ρjjj 
образует ковектор: jkWjk
+(μjkjk)Wk.
Определяемая им прямая ρjXj=0 (8) проходит
через точку Р и точку пересечения прямых (6).
Пусть W-однородное подмногообразие в R(p1,p2) 
содержащее элементы 12) определяемое условием: 1*2*)∈W↔p1
*p2*=p1p2.
Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу 
f-1(W) многообразия W при отображении f.
Доказательство:
     ] (p1*,p2*)∈W и p1*=p1+dp1+1\2d2p1+... ,
     p2*=p2+dp2+1\2d2p2+... .
Тогда в репере Г: p1*p2*=e p
1p2, где e=1+2W+... является относительной длиной
отрезка р1*р2* по отношению
к р1р2. Таким образом, 1*
р1*)∈W↔W=0.
Из (2) получим: W=ρ1Wj
Следовательно, 1*р2*)∈W 
равносильно ρjWj=0
(9)
Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента 12)∈R(p1p
2) определяется функция h: (p1*p
2*)∈h(p1p2)→e∈R,
так, что р1*р2*=е р1
р2
В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия     
f-1(W) является линией уровня функции h. Заметим, что 
(9) является дифференциальным уравнением линии f-1(W).
     ]W1,W2- одномерные многообразия в R(p1
p2), содержащие элемент 1р2) и
определяемые соответственно уравнениями:
     (p1*,p2*)єW1↔p2*=p2.
     (p1*,p2*)єW2↔p1*=p1.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу
многообразия W2 (многообразия W1) при
отображении f.
Дифференциальные уравнения линии f-1(W1) и f-1(W2) имеют соответственно вид:
     λjWj=0                                       
     μjWj=0.
Пусть W0- одномерное подмногообразие в R(p1p
2), содержащее 1р2) и определяемое
условием: (p1*p2*)єW0
↔Q*=Q ,где Q*– середина отрезка р1*р
2*.  Следующее утверждение доказывается аналогично теореме
1.
Предложение 3. Прямая jj)X-j
=0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f-1
(W0) многообразия W0 при отображении f
. Дифференциальное уравнение линии f-1(W0) имеет
вид: jj)Wj=0.
Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f-1
(W1), f-1(W2),    f-1(W),
f-1(W0) составляют гармоническую четверку.
Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.
Рассмотрим отображения:
     П1: (р12)∊R(p1,p2)→p1∊A1     (5.1)
     П2: (р12)∊R(p1,p2)→p2∊A1     (5.2)
Отображение f: A2→R(p1,p2) порождает точечные отображения:
     φ11∘f: A2→A1     (5.3)
     φ22∘f: A2→A1     (5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ
1 и φ2 меют соответственно вид (2.5 а) 
и (2.5 б). Подобъекты Г1,2={λj
jk} и Г2,2={μjjk} 
объекта Г2 являются фундаментальными объектами второго
порядка отображений φ1 и φ2.
В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет
соответственно вид:
     x=1+λjXj+1/2λjkXjXk+1/4λyρkXjXk+<3>,     (5.5)
     y=-1+μjXj+1/2μjkXjXk+1/4μyρkXjXk+<3>,   (5.6)
Введем системы величин:
     Λjkjk+1/4(λjρkkρj),
     Μjkjk+1/4(μjρkkρj)
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:
     x=1+λjXj+1/2ΛjkXjXk+<3>     (5.7)
     y=-1+μjXj+1/2ΜjkXjXk+<3>   (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А2, в котором выполняется:
     λ1  λ2         1  0   
     =                           
     μ1  μ2        0  1   
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f 
является единичной матрицей.
Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:
     x=1+X1+1/2ΛjkXjXk+<3>     (5.9),
     y=-1+X2+1/2ΜjkXjXk+<3>   (5.10). 
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
     Gjk=1/2(λjμkkμj)
Из (3.1) получим:
     dGjk=1/2(dλjμkj
μk+dλkμjkj)=1/2(μkλtWjt
+1/4λjμkμtWt
-1\4μkμtλtWt
kλjtWtjμtW
kt+
+1/4λjλkμtWt
-1/4μjλkμtWt
-1/4μjλtμkWt
jλktWtkμtW
jt+1/4λkλjμtW
t-1/4λkλtμjWt+
+λkμjtWt),
     dGjk=1/2(μkλtk
μt)Wjt+1/2(λjμttμj)Wkt+GjktW
t,
где Gjkt=1/2(μkλjt
yμktjλktk
μjt-1/2μjμkλt
+1/2λjλkμt-1/4λj
μkλt+1/4λjμk
μt+1/4μjλkμt-
-1/4μjλkλt)                      (6.3).
Таким образом, система величин {Gjk} образует двухвалентный
тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику G:
     dS2=GjkWjWk     (6.4)
Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) 
соответствует при отображении f метрике dS22
-W2  (6.5) в R(p1,p2).
Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
Асимптотические направления определяются уравнением GjkWjWk=0 или
     λjWjμkWk=0     (6.6)
     Предложение: Основные векторы V1 и V2 
определяют асимптотические направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На
проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) 
и (y,U) расстояние между ними определяется как двойное
отношение W=(xy,UU)
     Теорема: Метрика dS22-W2 совпадает с метрикой Розенфельда .
Доказательство: В репере r имеем для координат точек p1,p2,p1+dp1,p2+dp2
Соответственно: 1,-1,1+θ+W,-1+θ-W.
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем
     dS22-W2
     Следствие: Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной
группы ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
     Гljk=1/2Gtl(Gtkj+Gjtk-Gjkt)
     
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г2
={λjjjkjk
}.
Он определяется формулой: Гljkj
ΛjklΜjkl
λtλklμtμ
k.
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
     gjkjλkjμk     (7.1)
Из (3.1) получаем:
     dgjk=dλjλk+dλk
λj+dμjμk+dμk
μjkλtWjt
+1/4λkλjμtWt
-1/4λjλtμjWt
kλjtWtjλtW
kt+
+1/4λjλkμtWt
-1/4λjλtμkWt
jλktWtkμtW
jt+1/4μkλjμtW
t-1/4μkλtμjWtkμjtWt+
+μjμtWkt+1/4μj
λkμtWt-1/4μjλ
tμkWtjμktW
t.
     dgjk=(λkλtk
μt)Wjt+(λjλtjμt)Wkt+gjktW
t,     (7.2)
где gjkt=1/2λjλkμt
-1/2μjμkλt-1/4λk
λtμj-1/4λjλt
μk+1/4λjμkμt
+1/4μjλkμtk
λjtjλkt+
     +μkμjtjμkt     (7.3)
Таким образом, система величин {gjk} образует двухвалентный
тензор. Он задает в А2 инвариантную метрику g:
     dS2=gjkWjWk     (6.4)
Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) 
соответствует при отображении f метрике:
     dS2=2(θ2+W2)     (6.5)
в R(p1,p2)
Из (6.5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
     GjkXjXk=1     (6.6)
или jXj)2+(μjXj)2=1     (6.7)
Из (6.7) вытекает:
     Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке 
Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых,
параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью
определяет эту окружность, а следовательно и метрику g.
     
     
V1 
                                         V2                   рис.3.
Пусть gjkjλkjμk     (6.8)
В силу (2.7) имеем:
     gjtgtk=(λjλt
jμt)(λtλkt
μk)=λjλkj
μkkj     (6.9)
Таким образом, тензор gjk является тензором взаимных к g
jk. Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному
полю поле ковектора и наоборот.
     Предложение 7.2: Поле основного вектора j} 
(вектора j}) соответствует в метрике g полю
основного ковектора j} (ковектора j
}).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину
в метрике g.
Доказательство:
     λjλkgjkjλkλjλkjλkμjμk=1,
     μjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=1,
     λjμkgjkjμkλjλkjμkμjμk=0.
Таким образом, f задает на А2 структуру риманова пространства (A2,gf).
В работе <2> был построен охват объекта
     γjkl=1/2gtl(gtkj+gjtk-gjkt)
римановой связности γ фундаментальным объектом
     Г2={λjjjkjk}
Он определяется формулой:
     γjkllΛjk
lMjk+Gjkll
)+1/2(λll)(μjμkjλk),
где Gjk=1/2(λjμkkμj).