Каталог :: Математика

Курсовая: Построение линии пересечения 2-х конусов и цилиндра

                          Министерство общего и                          
                     профессионального образования РФ                     
                     Брянский Государственный                     
                      Технический Университет                      
                                 кафедра                                 
                           «Высшая математика»                           
                      Расчетно-графическая работа №1                      
                               Вариант №103                               
     Студент группы 97ДПМ-1
     Копачев Д.В.
     Преподаватель
     Салихов В.Х.
                               Брянск 1997                               
     
     
     1. Описание изделия
На рисунке 1 изображено в трех проекциях изделие - поверхность, состоящая из
одного куска цилиндрической и двух кусков конической поверхностей (КоКоЦ).
     Дополнительные сведения:
     раствор конуса  b = 300
     радиус цилиндра  R = 5 см
     расстояние от оси конуса до оси цилиндра l =2 см
     расстояние между осью цилиндра и вершиной каждого из конусов L = 6 см
     2. Выбор системы координат
В качестве начала координат возьмем точку пересечения осей конусов. Ось
абсцисс пустим вдоль оси первого конуса, ось ординат - вдоль оси второго
конуса, ось аппликат - параллельно оси цилиндра, причем так, чтобы система
координат была правой.
Расстояние d от вершин конусов до начала координат находим с помощью Теоремы
Пифагора:2
     + l = + 2 = 7.7 (см)
таким образом ось цилиндра описывается следующим уравнением:
     
Вершина первого конуса имеет следующие координаты - (-7.7; 0; 0), вершина
второго конуса - (0; -7.7; 0).
     3. Аналитическое описание несущих поверхностей
Уравнение цилиндрической поверхности:
    (х+2)2+(y+2)2 = R2   ( I )    
Параметризация цилиндрической поверхности:
                                                                                         
(II)
Определение положения шва на цилиндрической детали:
потребуем, чтобы параметр uÎ
. При этих значениях u шов наиболее удален от конусов и описывается двойным
уравнением x = y = - l -
.
Уравнение первой конической поверхности:
(x + 7.7)2 tg2b = y 2+ z2                                                                          
(III)
Параметризация первой конической поверхности:
                                                                       (IV)
Определение положения шва на первой конической детали:
потребуем, чтобы jÎ[-psinb;psinb]
Тогда шов будет наиболее удален от второго конуса.
Уравнение второй конической поверхности:
(y+7.7)2 tg2b=x2+z2                                                               
(V)
Параметризация второй конической поверхности аналогично первой (IV):
                                                       (VI)
(Также можно обойтись и без нее за счет использования симметрии).
     4. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке цилиндра
Подставим параметризацию цилиндра (II) в уравнение первого конуса 
(III), получаем уравнение:
(-2+Rcos+7.7)2tg2b=(-2+Rsin)2+v2, которое в дальнейшем преобразуется к виду:
v = v(u) = ±        (VII)
Знак «+» соответствует «верхней» половине линий отреза, Z ³ 0
, знак «-» - «нижней» половине этой линии. При некоторых значениях
параметра u подкоренное выражение отрицательно, что соответствует
отсутствию пересечения образующей цилиндра с первым конусом.
     5. Описание линии пересечения цилиндра и второго конуса на выкройке цилиндра
Линию пересечения цилиндра с первым конусом следует строить только при u
. Отражая эту линию симметрично относительно прямой u = 
, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом.
     6. Описание линии пересечения цилиндра и первого конуса на выкройке конуса
Подставляя параметризацию первого конуса (IV) в уравнение цилиндра 
(I), получаем уравнение:
(-7.7+rcosb+2)2 + (rsinbcos+2)2 = R2
преобразуем:
(rcosb-5.7)2 + (rsinbcos+2)2 = R2
r2cos2b-2*5.7*rcosb+32.49+r2sin2bcos2+4rsinbcos+4-R2 = 0
r2(cos2b+sin2bcos2)+2r(-5.7cosb+2 sinbcos)+36.49-R2 = 0
     Отсюда
r=r(j)=                                      (IX)
a(j)=1- sin2bsin2 ;
b(j)=2(2sinbcos-5.7cosb);
c=36.49-R2 .
Линия пересечения симметрична относительно луча j=0; ветвь, соответствующая
знаку «-» в формуле (IX), посторонняя.
     7. Описание линии пересечения конусов на выкройке первого конуса
Подставляя параметризацию первого конуса (IX), в уравнение
второго конуса(V), получаем уравнение:
(rsinbcos+7.7)2
tg2b=(-7.7+rcosb)2+r2sin2bsin2        
квадратное уравнение относительно переменной r.
После упрощения получим:
r2(sin2bcos2tg2b- cos2b-sin2bsin2)+r(2d(sinbcos tg2b+cosb))+d2 (tg2b-1)=0
r=,                                        (X)
где          а = sin2bcos2tg2b- cos2b- sin2bsin2;
b = d(sinbcos tg2b+cosb);
c = d2(tg2b-1).
     8. Выкройка второго конуса
Она идентична выкройке первого конуса.
     9. Расчет выкройки цилиндрической детали
Подставляем в формулу (VII)  конкретные числовые данные и
рассчитываем несколько точек (u, v). Результаты отчета заносим в таблицу
1.
Строим выкройку цилиндрической детали, учитывая, что линию пересечения цилиндра
с первым конусом следует строить симметрично относительно прямой u£
; отражая эту линию пересечения относительно прямой u=
, получаем линию пересечения цилиндра со вторым конусом. Полувысоту цилиндра
примем равной 8 см.
     10. Расчет выкройки конических деталей
Произведем расчет по формулам (j; r) по формулам (IX, X).
Результаты расчетов заносим в таблицы 2 и 3.
Возьмем сектор  
радиуса r0=26см., и, учитывая симметричность относительно луча j=0,
построим выкройку конической детали.
     11. Изготовление выкроек деталей, сборка изделия
Изготовим выкройки деталей с припусками на соединение их в изделие, учитывая
предыдущее описание. Вырежем и склеим.