Каталог :: Математика

Курсовая: Численные методы анализа и синтеза периодических сигналов

                      Министерство Образования и Науки РМ.                      
              Колледж Иностранных Языков и Международного Бизнеса.              
            Университет Иностранных Языков и Международного Бизнеса.            
                       Кафедра Информационные Технологии.                       
     

Курсовая работа

по Дисциплине: Сигналы, Цепи и Системы. Тема: «Численные Методы Анализа и Синтеза Периодических Сигналов» Работу выполнил: Студент группы № 989 Специальность: Вычислительная техника Сергеев Александр Владимирович Работу проверил: Конф. Др. С. Хачатурова Кишинёв 1999

Содержание:

Введение................................................................................................. .1 1. Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1.1 Синтез периодических сигналов................................................. .3 1.2 Анализ периодических сигналов..............................................3 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов 2.1 Численные методы расчетов временных характеристик.......... 4 2.2.Численные методы расчетов частотных характеристик............. 5 Выводы.........................................................................7 Литература.....................................................................7 Введение: Известно , что периодическое несинусоидальное колебание можно представить бесконечным тригонометрическим рядом Фурье, который в общем случае содержит постоянную и гармонические составляющие . Часто используется следующая форма математической записи ряда Фурье: где f(t)-функция, раскладываемая в ряд, , а - частота следования импульсов. Коэффициенты ряда определяются следующими выражениями: (1) где =1,2,3.M соответственно функции(1.2),(1.3),(1.4) Здесь А - постоянная составляющая , An и Bn - амплитуды косинусной и синусной составляющих, Т- период повторения сигнала , М- число гармоник, n – номер гармоник. Ряд (1) можно преобразовать к более удобному виду: (2) Здесь -постоянная составляющая, -амплитуда n-ой гармоники, -фаза n-ой гармоники. Формула (2.1) используется при спектральном анализе и синтезе периодических сигналов. 1.Спектральный анализ и спектральный синтез периодических сигналов 1.1. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ: Сигнал задан в виде набора спектральных составляющих: Cn – амплитуда,- частота, начальная фаза n- ой гармоники. Здесь n=1,2,.,M- номер гармоники , M- число гармоник в спектре сигналов. Требуется осуществить синтез сигнала U(t) и построить его временную диаграмму. Задача синтеза сигнала заключается в расчёте временной функции сигнала U(t) по известному спектру сигнала. При этом спектр сигнала задан в виде таблицы амплитуд, частот и фаз гармоник. Задача синтеза сигнала решается путём расчёта значений функции во временной области U(t) Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчетов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации. 1.2СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ: Задача анализа сигнала заключается в расчёте его спектра, т.е. амплитуд, частот, фаз и гармоник. При этом сигнал задан в виде функции времени U(t) . Задача анализа решается путём расчёта амплитудно-частотных Cn=f(w) и фазочастотных =f(w) характеристик. Сигнал задан в виде функции времени U(t) , повторяющийся с периодом Т. Требуется выполнить спектральный анализ сигнала и построить графики амплитудного и фазового спектров сигнала. 2.Численные методы расчетов спектральных и временных характеристик периодических сигналов Для расчета спектральных и временных характеристик периодического сигнала используем численные методы, чтобы упростить и автоматизировать задачу Дан сигнал: Дана таблица параметров данного сигнала
U, mvM t0,mksT,mksr
2.81045914992
U(t) – функция времени, описывающая сигнал; M – число учитываемых гармоник; U- амплитуда; T - текущее время; t0 – время задержки сигнала; T – период частоты повторения первой гармоники; r – постоянный коэффициент 2.1 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Численный синтез осуществляется путём расчёта отсчётов сигнала через равные интервалы времени и построения временной диаграммы сигнала. При этом интервал времени между соседними отсчётами называют интервалом дискретизации. Интервал дискретизации Тд вычисляем по формуле ТД<T/(к * M),где k=5(т. к на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала должно размещаться не менее 5 отсчетов) Интервал времени Тс равен Tmax и равен 50 т. к k*M=50(k=5,M=10). Исходя из формулы, интервал дискретизации Тд равен Тд=Т/(k*М), Тд=29,98
M=10K=5t0=459U0=2,8T=1499
Исходя из полученных данных, строим таблицу
tu(1)u(2)u(3)u(4)u(5)u(6)u(7)u(8)u(9)u(10)SUM
00,9658080,8125950,5499190,250406-0,00868-0,17017-0,21345-0,15715-0,04810,0584672,039651
29,980,628970,5866540,5071450,3999540,2776170,153920,041996-0,04743-0,10736-0,135292,306171
59,960,2822240,2784010,2708480,2597490,2453730,2280660,2082430,1863710,1629630,1385572,260794
89,94-0,06897-0,06891-0,0688-0,06863-0,06841-0,06814-0,0678-0,06742-0,06698-0,06649-0,68055
119,92-0,41908-0,40656-0,3822-0,3473-0,3037-0,25369-0,19984-0,14483-0,09131-0,04174-2,59023
149,9-0,76258-0,68716-0,54975-0,37435-0,19052-0,027290,0925690,1566620,1646620,127265-2,0505
179,88-1,09407-0,87135-0,50752-0,13020,1412630,243430,1883680,04829-0,08485-0,1436-2,21024
209,86-1,40832-0,93328-0,271630,2082720,3109620,118853-0,11591-0,18642-0,073890,081852-2,26951
239,84-1,70039-0,864270,0679170,3958630,123862-0,19872-0,1740,0665850,1638960,024397-2,09487
269,82-1,96566-0,6740,3815450,296665-0,20536-0,19360,1374770,145388-0,10145-0,11738-2,29638
299,8-2,19997-0,389160,549579-0,01746-0,298950,1259040,156966-0,15618-0,055360,146543-2,13808
329,78-2,39962-0,049710,507898-0,31893-0,049530,240959-0,15693-0,049150,160677-0,09603-2,21036
359,76-2,561460,2967040,272408-0,389350,256724-0,03527-0,137520,186463-0,11654-0,0067-2,23455
389,74-2,682950,601491-0,06703-0,17770,268408-0,254220,173972-0,06575-0,0360,105786-2,13401
419,72-2,762170,821886-0,380890,162689-0,02788-0,060350,115958-0,145950,155054-0,14735-2,26901
449,7-2,797880,926965-0,549410,385215-0,292180,231523-0,188340,155685-0,129880,108799-2,14949
479,68-2,78950,901985-0,508270,328667-0,221230,147439-0,092620,05001-0,01611-0,01109-2,21071
509,66-2,737170,75045-0,273190,0340110,10356-0,176070,19982-0,18650,14711-0,09265-2,23063
539,64-2,641730,4936230,066146-0,285280,309524-0,213660,0678540,064915-0,141270,146013-2,13387
569,62-2,504660,1675370,380238-0,39790,1603390,095698-0,208230,14650,004029-0,11999-2,27643
599,6-2,32813-0,182060,549234-0,22225-0,172820,24966-0,04205-0,155190,1369640,028721-2,13792
629,58-2,11493-0,50610,5086470,11441-0,30768-0,001790,21344-0,05087-0,150560,078161-2,21727
659,56-1,8684-0,759140,2739650,368187-0,08951-0,250330,0155970,1865380,024105-0,14254-2,24154
689,54-1,59244-0,90567-0,065260,3552250,231368-0,09237-0,21537-0,064080,1247690,129424-2,0944
719,52-1,29139-0,92513-0,379580,0849150,2867740,215590,011093-0,14705-0,15759-0,04593-2,34829
749,5-0,96999-0,81478-0,54906-0,246910,0131350,1734610,2139980,1546940,04382-0,06253-2,04417
779,48-0,63332-0,59012-0,50902-0,39986-0,27558-0,15034-0,037610,0517270,1107060,136999-2,29641
809,46-0,28666-0,28265-0,27474-0,26312-0,24809-0,23001-0,20934-0,18657-0,16226-0,13698-2,28042
839,440,0645110,0644650,0643740,0642370,0640550,0638280,0635560,063240,062880,0624760,637623
869,420,4146660,402540,3789260,3450610,3027030,254020,201460,1475990,0949860,0459932,587955
899,40,7582880,6841350,5488830,37590,1940280,031719-0,08852-0,15419-0,1645-0,129452,056285
929,381,0899630,8697420,5093910,134413-0,13728-0,24209-0,19049-0,052580,0809980,1425292,204598
959,361,4044660,9333190,275519-0,20445-0,31107-0,122780,112130,1865950,077844-0,078112,273469
989,341,6968430,865945-0,06349-0,3952-0,127940,1959080,176594-0,0624-0,16428-0,028782,093202
1019,321,9624860,677074-0,37827-0,299640,2019870,196467-0,13401-0,148140,0979040,1200232,295876
1049,32,1972120,393204-0,548710,0130,300154-0,12201-0,159990,1536880,059538-0,1462,140091
1079,282,397320,054166-0,509760,316220,053923-0,242360,1538410,053438-0,16160,09262,20779
1109,262,55966-0,29247-0,27630,390349-0,254180,0308480,14092-0,186620,1133440,0111532,236711
1139,242,681674-0,598070,0626020,181684-0,270630,253962-0,171310,0615590,04034-0,108842,132964
1169,222,761439-0,819760,377611-0,15860,0234370,064677-0,119690,148684-0,15650,1473512,268639
1199,22,797698-0,926430,548527-0,383990,290617-0,229630,186138-0,153180,127089-0,105742,151087
1229,182,78988-0,903120,510129-0,331190,224342-0,151050,096623-0,054290,0205390,0066392,2085
1259,162,738109-0,753090,277071-0,03845-0,099340,172818-0,198110,186636-0,149060,0960742,232645
1289,142,6432-0,4974-0,061720,282141-0,309040,216055-0,07207-0,060720,138931-0,146552,132831
1319,122,506649-0,17192-0,376950,398333-0,16414-0,091550,207044-0,149220,000430,1173432,276008
1349,12,3306060,177679-0,548350,2259470,169094-0,250490,0464130,152669-0,13939-0,024332,139844
1379,082,1178450,502351-0,5105-0,110130,308313-0,00267-0,21280,0551450,148694-0,08192,214352
1409,061,8717190,75654-0,27785-0,366420,0937730,249488-0,02004-0,18665-0,019690,1436112,244486
1439,041,5961040,9045820,060829-0,35725-0,228360,096510,215280,059872-0,12763-0,127232,092694
1469,021,2953430,9257050,376292-0,08927-0,28847-0,21319-0,006640,1497560,1562310,0416752,347436
14990,9741740,8169450,5481650,24339-0,01759-0,1767-0,21446-0,15215-0,039510,0665422,048811
После расчета строим временную диаграмму сигнала 2.2.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТОВ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Для того чтобы определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику периодического сигнала представим сигнал в виде ряда Фурье (2). Коэффициенты ряда Аn и Bn определяются по формулам (1) . Для того чтобы вычислить An и Bn преобразуем интеграл к сумме, а непрерывную функцию U(t) представим как дискретную (t1) , где tI=i*TДД – интервал дискретизации).
Представим непрерывную функцию U(t) как дискретную, сделав замену t i * Т Д и di ТД, преобразуем выражения An ,Bn и запишем ряд Фурье в окончательном виде: ( 5) где k=T/ТД – число отсчётов сигнала на интервале T. Интервал дискретизации ТД выбираем таким, чтобы на самом крутом участке функции U(t) , было не менее 5 отсчётов, либо не менее 5 отсчётов на периоде наибольшей частоты в спектре сигнала. Исходя из формулы(5),вычисляем амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики. Расчеты приведены в таблице
i

Wn

U(ti)

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

A10

002,039650,815860000000000
14189,46-2,1380-0,0394-0,0374-0,02320,02300,037470,00013-0,0374-0,02330,02290,03750,00025
28378,92-2,1379-0,89454-0,526720,851458-0,84960,5221010,005699-0,531310,85318-0,847890,517460,011397
312568,42,05628-0,072020,042223-0,068410,06862-0,042780,0006880,04166-0,068190,06883-0,043330,001376
416757,82,151080,788411-0,75044-0,460160,468270,747301-0,01005-0,75346-0,451970,476320,74403-0,02009
520947,32,048811,607935-0,00512-0,01024-0,0153-0,02049-0,02561-0,03073-0,03585-0,04097-0,04609-0,05121
i

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

B9

B10

00000000000
1-0,01220,031820,0319-0,0121-0,0394-0,01230,031750,03197-0,012-0,0394
20,723026-0,27426-0,279680,726367-0,894520,719656-0,26883-0,285080,729678-0,89447
30,058349-0,02252-0,021860,057943-0,072020,05875-0,02317-0,021210,057532-0,07201
40,241721-0,64019-0,634280,2512630,7883470,23214-0,646-0,628260,2607630,788155
51,6079271,6079031,6078621,6078051,6077321,6076421,6075361,6074131,6072751,60712
AnBnCnFn

-1,27749

2,618833

2,913808

1,116948

0,28946

0,702756

0,760035

-1,18008

-0,30507

0,70394

0,767204

1,161849

1,243611

2,631307

2,910385

-1,12929

-0,02914

1,390168

1,390474

1,549838

-1,31124

2,605878

2,91718

1,104605

0,273895

0,701282

0,752871

-1,19845

-0,32073

0,704832

0,774375

1,143753

1,209595

2,643297

2,906912

-1,14163

-0,05827

1,389429

1,390651

1,528881

Используя полученные данные, строим графики АЧХ и ФЧХ ВЫВОДЫ: Особенности спектральных характеристик периодических сигналов заключаются в следующем: 1 Спектры периодических сигналов графически представляются линейчатым (дискретным) спектром. 2 Спектральные линии в периодических сигналах находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, то есть частоты гармоник находятся в простых кратных отношениях. Использование рядов Фурье, при расчете спектральных и временных характеристик периодических сигналов, имеет следующие преимущества : 1 Простое математическое описание 2 Инвариантность к линейчатым описаниям, т.е. если на вход действует гармоническое колебание, то и на выходе будет гармоническое колебание. 3 Как и сигнал гармонические функции являются периодическими и имеют бесконечную длительность 4 Техника генерирования гармонических функций достаточна проста. ЛИТЕРАТУРА: 1. С.И.Баскаков-“Радиотехнические цепи и сигналы” – М.:ВШ, 1988 2. И.С.Гоноровский-“ Радиотехнические цепи и сигналы”- М.:Р. и С.,1986