Каталог :: Математика

Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов

          Магнитогорский Государственный технический университет          
Приближенное вычисление определенных интегралов.
                    Формула парабол (формула симпсона)                    
Подготовил:        Студент группы ФГК-98       Григоренко М.В.
                               Магнитогорск –1999                               
     

Н

е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.

Формула парабол (формула Симпсона)

Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x 1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y = f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M 1(x1,y1), M2(x2,y2) и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид y = Ax2 + Bx + C. Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции. Если криволинейная трапеция ограничена параболой y = Ax2 + Bx + C, осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (☺) где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные равенства (h=Δx):
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение: Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение интеграла.

Примеры

Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы: И Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении). Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию в строке (***). Были получены следующие ответы:
При n = 20.

Приложение

'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол '(формула Симпсона) Option Explicit Sub integral_1() Dim i As Integer, n As Integer Dim t As Boolean Dim b As Double, a As Double Dim chet As Double, nechet As Double Dim delta As Double, result As Double a = 0 '(*) b = 1 '(**) t = True Do n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос") If n Mod 2 = 0 Then t = False Loop While t delta = (b - a) / n chet = 0 nechet = 0 For i = 1 To n - 1 If (i Mod 2) = 0 Then chet = chet + (f(a + (delta * i))) Else nechet = nechet + (f(a + (delta * i))) End If Next i result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet)) MsgBox result, vbInformation, "Результат" End Sub Function f(x) As Double f = Sqr(1 + (x ^ 4)) '(***) End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол '(формула Симпсона) Option Explicit Sub integral_1() Dim i As Integer, n As Integer Dim t As Boolean Dim b As Double, a As Double Dim chet As Double, nechet As Double Dim delta As Double, result As Double a = 2 '(*) b = 5 '(**) t = True Do n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос") If n Mod 2 = 0 Then t = False Loop While t delta = (b - a) / n chet = 0 nechet = 0 For i = 1 To n - 1 If (i Mod 2) = 0 Then chet = chet + (f(a + (delta * i))) Else nechet = nechet + (f(a + (delta * i))) End If Next i result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet)) MsgBox result, vbInformation, "Результат" End Sub Function f(x) As Double f = 1 / (Log(x)) '(***) End Function