Каталог :: Математика

: Сфера

                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                                                                          
                            Сфера и шар                            
                                          Работа ученика 11 класса
                                               средней школы №1906
                                              юго-западного округа
                                                          г.Москвы
                                            Кашина Виталия.
                                                                   
                        Сфера и шар.                        
        Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, уда­лённых от
данной точки на данном расстоянии.
         
     Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.
     Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется
радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её
центр, называется диамет­ром сферы. 
     Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, нахо­дящихся на
расстоянии не большем данного от данной точки
     (или фигура, ограниченная сферой).
                                                                          
                         Уравнение сферы.                         
                              
     M(x;y;z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.
     след. MC=  т.к. MC=R, то 
     если т.М не лежит на сфере, то MCR, т.е. координаты точки М
     не удовлетворяют уравнению.Следовательно, в прямоугольной системе координат
уравнение сферы радиуса R с центром C(x0;y0;z0;) имеет вид : 
                                
             Взаимное расположение сферы и плоскости.             
     
                              
     d - расстояние от центра сферы до плоскости.
     след. C(0;0;d), поэтому  сфера имеет уравнение 
     плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0
     Если т.М(x;y;z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плос­кости и
на сфере, т.е. является общей точкой плоскости и сферы.
     след. возможны 3 решения системы :
     
     1)   d<R  ,   d^2<R^2   ,   x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0
     уравнение имеет б.м. решений, пересечение сферы и плоскости - окруж­ность
C(0;0;0)    и     r^2=R^2 - d^2
     2)  d=R   ,   x^2 + y^2 =0  ,  x=y=0  след. сфера пересекается плоскостью в
точке О(0;0;0)
     3) d>R  ,  d^2>R^2     R^2 - d^2 < 0
     x^2 + y^2 >=0  ,    x^2+y^2=R^2 - d^2  не имеет решений 
                  Касательная плоскость к сфере.                  
     Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной
плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой ка­сания плоскости и
сферы.
     Теорема:
     Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпен­дикулярен
к касательной плоскости.
                        
                          Доказательство:                          
     Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к
плоскости, след. ОА > R , но т.А принадлежит сфере, то получаем
противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.
                                                                   ч.т.д.
     Теорема:
     Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец,
лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
                          Доказательство:                          
     Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендику­ляром,
проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому рас­стояние от центра
сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следова­тельно, сфера и плоскость
имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является
касательной к сфере.
                                                                   ч.т.д.
                          Площадь сферы:                          
     Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного
многогранника. Многогранник  называется описанным около сферы (шара) , если
сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в
многогранник.
     Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем не­ограниченно
увеличивать  n   таким образом, чтобы  наибольший размер кождой грани стремился
к нулю. За площадь сферы примем предел после­довательности площадей
поверхностей описанных около сферы много­гранников при стремлении к нулю
наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и
получить формулу для вы­чесления площади сферы радиуса R :  
                                 S=4ПR^2