Каталог :: Математика

Контрольная: Транспортная задача

Уральский социально-экономический институт
                  Академии труда и социальных отношений                  
     

Кафедра высшей математики и информатики

Контрольная работа №4 по математике

№ зачетной книжки: 020771

№ варианта: 71

Форма обучения: заочная

Специальность: Менеджмент организации

Курс: 2

Группа: МЗ-202

Выполнила: Иванова Лилия Анатольевна

Номера задач по варианту

133
Зачтено
Челябинск 2004 Задача 1 Предприятие предполагает выпускать два вида продукции А1 и А2 , для производства которых используется сырье трех видов. Производство обеспечено сырьем каждого вида в количествах: b1, b2, b 3 кг. На изготовление единицы изделия А1 требуется затратить сырья каждого вида а1I, а2I, а 3I кг, соответственно, а для единицы изделия А2 - а12, а22, а32 кг. Прибыль от реализации единицы изделия А1 составляет с1 д. ед., для единицы изделия A2 - с2 д. ед. Требуется составить план производства изделий А1 и A2, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия от реализации готовой продукции. Необходимо: - решить задачу симплекс-методом; - сформулировать двойственную задачу и найти ее решение; - определить интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности; - оценить стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину Db1, Db2 и Db3 кг, соответственно, а также найти новый оптимальный план; - решить исходную задачу геометрически. Подпись:                                                                                                             
Вид сырья Продукция Ограничения
по сырью Изменения запасов
 А1 А2 
1-й 2 5 432 113
2-й 3 4 424 37
3-й 5 3 532 -100
Прибыль     34    50 

Задание 1 Запишем задачу линейного программирования для данной задачи: , , , (1) , . В задаче (1) переменные - количество единиц продукции вида A и B. Приведем задачу (1) к каноническому виду. Для этого преобразуем все ограничения из неравенств в равенства (путем введения дополнительных переменных) и заменим задачу максимизации на задачу минимизации. Имеем: , , , (2) , . Составим 1-ю симплекс-таблицу Таблица 1

Свободные

переменные

Базисные

переменные

Свободный

член

x1

x2

x3

43225

x4

42434

x5

53253

Fmin

03450
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 34. Первый столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 532/5. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x5 и столбца свободной переменной x1. Меняем местами переменные x5 и x1 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника. Таблица 2

Свободные

переменные

Базисные

переменные

Свободный

член

x5

x2

x3

1096/5-2/519/5

x4

524/5-3/511/5

x1

532/51/53/5

Fmin

-18088/5-34/5148/5
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 148/5. Второй столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 524/11. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x4 и столбца свободной переменной x2. Меняем местами переменные x4 и x2 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника. Таблица 3

Свободные

переменные

Базисные

переменные

Свободный

член

x5

x4

x3

420/117/11-19/11

x2

524/11-3/115/11

x1

856/114/11-3/11

Fmin

-55304/1114/11-148/11
Разыскиваем в последней строке наименьший положительный элемент, он равен 14/11. Второй столбец коэффициентов будет разрешающим. Определим отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Минимальное симплекс-отношение равно 60. Разрешающий элемент находится на пересечении строки базисной переменной x3 и столбца свободной переменной x5. Меняем местами переменные x3 и x5 и переходим к следующей симплекс-таблице, используя правило прямоугольника. Таблица 4

Свободные

переменные

Базисные

переменные

Свободный

член

x3

x4

x5

6011/7-19/7

x2

643/7-2/7

x1

56-4/75/7

Fmin

-5104-2-10
В последней строке нет положительных элементов, следовательно, оптимальное решение найдено: Fmax = -Fmin = 5104; X = (56; 64; 0; 0; 60). Задание 2 Теоремы двойственности. Первая (основная) теорема двойственности. Если одна из взаимно двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая, причем оптимальные значения их целевых линейных функций равны: или . Если целевая линейная функция одной из задач не ограничена, то условия другой задачи противоречивы. Вторая теорема двойственности. Компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных целевой функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения. Двойственная задача линейного программирования для исходной задачи (1) имеет вид . Согласно теоремам двойственности ее решением будет вектор (2, 10, 0). При этом . Задание 3 Интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменению сырья каждого вида в отдельности имеют вид:
ПеременнаяТеневая ценаПолученный расход сырьяОграничение по сырьюДопустимое увеличениеДопустимое уменьшение

Y1

24324329838,1818

Y2

1042442422,105378,4

Y3

0472532Не ограничено60
Таблица 5 Задание 4 Оценим стоимость готовой продукции, если запасы сырья каждого вида на производстве изменились на величину Db1 = 113, Db2 = 27 и Db3 = -100, соответственно, и найдем новый оптимальный план. Новая задача линейного программирования имеет вид: , , , (3) , . X = (17,857; 101,857; 0; 0; 37,143). При этом оптимальном плане стоимость готовой продукции равна Fmax = -Fmin = 5700, Т.е. при максимальная стоимость продукции выросла на 5700 – 5104 = 596 ед. Задание 5 Решим исходную задачу (1) геометрически. Построим в системе координат X1OX2 построим три прямых, соответствующих трем ограничениям исходной задачи: - ограничение (1), - ограничение (2), - ограничение (3). Построим область допустимых значений:

x1

0216

x2

86,40

x1

0141,33

x2

1060

x1

0116,4

x2

1940
Области допустимых значений для всех трех ограничений лежат ниже данных прямых, выше оси O X1 и правее оси OX2. Вектор направления наибольшего возрастания целевой функции Fmax равен (34, 50). Линии уровня перпендикулярны вектору , одна из них приведена на рисунке. Перемещая линию уровня по направлению , находим наиболее удаленную от начала координат точку. Из графика видно, что эта точка X является пересечением прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2). Ее координаты найдем, решив систему линейных уравнений: (4) Решением системы (4) является точка с координатами . Ответ: ден.ед.

X

U

1

2

3

C

Задача № 33 На три базы: А1, А2, А3 поступил однородный груз в количествах: а1, а2, а 3, соответственно. Груз требуется перевезти в пять пунктов: b1 в пункт В1, b2 в пункт В2, b3 в пункт В3, b4 в пункт В4, b5 в пункт В5. Спланировать перевозки так, чтобы общая их стоимость была минимальной. Матрица тарифов cij перевозок между пунктами отправления (базами) и пунктами назначения, а также запасы ai и потребности bj задаются ниже для каждого номера задачи в соответствии с таблицами 1, 2. Таблица 1 Подпись: Пункт отправления В1 В2 В3 B4 В5 Запасы, аi (тонн)
А1 с11 c12 c13 c14 c15 а1
А2 c21 c22 c23 c24 c25 a2
А3 c31 c32 c33 c34 c35 a3
Потребности, bj (тонн) b1 b2 b3 b4 b5 Sаi = Sbj

Таблица 2

В1

В2

В3

В4

В5

аi

33

А1

1481753

120

А2

21107116

180

А3

35849

230

bj

70

120

105

125

110

530

Решение

Имеем транспортную задачу закрытого типа. Математическая модель этой задачи имеет вид: , при ограничениях , , . Определим теперь базисный план (допустимое опорное решение) транспортной задачи закрытого типа. Используем метод наименьшей стоимости. Запишем исходную таблицу. Таблица 3

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

1481753120

А2

21107116180

А3

35849230

Потребности, bj

70120105125110
Ищем в таблице 3 минимальную стоимость – это ячейки (1,5) и (3,1), т.е. 1-я строка и 5-й столбец и 3-я строка и 1-й столбец. Возьмем, для определенности ячейку (1,5). Определяем минимум из запасов в 1-й строке и потребностей в 5-м столбце. Он равен 110. Записываем в скобках в ячейку (1,5) 110 и вычеркиваем 1-й столбец, а запасы 1-й строки уменьшаем на 110 единиц, т.е. 120 - 110 = 10 ед. Таблица 4

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

148175(110)3120,10

А2

21107116180

А3

35849230

Потребности, bj

70120105125110,0
Ищем в таблице 4 минимальную стоимость – это ячейка (3,1), т.е. 3-я строка и 1-й столбец. Определяем минимум из запасов в 3-й строке и потребностей в 1-м столбце. Он равен 70. Записываем в скобках в ячейку (3,1) 70 и вычеркиваем 1- й столбец, а запасы 3-й строки уменьшаем на 70 единиц, т.е. 230 - 70 = 160 ед. Таблица 5

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

148175(110)3120,10

А2

21107116180

А3

(70)35849230,160

Потребности, bj

70,0120105125110,0
Ищем в таблице 5 минимальную стоимость – это ячейка (3,4), т.е. 3-я строка и 4-й столбец. Определяем минимум из запасов в 3-й строке и потребностей в 4-м столбце. Он равен 125. Записываем в скобках в ячейку (3,4) 125 и вычеркиваем 4-й столбец, а запасы 3-й строки уменьшаем на 125 единиц, т.е. 160 - 125 = 35 ед. Таблица 6

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

148175(110)3120,10

А2

21107116180

А3

(70)358(125)49230,160,35

Потребности, bj

70,0120105125,0110,0
Ищем в таблице 6 минимальную стоимость – это ячейка (3,2), т.е. 3-я строка и 2-й столбец. Определяем минимум из запасов в 3-й строке и потребностей во 2-м столбце. Он равен 35. Записываем в скобках в ячейку (3,2) 35 и вычеркиваем 3- ю строку, а запасы 2-го столбца уменьшаем на 35 единиц, т.е. 120 - 35 = 85 ед. Таблица 7

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

148175(110)3120,10

А2

21107116180

А3

(70)3(35)58(125)49230,160,35,0

Потребности, bj

70,0120,85105125,0110,0
Ищем в таблице 7 минимальную стоимость – это ячейка (2,3), т.е. 2-я строка и 3-й столбец. Определяем минимум из запасов во 2-й строке и потребностей в 3-м столбце. Он равен 105. Записываем в скобках в ячейку (2,3) 105 и вычеркиваем 3-й столбец, а запасы 2-й строки уменьшаем на 105 единиц, т.е. 180 - 105 = 75 ед. Таблица 8

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

148175(110)3120,10

А2

2110(105)7116180,75

А3

(70)3(35)58(125)49230,160,35,0

Потребности, bj

70,0120,85105,0125,0110,0
Вычеркиваем далее 2-й столбец и записываем в ячейку (1,2) 10, а в ячейку (2,2) 75. В результате все запасы и потребности полностью израсходованы. Таблица 9

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

14(10)8175(110)3120,10,0

А2

21(75)10(105)7116180,75,0

А3

(70)3(35)58(125)49230,160,35,0

Потребности, bj

70,0120,85,0105,0125,0110,0
Таким образом, получен базисный план транспортной задачи закрытого типа: . Проверим найденный базисный план на оптимальность методом потенциалов. Запишем транспортную таблицу с опорным решением. Таблица 10

B1

B2

B3

B4

B5

Запасы, ai

А1

14(10)8175(110)3120

А2

21(75)10(105)7116180

А3

(70)3(35)58(125)49230

Потребности, bj

70120105125110
В методе потенциалов каждой i-й строке и j-му столбцу транспортной таблицы ставятся в соответствие числа (потенциалы) ui и vj. Для каждой базисной переменной xij потенциалы удовлетворяют уравнению: ui + vj = cij. В рассматриваемой задаче имеем 8 неизвестных переменных (потенциалов) и 7 уравнений, соответствующих семи базисным переменным. Чтобы найти значения потенциалов из системы уравнений для базисных переменных присвоим одному из потенциалов произвольное значение, и затем последовательно вычислим значения остальных потенциалов. Возьмем для определенности u1 = 0. Имеем таблицу: Таблица 11
Базисные переменныеУравнения относительно потенциаловРешение

x12

u1 + v2 = 8

u1 = 0 Þ v2 = 8

x15

u1 + v5 = 3

u1 = 0 Þ v5 = 3

x22

u2 + v2 = 10

v2 = 8 Þ u2 = 2

x23

u2 + v3 = 7

u2 = 2 Þ v3 = 5

x31

u3 + v1 = 3

u3 = -3 Þ v1 = 0

x32

u3 + v2 = 5

v2 = 8 Þ u3 = -3

x34

u3 + v4 = 4

u3 = -3Þ v4 = 7

Далее, используя вычисленные значения потенциалов, для каждой свободной переменной вычислим величины ui + vj - cij. Результаты приведены в таблице 12. Таблица 12
Свободные переменные

Значения ui + vj - cij

x11

u1 + v1 - c11 = 0 + 0 - 14 = -14

x13

u1 + v3 - c13 = 0 + 3 - 17 = -14

x14

u1 + v4 - c14 = 0 + 7 - 5 = 2

x21

u2 + v1 - c21 = 2 + 0 - 21 = -19

x24

u2 + v4 - c24 = 2 + 7 - 11 = -2

x25

u2 + v5 - c25 = 2 + 3 - 6 = -1

x33

u3 + v3 - c33 = -3 + 5 - 8 = -6

x35

u3 + v5 - c35 = -3 + 5 - 9 = -7

Т.к. получили положительное значение ui + vj - cij, то полученное решение не является оптимальным. Введем в базис ту свободную переменную, у которой значение ui + vj - cij является положительным. Это – переменная x14. Строим для нее цикл из четного числа переменных, все вершины которого (кроме самой этой переменной) находятся в занятых клетках. Около свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляем знаки (-) и (+):
(10)(-)(+)(110)
(75)(105)
(70)(35)(+)(125)(-)
У вершин со знаком (-) выбираем минимальный груз, он равен 10. Прибавляем его к грузам, стоящим у положительных вершин, и отнимаем от грузов, стоящих у отрицательных вершин. Получаем новый цикл:
(10)(110)
(75)(105)
(70)(45)(115)
В результате имеем новое опорное решение: . Проверим полученное решение на оптимальность. Определим потенциалы строк и столбцов, считаем, для определенности u1 = 0. Имеем таблицу: Таблица 13
Базисные переменныеУравнения относительно потенциаловРешение

x14

u1 + v4 = 5

u1 = 0 Þ v4 = 5

x15

u1 + v5 = 3

u1 = 0 Þ v5 = 3

x22

u2 + v2 = 10

u2 = 4 Þ v2 = 6

x23

u2 + v3 = 7

v5 = 3 Þ u2 = 4

x31

u3 + v1 = 3

u3 = -1 Þ v1 = 4

x32

u3 + v2 = 5

v2 = 6 Þ u3 = -1

x34

u3 + v4 = 4

u3 = -1Þ v4 = 5

Далее, используя вычисленные значения потенциалов, для каждой свободной переменной вычислим величины ui + vj - cij. Результаты приведены в таблице 14. Таблица 14
Свободные переменные

Значения ui + vj - cij

x11

u1 + v1 - c11 = 0 + 4 - 14 = -10

x12

u1 + v2 - c12 = 0 + 4 - 8 = -4

x13

u1 + v3 - c13 = 0 + 5 - 17 = -12

x21

u2 + v1 - c21 = 3 + 4 - 21 = -14

x24

u2 + v4 - c24 = 3 + 6 - 11 = -2

x25

u2 + v5 - c25 = 3 + 5 - 6 = 2

x33

u3 + v3 - c33 = -1 + 4 - 8 = -5

x35

u3 + v5 - c35 = -1 + 3 - 9 = -7

Т.к. получили положительное значение ui + vj - cij, то полученное решение не является оптимальным. Введем в базис ту свободную переменную, у которой значение ui + vj - cij является положительным. Это – переменная x24. Строим для нее цикл из четного числа переменных, все вершины которого (кроме самой этой переменной) находятся в занятых клетках. Около свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляем знаки (-) и (+):
(10)(110)
(75)(-)(105)(+)
(70)(45)(+)(115)(-)
У вершин со знаком (-) выбираем минимальный груз, он равен 75. Прибавляем его к грузам, стоящим у положительных вершин, и отнимаем от грузов, стоящих у отрицательных вершин. Получаем новый цикл:
(10)(110)
(105)(75)
(70)(120)(40)
В результате имеем новое опорное решение: . Проверим полученное решение на оптимальность. Определим потенциалы строк и столбцов, считаем, для определенности u1 = 0. Имеем таблицу: Таблица 15
Базисные переменныеУравнения относительно потенциаловРешение

x14

u1 + v4 = 5

u1 = 0 Þ v4 = 5

x15

u1 + v5 = 3

u1 = 0 Þ v5 = 3

x23

u2 + v3 = 7

u2 = 6 Þ v3 = 1

x24

u2 + v4 = 11

v4 = 5 Þ u2 = 6

x31

u3 + v1 = 3

u3 = -1 Þ v1 = 4

x32

u3 + v2 = 5

u3 = -1 Þ v2 = 6

x34

u3 + v4 = 4

v4 = 5 Þ u3 = -1

Далее, используя вычисленные значения потенциалов, для каждой свободной переменной вычислим величины ui + vj - cij. Результаты приведены в таблице 14. Таблица 16
Свободные переменные

Значения ui + vj - cij

x11

u1 + v1 - c11 = 0 + 4 - 14 = -10

x12

u1 + v2 - c12 = 0 + 6 - 8 = -2

x13

u1 + v3 - c13 = 0 + 1 - 17 = -16

x21

u2 + v1 - c21 = 6 + 4 - 21 = -11

x22

u2 + v2 - c22 = 6 + 6 - 10 = 2

x25

u2 + v5 - c25 = 6 + 3 - 6 = 3

x33

u3 + v3 - c33 = -1 + 1 - 8 = -8

x35

u3 + v5 - c35 = -1 + 3 - 9 = -7

Т.к. получили несколько положительных значений ui + v j - cij, то полученное решение не является оптимальным. Введем в базис ту свободную переменную, у которой значение u i + vj - cij является максимальным. Это – переменная x25. Строим для нее цикл из четного числа переменных, все вершины которого (кроме самой этой переменной) находятся в занятых клетках. Около свободной клетки цикла ставится знак (+), затем поочередно проставляем знаки (-) и (+):
(10)(+)(110)(-)
(105)(75)(-)(+)
(70)(120)(40)
У вершин со знаком (-) выбираем минимальный груз, он равен 75. Прибавляем его к грузам, стоящим у положительных вершин, и отнимаем от грузов, стоящих у отрицательных вершин. Получаем новый цикл:
(85)(35)
(105)(75)
(70)(120)(40)
В результате имеем новое опорное решение: . Проверим полученное решение на оптимальность. Определим потенциалы строк и столбцов, считаем, для определенности u1 = 0. Имеем таблицу: Таблица 17
Базисные переменныеУравнения относительно потенциаловРешение

x14

u1 + v4 = 5

u1 = 0 Þ v4 = 5

x15

u1 + v5 = 3

u1 = 0 Þ v5 = 3

x23

u2 + v3 = 7

u2 = 3 Þ v3 = 4

x25

u2 + v5 = 6

v5 = 3 Þ u2 = 3

x31

u3 + v1 = 3

u3 = -1 Þ v1 = 4

x32

u3 + v2 = 5

u3 = -1 Þ v2 = 6

x34

u3 + v4 = 4

v4 = 5 Þ u3 = -1

Далее, используя вычисленные значения потенциалов, для каждой свободной переменной вычислим величины ui + vj - cij. Результаты приведены в таблице 14. Таблица 18
Свободные переменные

Значения ui + vj - cij

x11

u1 + v1 - c11 = 0 + 4 - 14 = -10

x12

u1 + v2 - c12 = 0 + 6 - 8 = -2

x13

u1 + v3 - c13 = 0 + 4 - 17 = -13

x21

u2 + v1 - c21 = 3 + 4 - 21 = -14

x22

u2 + v2 - c22 = 3 + 6 - 10 = -1

x24

u2 + v4 - c24 = 3 + 5 - 11 = -3

x33

u3 + v3 - c33 = -1 + 4 - 8 = -5

x35

u3 + v5 - c35 = -1 + 3 - 9 = -7

Т.к. все среди значений ui + vj - cij нет положительных, то полученное решение является оптимальным. Минимальные транспортные издержки при этом составят: Список литературы 1. Дыхнов А.Е., Дягелец И.Д., Тумашев В.И. Математические методы исследования экономики. Часть I. Оптимальное программирование. – Челябинск, УрСЭИ АТиСО, 1999. 2. Ларионов А.И., Юрченко Т.И., Новоселов А.Л. Экономико-математические методы в планировании. – М.: Высшая школа, 1991. 3. Исследование операций в экономике/ Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. 4. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. – М.: Экзамен, 2003. 5. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2001.