Каталог :: Математика

Курсовая: Типовой расчет

                         Свойства определителей.                         
1.      Определитель не изменяется, если его строчку заменить столбцом и
наоборот.
2.      При перестановки дух строк и ли двух столбцов определитель меняет знак.
3.      Если определитель имеет две одинаковые строки ( столбца ) то он равен 0.
4.      Обшей множитель какой либо строки ( столбца ) можно вынести за знак
определителя.
Следствие из свойств 3 и 4 – что если все элементы некоторой строки ( столбца
) пропорциональны соответствующим элементам параллельной строки ( столбца ),
то определитель равен 0.
5.      Если элемент какой либо строки ( столбца ) определителя есть сумма
слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей.
6.      определитель не изменяется если к элементам параллельной строки (
столбца ) прибавить соответствующие элементы параллельной строки ( столбца )
умноженное та любое число.
     
Минором некоторого элемента  
определителя -ного
порядка называется определитель 
- его порядка полученного из исходного путем вычеркивания строки и столбца на
пресечении которых находится выбранный элемент 
Алгебраическим дополнением элемента  
определителя называется  его минор, взятый с знаком [+] если сумма  
число четное, со знаком [-], если сумма  
нечетное число.
7.      Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строчи (
строки ) на соответствующие им  алгебраические дополнения.
8.      Сумма произведений элемента какого либо столбца ( строки )
определителя алгебраическое дополнение соответствующих параллельного столбца
( строки ) равна 0.
                       Матрицы и действия над ними.                       
§         Матрицей - прямоугольные таблицы, состоящие из  
строк и столбцов
одинаковой длины.
§         Две матрицы A и B называются равными, если равны их
соответствующие элементы.
§         Матрица содержащее одинаковое количество строк и столбцов
называется квадратной.
§         Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной
диагонали равны, то она называется диагональной.
§         Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали
равен 1, то она называется единичной.
§         Матрица все элементы которой равны 0 называется нулевой.
§         Матрица содержащая одну строчку или один столбец, называется
векторной или вектор-строка или вектор-столбец.
§         Матрицы полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с
тем же номером называется транспонированной к данной.
                         Действия над матрицами.                         
                                    Сложение.                                    
Суммой двух матриц будет матрица  
такая что каждый ее элемент  
будет равен сумме соответствующих элементов матриц  
и . ( Аналогично
определяется и разность матриц. )
                      
                      
Умножение на число
Произведение матрицы  
на число  называется
матрицей , такая
что ее каждый ее элемент умножен на число 
.
                      
Произведение матриц.
Операция умножения двух матриц вводится только для случаев, когда число столбцов
первой матрицы равно числу строк  второй матрицы. Элемент 
-ой строки и -
го столбца матрицы произведением с равен сумме произведений
элементов i-ой строки матрицы А на соответствующее элементы 
-го столбца матрицы В
     
Обратная матрица  называется обратной матрицы , если выполняется условие:
                    
Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.
          Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.          
                   Элементарные преобразования матрицы                   
§         Перестановка двух параллельных рядов матрицы.
§         Умножения всех элементов ряда матрицы на число отличное от 0.
§         Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих
элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.
§         Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна
из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.
                      Решение систем методом Крамара                      
     
      Если 
, то система линейных уравнений не вырожденная и имеет единственное решение.
                                                            
                                                                                                
               Решение систем уравнений матричным способом.               
§         Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить совместна
она или нет.
§         Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение, и несовместная, если она не имеет ни одного решения.
§         Две системы называются эквивалентными ( равносильными ), если они
имеют одно и тоже решение.
§         Эквивалентная система получается путем элементарных преобразований
системы, выполняются лишь над строками матрицы.
§         Система линейных уравнений называется однородной, если все ее
свободные члены равны 0 и имеет нулевое решение.
1.      План решения систем линейных уравнений матричным способом.
2.      Дана система линейных уравнений.
3.      Записываем систему в матричном виде.
     4.      Выписываем матрицы А, В, Х.
5.      Решаем систему в виде .
6.      Вычисляем определитель матрицы А ().
7.      Если , то матрица невырожденная, и имеет решение.
8.      Ищем обратную матрицу. 
            Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.            
Метод Гуса состоит в подследственном исключении неизвестных.
Процесс решения состоит из двух этапов:
I.      На первом этапе система приводится к ступенчатому в частности,
треугольному виду.
II.      На втором этапе идет последовательное определение неизвестных.