Каталог :: Математика

Контрольная: Ряды

                    Фун 2 числовых аргументов.                    
Пусть имеется Е (х11) – элементы принадлеж точке Е
Сущ закон или правило по которому каж точке (xi;yi)
ставится в соот-е число Wi или любой точке (xi;yi
) или паре чисел ставится в соот-е zi след-но zi=F(х;у),
где Е-обл опред-я F(х;у).
Если рассмот-ть точку (хii) и нашли соот-е значения zi=F(хii).
Пусть точка (х00)ÎЕ дельта окрест-ю точки (х00) наз множество точек (х;у) удовлетвор-х нерав-у
Ö[(х-х0)+(y-y0)] <d.
Точка (х00) наз внутренней точкой множества Е, 
если сущ-ет некоторая окрест этой точки, которая вместе с точкой Î этому
множеству.
Точка (х00) наз граничной точкой множ-ва Е, если
в любой ее окрест-и сущ точка кроме самой этой точки, которая Î множ Е.
Совокупность всех граничных точек множ-а Е наз границей множ-а Е.
Множ-во, все точки которого внутренние, наз открытыми, т.е. безграничным.
Точка (х00)Î множ-ву Е наз изолированной
точкой, если сущ-ет окрест этой точки в которой кроме этой точки нет ни
одной точки из множества Е.
                         Фун 2 переменных.                         
     Опр: Если каж паре (х;у) значений 2, не завис др от друга, переменных
величин х и у, из некоторой обл их знач-я D, соот-ет опр-е знач-е величины z,
то мы говорим, что z есть фун 2 независимых пременных х и у, определ-ся
в обл D.
     Геом. Смысл: Геометрическое место точек Р, коор-ты которых удовлет-т ур-ю
z=f(х;у), где коор-ы точки Р х и у, z=f(х;у), наз графиком фун 2
переменных. Графиком фун 2 переменных яв-ся поверхность, проектирующая на
плоскость Оху в обл опред-я фун. Каж перпендик-р к плоскости Оху пересекает
поверхность z=f(х;у) не более чем в одной точке. Фун z=f(х;у) опред-ся в обл G.
     
y
P
x
Обл опред-я фун 2 переменных – это совокупность пар (х;у) значений х и у при котором определяется фун-я z=f(х;у). Совокупность точек на плоскости также наз-ся обл определения. Предел фун 2 переменных. Опр: Число А наз пределом фун z=f(х;у)при х®х0, у®у 0, М(х;у)®М0. limх®х0 (у ®у0)f(х;у)=A Если для любого e>0 сущ-ет d окрест-ть точки (х00) такая, что при всех (х;у)Îd окрест-ти будет выполн нерав-во Ö[(х-х 0)2+(y-y0)2] <d. êА-f(х;у)ê<e, A-e<f(х;у)<A+e. Основные теоремы о пределах: 1)lim Xn=a, lim Yn=b => lim (Xn±Yn)=a±b (n®¥) Док-во: lim Xn=a => Xn=a+an; lim Yn=b => Yn=b+bn; Xn ± Yn = (a + an) ± (b + bn) = (a ± b) + (a n± bn) => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥). 2)limXnYn = lim Xn * lim Yn (n®¥). 3)lim Xn=a, lim Yn=b (n®¥) => lim Xn/Yn = (lim Xn)/(lim Yn) = a/b. Док-во: Xn/Yn – a/b = (a+an)/(b+bn ) – a/b = (ab+anb–ab–abn)/b(b+bn) =(ban -abn)/b(b+bn)=gn => Xn/Yn=a/b+gn => $ lim Xn/Yn = a/b = (lim Xn)/(lim Yn) (n®¥). Все св-ва и правила вычисл-я такие же как для 1 переменной. Непрерывность фун в точке. Опр: Пусть точка М000) Î обл опр-я фун-и f(х;у). Фун-я z=f(х;у) наз непрерывной в точке М000), если имеет место равенство limх ®х0(у®у0)f(х;у)=f(х00 ) или limDх®0(D у®0)f(х0+Dх;у0+Dу)= f(х00), где х=х0+Dх и у=у0+Dу, причем точка М(х;у) стремиться к точке М000) произвольным образом, оставаясь в области определения фун-и. Условия:1)f(х;у) – опред ф-ия; 2) Сущ-ют конечные пределы со всех сторон; 3)Эти пределы равны между собой; 4)Конечные пределы со всех сторон =f(x00). Если (х00) точка разрыва и выполняется условие 2, то (х00)–1 род. Если (х00)–1 род и выполняется условие 3, то разрыв устранимый. Если (х00) точка разрыва и не выполняется условие 2, то (х00) – 2 рода. Св-ва непрерывности в точке: 1)Если фун f1(х;у) и f2 (х;у) непрерывны в точке (х00), то сумма (разность) f(х;у)=f1(х;у)±f2(х;у), произведение f(х;у)=f1 (х;у)*f2(х;у), а также отношение этих функций f(х;у)=f1 (х;у)/f2(х;у), есть непрер-я фун в точке х00. Док-во (суммы): По определению получаем, что limх® х0(у®у0)f1(х;у)=f100), limх®х0(у®у0) f2(х;у)=f200) на основании св-ва: limXn=a, limYn=b => lim(Xn±Yn)=a±b (n®¥), можем написать: lim х®х0(у®у0)f(х;у)=limх ®х0(у®у0)[f1(х;у)+f2 (х;у)]= =limх®х0(у®у0)f1(х;у)+limх®х0(у®у0)f2(х;у)= =f100)+f200 )=f(х00). Итак сумма есть непрерывная функция.· 2)Всякая непрерывная фун непрерывна в каждой точке, в которой она определена. 3) Если фун z=j(m) непрерывна в точке m=х00, а фун y=f(z) непрерывна в соот-й точке z0=j(х00), то фун y=f(j(х;у)) непрер-а в точке (х00). Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в), где а<в, то говорят, что фун непреывна на этом интервале. Если фун непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,в) и непрерывна на концах интервала, то говорят, что f(x;у) непрерывна на замкнутом интервале или отрезке (а,в). Точки разрыва. Если в некоторой точке N(х00) не выполняется условие lim х®х0(у®у0)f(х;у)= f(х00), то точка N(х00) наз точкой разрыва фун z=f(х;у). Условие limDх®0(Dу ®0)f(х0+Dх;у0+Dу)=f(х00 ) может не выпол-ся в след-х случаях: 1)z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00), за исключением самой точки N(х00); 2)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х00), но не сущ-ет предела limх®х0(у®у0) f(х;у); 3)фун z=f(х;у) определена во всех точках некоторой окрестности точки N(х 00) и сущ-ет предел limх®х0(у ®у0)f(х;у), но limх®х0(у® у0)f(х;у)¹f(х00). Классификация точек разрыва: Если (х00) точка разрыва и сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00) – 1 род. Если (х00) – 1 род, сущ-ют конечные пределы со всех сторон и эти пределы равны между собой, то разрыв устранимый. Если (х00) точка разрыва и не сущ-ют конечные пределы со всех сторон, то (х00) – 2 рода. Непрерывность фун нескольких (или 2) переменных в замкнутой области. Опр: Фун-я, непрерывная в каж точке некоторой замкнутой области, наз непрерывной в этой замкнутой области. Св-ва: 1)Если фун f(x;y.) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в обл D найдется по крайней мере одна точка N(х 00.) такая, что для всех др точек обл будет выплн-ся соот-е f(х00.)³f(х;у) и по крайней мере одна точка `N(`х 0;`у0.) такая, что для всех др точек обл будет выпол соот-е f(`х0;`у0.)£f(х;у.). Фориулируется так: Непрерывная фун в замкнутой огранич обл D достигает по крайней мере один раз наиболь значения М и наимень значения m. 2)Если фун f(x;y.) непрерывна в замкнутой и ограниченной обл D и если M и m – наиб и наим значения фун f(x;y.) в обл, то для любого числа m, удовл усл m<m<М, найдется в обл такая точка N*(x*;y*.), что будет выполн рав-во f(x* 0;y*0.)=m. Следствие из св2: Если фун f(x;y.) непрерывна в замкнутой огран обл и принимает как положит, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция f(x;y.) обращается в нуль. Частное приращ-е, произв-ные, диф-лы фун-и. Пусть имеем функцию z=f(х;у). Дадим независимой переменной х приращение ∆х, тогда z получит приращение, кот. наз. частным приращением z по x. xz=f(x+∆x,y)-f(x,y) Аналогично частное приращение по y yz=f(x,y+∆y)-f(x,y). Частные производные. Опр: Частной производной по x от функции z=f(x,y) наз. предел отношения частного приращения ∆xz к приращ-ю ∆x при ∆x®0. ∂z/∂x=lim(∆x®0) xz/∆x=lim(∆x®0) (f(x+∆x,y)-f(x,y))/∆x. Аналогично частная производная по y. ∂z/∂y=lim(∆y®0) yz/∆y=lim(∆y®0) (f(x,y+∆y)-f(x,y))/∆y. Част диф-л фун: dxz(x;y)=[(¶z/¶x)*Dx] и dуz(x;y)=[(¶z/¶у)*Dу]. Полное приращ-е, полный диф-л. Диф-ть фун. Пусть имеем функцию z=f(х;у). Сообщив аргументу x приращение ∆x, а аргументу y приращение ∆y, получим для z новое приращение ∆z , кот наз. полным приращением. ∆z=f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y). Полный дифференциал: Если фун z=f(x;y) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она диф-ма в этой точке и имеет полный диф-л dz=(∂f/∂x)*∆x+(∂f/∂y)*∆y. Дифференцируемость ф-и: Ф-я z=f(x,y) наз. дифференцируемой в т. (x 0,y0), если её полное приращение ∆z можно представить в виде суммы 2 слагаемых ∆z=(A*∆x+B*∆y)+0(r), где r=Ö(∆x2+∆y2), т.е. lim(D х®0,Dу®0, r®0)0(r)/r=0 бесконечная величина более высокого порядка малости, чем r. (A*∆x+B*∆y) линейное относительно ∆x ,∆y. Полный диф-л в приближенных вычислениях: f(x+∆x0 ,y+∆y)»f(x,y)+[¶f(x,y)/¶x]*Dx+[¶f(x,y)/¶y]*Dy. Необходимое усл диф-ти: Если z=f(x,y) диффер-ема в т.(x0 ,y0), то сущ. конечные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y) при x=x0, y=y0. A=∂z(х00)/∂x; B=∂z(х0 0)/∂y. Достаточное усл диф-ти: Если функция z=f(x,y) в т.(x0,y 0) и в нек. окресности непрерывна и имеет непрерывные частные производные (∂z/∂х;∂z/∂y), то ф-ия диф-ма. Производные высших порядков. ∂z/∂x=φ(x,y); ∂z/∂y=φ(x,y); Вторая производная: ∂φ/∂x=∂2z/∂x2;z ``xx здесь фун диф-я посл-но 2раза по х; ∂φ/∂y=∂z/∂x∂y; z``xy; ∂φ/∂x=∂z/∂y∂x;z``yx; ∂φ/∂y=∂2z/∂y2; z`` yy; Третья производная: ∂3z/∂x3; ∂3 z/∂x2∂y; ∂3z/∂x∂y¶х; ∂ 3z/∂y∂x2; ∂3 z/∂y∂x∂y; ∂3z/∂y2∂x; ∂3z/∂y3. Производная сложной ф-ии. z=f(u,v)=F(x;y), u=j(х;у) и v=y(х;у). Если ф-ия f диф-ма по u и v, а u и v диф-ы по x и y, то выполняется след равенство ¶ z/¶x=(∂z/∂u)(¶u/¶x)+(∂z/∂v)(¶v/¶x); ¶ z/¶y=(∂z/∂u)(¶u/¶y)+(∂z/∂v)(¶v/¶y). z=f(x;u;v)=F(x)

Полная производная по х:

dz/dx=¶z/¶x+(∂z/∂u)(du/dx)+(∂z/∂v)(dv/dx);

Полная производная по у:

dz/dу=¶z/¶у+(∂z/∂u)(du/dу)+(∂z/∂v)(dv/dу); Экстремумы фун 2 переменных. Ф-ия z=f(x,y) имеет максимум (минимум) в точке M0(x0 ,y0), если f(x0,y0)> f(x,y) {f(x0 ,y0)<f(x,y)} для всех точек (x,y) достаточно близких к точке (x 0,y0) и отличных от неё. Определение max и min при предположении, что х=х0+Dх и у=у0+Dу, тогда f(x;y)-f(x0;y0)=f(х0+Dх;у0+Dу)-f(x 0;y0)=Df. 1)Если Df<0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает max в точке М0 00); 2)Если Df>0 при всех достаточно малых приращениях независимых переменных, то фун f(x;y) достигает min в точке М0 00); Необходимое усл экстремум: Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не сущ. Док-во: Действительно, дадим переменному y определённое значение, а именно y=y0. Тогда ф-ия f(x,y0) будет функцией одного переменного x. Т.к. при x=x0 она имеет экстремум, то следовательно (∂z/∂x) при x=x0,y=y0 или равно нулю или не сущ. Аналогично доказ, что (∂z/∂у) при x=x0, y=y0 или равно нулю или не сущ. Достаточное усл экстемум: Пусть в нек. Области, содержащей т.M(x0 ,y0), функция f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно, пусть, кроме того т.M(x0,y0 ) является критической точкой функции f(x,y) т.е. ∂f(x0,y0 )/∂x=0, ∂f(x0,y0)/∂y=0. Тогда при x=x0, y=y0: 1)f(x,y) имеет максимум, если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0 ,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x 0,y0)/¶x2<0 2)f(x,y) имеет максимум, если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0 ,y0)/∂x∂y)2>0 и ∂2f(x 0,y0)/¶x2>0 3)f(x,y) не имеет ни макс. ни мин. ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂2 f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x0,y0)/∂x∂y)2<0 4)Если ∂2f(x0,y0)/¶x2*∂ 2f(x0,y0)/¶y2-(∂2f(x 0,y0)/∂x∂y)2=0, то экстремум может быть, а может и не быть. Неявнозаданная функция и нахождение ее производной. Задана фун F(x,y,z)=0 наз заданная неявно, если существует z=j (x,y) в некоторой области D что при подстановке получаем тождественно нуль. F(x,y,z)º0. Продифф. по x: F(x,y,z)º0, F¢ x=0, ¶F/¶x+(¶F/¶z)*(¶z/¶x) ¶z/¶x=--[(¶F/¶x)/(¶F/¶z)]; Продифф. аналогично по у ¶z/¶y=--[(¶F/¶y)/(¶F/¶z)] Двойной интеграл. Рассмотрим в плоскости ОХУ замкнутую область D ограниченную линией L. Пусть в области D задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем D на n частей(DS1 ,DS2,DS3.DSn). На каждой площадке возьмем по точке Pi (P1,P2,P3.Pn). f(Pi) – значение функции в заданной точке. Возмем сумму произведений вида: f(Pi)DSi. Vn=nå i=1f(Pi)DSi это интегральная сумма для функции f(x,y) по обл D. Опр: Предел limmax di®0n åi=1f(Pi)DSi интегральной суммы nåi=1f(Pi)DSi , если он сущ-ет независимо от способа разбиения обл D на DDi и от выбора точек PiÎDi наз двойным интегралом зад фун z=f(x;y) по обл D. Теорема: Если сущ-ет фун z=f(x;y) непрерывна в заданной обл `D, то сущ-ет предел limmax di®0nåi =1f(Pi)DSi т.е. сущ-ет двойной интеграл для данной фун по данной области. limmax di®0nåi=1f(P i)DSi=óóD f(x;y)dxdy=(или)= =óóD f(x;y)dS/¶ Св-ва: 1)óóD(f1(x,y)+f2(x,y))dxdy=óóDf1(x,y)dxdy+óóDf2(x,y)dxdy 2) ó óDa f(x,y)dxdy=aó óD f(x,y)dxdy. 3) Если область D=D1ÈD2, то ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y). Док-во: Инегральную сумму по обл D можно представить в виде D1 и D2. ó óDf(Pi)DSi=ó ó D1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi )DSi , где превая сумма содержит слагаемые, соот-е площади обл D 1, вторая – соот-е площадкам обл D2. В самом деле, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения, то мы производим разбиение области D так, что общая граница областей D1 и D2 яв-ся границей площадок DSi. Переходя в равенство ó óDf(Pi)DSi=ó óD1f(Pi)DSi +ó óD2f(Pi)DSi к пределу при DSi®0, получаем равенство ó óDf(x,y)=ó óD1f(x,y))+ó óD2f(x,y).· 4) Если фун f(x,y)=1, то ó óD1dxdy=SD 5) Если фун в данной области f(x,y)³(£)0, то интегр от этой фун отриц (полож) не может быть ó óD f(x,y)dxdy³(£)0 6) Если f1(x,y)³f2(x,y), то óóDf1(x,y)dxdy³óóDf2(x,y)dxdy 7)Теорема о среднем: Двукратный интеграл ID от f(x,y) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке P области D. вó а ( j2(x)ó j1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S. Док-во: Из соот-я mS£вóа(j2(x) ój1(x)f(x,y)dy)dx=f(P)*S£MS получаем mS£1/S*ID£MS. Число 1/S*ID заключено между наиболь и наимень знач f(x,y) в области D. В силу непрерывности фун f(x,y) принимает в некоторой точке P обл D принимает значение равное 1/S*I D . Двукратный интеграл Пусть дана область D такая, что любая прямая параллельная одной из осей пересекает эту область в двух точках. Пусть область D ограничена линиями y=f1(x), y=f2(x), y=a, y=b (a<b, f1(x)<f2(x)). Пусть f(x,y) непрерывна в области D. Рассмотрим ID=вóаf2(x)óf1(x)f(x,y)dydx=вóаФ(х)dx -это двукратный интеграл. Вычисление двойного интеграла есть вычисление двукратного интеграла. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах: óóDf(x,y)dxdy=½x=pcosj, y=psinj , I=p½= =óóDf(pcosj;psinj)pdpdj= =j2ój1 dj p2(j)óp1(j)(pcosj ;psinj)pdp. Геометрическое приложение двойного интеграла. 1) Площадь плоской поверхности. óóD f(x,y)dxdy=SD 2) Объем цилиндроидов. z=f(x,y)>0. По определению область D разбивается на элементарные кусочки DDi; выбрать в этих кусочках точку принадлежащую DDi и найти значение функции в этой точке. DVi=f(xi,yi)*DSi. Сумма DVi=nåi=1f(xi,yi)*DSi – это объем фигуры состоящей из элементарных параллелепипедов. Основания параллелепипедов заполняют область D. limmax di®0nåi=1 f(xi,yi)*DSi=VТ если этот предел сущ-ет, то это V тела (цилиндройда).óó f(x,y)dxdy=Vцил 2) Площадь поверхности. Sпов.= óó[Ö1+(dz/dx)2+(dz/dy)2dxdy].

Диф-е ур-я (осн понятия).

Общий вид диф ур F(x;y;y’;у”.уn)=0. Наивысший порядок производ-й в ур-и F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз порядковым ур-ем. Решением ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз любая фун вида у=j(х), которая будучи подставленная в F(x;y;y’;у”.уn)=0 вместе со своими произ-ми обращает в тождество. F(x;j(х);j(х)’;j(х)”. j(х)n)=0. Фун вида у=j(х;С12;.Сn) наз общим решением ур F(x;y;y’;у”.уn)=0, если выполняется: 1) эта фун-я яв-ся решением при любых С12;.Сn; 2) для любых начальных усл х0, у0, у0, у n0 можно найти конкретную совокупность С1 02 03 0;.Сn 0 при которых фун у=j(х;С 1 02 03 0;.Сn 0), что эта фун будет удвл начальному условиям. Соот-е вида j(х;С123;.Сn)=0 полученная при решении ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 наз общим интегралом ур F(x;y;y’;у”.уn)=0 (т.е. решение ур находиться в неявной форме).

Дифф. ур. 1-го порядка

Общий вид F(x;y;y’)=0 Решением данного ур. наз. любая фун.=j(x), кот. обращает ур. в тождество. Опр-е: Фун. y=j(x;C) наз-ся общим решением, если она удов.:1)данная фун. яв-ся реш-м при любых C; 2)при любых x0;y0 можно найти такое C0, что фун. y= j(x,C0) удов. начальным усл-ям. Рав-во вида Ф(x;y;C)=0, неявно задающее общее реш-е, наз-ся общим интегралом дифф. ур-я. Опр: Частным реш-м наз-ся любая фун. y=j(x;C0), кот. получается из общего реш. y=j(x;C), если в последнем произ. постоянному С придать опред. значение С=С0. Соотн. Ф(x;y;C0)=0 наз-ся в этом случае частным интегралом ур. Методы интегрирования диф-я уравнений 1 порядка: 1). Ур-е с разделенными переменными f1(x)y’=f2(y) f1(x)dy=f2(y)dx, dy/f2(y)=dx/f1(x), ∫dy/f2(y)=∫dx/f1(x) 2).Ур-е с разделяющимися переменными f(x;y)y’+j(x;y)=0, f1(x)f2(y)dy+j1(x)j2(y)dx=0 все разделим на j2(y)*f1(x) {f2(y)/j2(y)}dy+{j1(x)/f1(x)}dx=0 ∫{f2(y)/j2(y)}dy+∫{j1(x)/f1(x)}dx=C – общий интеграл 3).Линейные диффер. ур. y’+p(x;y)=Q(x) – общий вид, Если Q(x)º0, то линейное уравнение y’+p(x;y)=0. Методы решений: 1) Метод вариации постоянной; 2)Решение этого ур будем искать как y=U(x)V(x) (диффер-ем) dy/dx=UdV/dx+VdU/dx (подставим) UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q U(dV/dx+PV)+VdU/dx=Q, dV/dx+PV=0, dV/V=-Pdx lnC1+lnV=-∫Pdx V= C1ePdx и подставляем в UdV/dx+VdU/dx+PUV=Q V(x)= e–∫Pdx, где ∫Pdx - какая-нибудь первообразная V(x)dU/dx=Q(x), dU/dx=Q(x)/V(x), U=∫Q(x)/V(x)dx+C, y=V(x) ∫ Q(x)/V(x)dx+CV(x) Уравнения приводящиеся к линейным(Бернулли) y’+P(x)y=Q(x)yn, P(x) и Q(x) – непрерывные фун. от x (или пост.) n¹0,1. Это ур-е наз ур Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием. Разделим на yn с наибольшим значением n, получим (yn)y’+P(yn+1)=Q, Сделаем далее замену z=(yn+1), тогда dz/dx=(-n+1)(y-n)y’. Подставляя эти значения в ур-е (yn)y’+P(yn+1)=Q, будем иметь линейное ур-е dz/dx=(1-n)Pz=(1-n)Q Найдя его общий интеграл и подставив вместо z выражение (yn +1), получим общий инт. ур.Бернулли

Однородные ур-я

Ур-е вида y’=f(x;y) наз-ся однор.ур-ем, если фун. f(x;y) –однородная нулевого измерения или порядок однородности равен 0, т.е. f(tx;ty)=(t0)f(x;y). Фун. f(x;y) наз-ся однор.ур-ем k-го порядка однородности, если вып. усл. f(tx;ty)=(tk)f(x;y); f(tx;ty)=(t0)f(x;y), где k=0; f(tx;ty)=f(x;y), где t=1/x; f[(1/x)*x;(1/y)*x)]=f(1;y/x), обозначим y/x=U(x) след-но y=U(x)x, y’=U’x+U подставим в исходное ур-е U’x+U=f(1;U), U’x+U=j(U) (dU/dx)*x=j(U)-U, dx/x=dU/(j(U)-U), ln|x|=[∫dU/(j(U)-U)] + C Þ вместо U подст. y/x и получим общий инт. Замеч. Однор.ур. может выгл. так M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 если обе фун. M(x;y) и N(x;y) однородные k-го порядка.

Дифф. ур. 2-го порядка

Общий вид дифф. ур.2-го порядка F(x;y;y’;y’’)=0. Решением урав. наз. любая фун.y=j(x), кот. обращает это ур. в тождество F(x;j(x);j’(x);j’’(x))=0 Общим решением наз. ур. вида y=(x;C1;C2), кот. яв-ся 1)реш. при любых знач. C1,C2,Cn; 2)для любых x0,y0,y0’,y0’’ можно найти С10,С20, при кот. заданная фун. y=j(x1; С10;С20) будет удов. заданному нач. ур-ю, т.е. j(x0;С10;С20)=y0 , j’(x0; С10;С20)=y0’

Линейные дифф. ур-я 2-го порядка

Общий вид линейн. диф. ур. 2-го порядка y’’+P(x)y’+q(x)y=f(x). (1) Если f(x)=0 следовательно y’’+P(x)y’+q(x)y=0 (2) – линейное однородное урав. Структура реш. лин. одн.ур.2-го пор. 1)Если 2 реш. ур (2) y1(x) и y2 (x) – линейно-независ, т.е. нельзя одну вырозить через др, т.е. y1(x)/y2(x)¹const, то общим решением ур (2) y=C1y1+C2y2 2) Если известно одно реш. y1, то др. найдем по форм. y2= y1∫[(e –∫P(x)dx)]/(y 12)dx. Общее реш. y=C1y1+C2y2 3) y1 находим подбором. Структура общего реш. неоднородного ур. 1)Общее реш.y(x)=y(-)+y*, где y(-)=C1y1+C2y2 общее реш.(2), y*- нек. частное реш. самого ур. 2)Метод вариации произ. постоянной y*= C1(x)y1+C2(x)y2 3)Для нахождения C1(x) и C2(x) созд. сист. ур-ий. 0 y2 C1’(x)y1+ C2’(x) y2=0 Þ C1’(x)= f(x) y2’ C1’(x)y1’+ C2’(x) y2’=f(x) y1 y2 y1’ y2’ Þ C1(x)=∫(--)/(--)dx y1 0 C2’(x)= y1’ f(x) Þ C2(x)=∫(--)/(--)dx y1 y2 y1’ y2’ Лин. дифф. ур-ия со спец. правой частью. Рассмотрим случай: y’’+py+qy=f(x), p,q – числа. y=c1 y1+c2y2+y*, где y1, y 2 – два лин-но незав. реш. (1) y’’+ py+qy=0 – лин. однород дифф. ур-ие 2ого порядка. y=ekx k2+pk+q=0 – характерист. ур-ие ур-ия (1). Рассмотрим 3 случия: 1. D>0, k1,2=(-p±Ö(p2-4q))/2, k1¹k2 y1=ek1x, y2=ek2x. Т.к. y1/y2¹const, то y=c1 ek1x+c2 ek2x. 2. D=0 k1,2=-p/2 y1=e-px/2, y2=y1∫(e--pdx)/y12dx=e-px/2, y=e-px/2(c1+c2x). 3.Когда корни комплексные, т.е. D<0, k1,2=a±bi, y1 =eaxCosbx, y2=eaxSinbx, y 1/y2¹const, y=eax(c1 Cosbx+c2Sinbx) Неоднородные ур-ия со спец. правой частью. 1. f(x)=Pn(x)eax 1) a - не явл-ся корнем хар. ур-ия y*=(A0xn+A1xn-1 ++...+An)=Qn(x)eax. 3) a - однократный корень y*=xQn(x)eax. 3) a - двукрат. корень y*=x2Qn(x)eax. 2. f(x)=p(x)eaxCosbx+q(x)eaxSinbx 1) a+bi – не корень y*=U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx. 2) a+bi – корень y*=x[U(x)eaxCosbx+V(x)eaxSinbx]. 3. f(x)=MCosbx+NSinbx 1)bi – не корень, y*=ACosbx+BSinbx. 2)bi – корень, y*=x(ACosbx+BSinbx).

РЯДЫ

Числовые ряды. Основные определения. Пусть дана бесконечная послед-ть чисел U1, U2...Un ,... Выражение U1+U2+...+Un+... наз-ся числовым рядом, U1, U2...Un – члены ряда. Сумма конечного числа n первых членов ряда наз-ся n-ой частичной суммой ряда: Sn= U1+U2+...+Un. Если сущ-ет конечный предел limn®¥Sn=S, то этот предел наз суммой ряда. Если предел limn®¥Sn равен ¥ или не сущ-ет, то говорят , что ряд расходится. Если сущ-ет предел limn®¥Sn, то ряд сходится. Некоторые очевидные свойства числовых рядов: 1)Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Док-во: Sn – сумма n первых членов ряда, Ck – сумма k отброшенных членов, Dn-k – сумма членов ряда, входящих в сумму Sn и не входящих в Ck. Тогда имеем: Sn=Ck+Dn-k, где Ck – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limDn-k, то сущ-ет и limSn; если сущ-ет lim Sn, то сущ-ет limD n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы. 2)Теорема 2. Если ряд a1+a2+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca1+ca2+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS. Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через Sn, а ряда (2) – через Dn. Тогда Dn=ca1+...+ca n=c(a1+...+an)=cSn. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к. lim Dn=lim(cSn)=climSn=cS. ч.т.д. 3)Теорема 3. Если ряды a1+a2+...(5) и b1 +b2+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1и S2, то ряды (a1+b1)+(a2+b2 )+...(7) и (a1–b1)+(a2–b2)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S1+S2 и S1–S2. Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через Dn, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S1n и S2n, получим: Dn =(a1+b1)+...+(an+bn)=(a1 +...+an)+(b1+...+bn)=S1n +S2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limDn=lim(S1n+S2n )= limS1n+limS2n=S1n +S2n. Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S1n+S2n. 4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limUn=0 n®¥. Док-во: пусть ряд U1+U2+...+Un +... сходится, т.е. limSn=S n®¥, тогда имеет место равенство limS n-1=S. limSn–limSn-1=0, lim(Sn–Sn-1)=0. Но Sn–Sn-1=Un следов-но lim Un=0 ч.т.д. Достат. призаки сходимости знакоположит. рядов. 1)Признак сравнения. Пусть дан ряд U1+U2+...+U n+...(1), S1n; V1+V2+...+Vn +...(2) S2n; Известно,что Vn³Un при n³N0. 1) если ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится; 2) если ряд (1) расходится, то ряд (2) расходится. Док-во: Из сходимости ряда (2) следует, что $ lim S2 n=S. S1n=U1+U2+...+UN 0+UN0+1+...+Un=SN0 +VN0+1+...+Vn. limS1n =lim(SN0+Dn-N0 )=SN0+D. S1n – возраст. послед-ть, ограниченная числом SN0+D => $ lim S1n =Sn1. 2) Предельный признак сравнения. Если сущ-ет limUn/Vn =L, но L¹0,¥ при n®¥, то ряды ведут себя одинаково. 3) Признак Даламбера. Если $ lim(Un+1 /Un)=L(2) при n®¥, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2) расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотрим число q, удовл. соотнош L<q<1. Из определения предела и соотношения (2) следует, что для всех n, n³ N, будет иметь место нер-во (U n+1/Un)<q (2). Действительно, т.к. величина Un+1/Un стремится к пределу L, то разность м/у этой величиной и числом L м.б.сделана (начиная с некоторого номера N) по абсолютному значению меньше любого положит числа, в частности, меньше, чем q–L, т.е. | Un+1/U n – L|<q–L. из последнего нер-ва и следует нер-во (2’). Записывая нер-во (2) для различных значений n, начиная с номера N, получим UN+1<qUN , UN+2<qUN+1< q2UN Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+Un+1+... (1) UN+qUN+q2UN+... (1 ). Ряд (1) есть геом прогрессия с положит знаменат q<1. Следоват-но, этот ряд сходится. Члены ряда (1), начиная с UN+1 , меньше членов ряда (1), следоват-но, ряд (1) сходится. Ч.т.д. 2) Пусть L>1. тогда из равенства lim(Un+1/Un )=L следует, что, начиная с некот. N, т.е. для n³N, будет иметь место нер-во (Un+1/Un)>1, или Un +1>Un для всех n³N. Но это озн-ет, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю. Значит, ряд расходится. 4)Признак Коши. Если для ряда с положит членами limn ÖUn=L, то: 1) ряд сходится, если L<1; 2)расходится, если L>1. Док-во: 1) пусть L<1. Рассмотр число q, L<q<1. Начиная с некот n=N, будет иметь место соотношение | nÖUn–L|<q–L; осюда следует, что n ÖUn<q или Un<qn для всех n³N. Рассмотрим теперь два ряда: U1+U2+...+UN+U N+1+... (1) и qN+qN+1+qN +2+... (1). Ряд (1) сходится, т.к. его члены обр-ют убыв. геом прогр. Члены ряда (1), начиная с UN, меньше членов ряда (1). Значит, ряд (1) сходится. 2) Пусть L>1. Тогда, начиная с некот номера n=N, будем иметь: nÖUn>1 или Un>1. но если все члены рассматр ряда, начиная с UN , больше 1, то ряд расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю. 5)Интегральный признак сходимости. Имеем ряд ¥å n=1Un, где члены ряда убывают Un>Un+1 >0. Есть фун f(x)>0, хÎ[1;¥] непрерывная и убывающая и такая, что при целых значениях х=n значение фун-и f(n)=Un. Если не собственный интеграл ¥ò1f(x)dx – сходиться, то ряд сходится. Если не собственный интеграл ¥ ò1f(x)dx – расходиться, то ряд расходится.

Знакочередующиеся ряды.

Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны.

Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3. и предел его общего члена при n®¥ равен 0

(Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U 1³S.

Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: S2m=(U1-U2)+(U3-U4 )+.+(U2m-1-U2m). Эта последовательность возрастающая и ограниченная. На основании признака существования придела последовательность S2m имеет предел Limm®¥S2m=S. Переходя к пределу в неравенстве S2m<U1 при m®¥, получим, что U1³S. Рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n= 2m+1. Очевидно, что S2 m+1=S2m+A2m+1 ; Поэтому учитывая необходимый признак сходимости ряда, Lim m® ¥ S2m+1= =Limm®¥ S2m+ Lim m®¥ А2m+1 =S+0=S. Итак, при любом n (четном и нечетном) Lim n® ¥ Sn=S, т.е. ряд сходится. Знакопеременные ряды. Пусть U1+U2+U3..+Un+ знакопеременный ряд (*), в котором любой его член Un может быть как положительным, так и отрицательным. Т.(Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда): Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда (*) и если ряд ¥ån=1½Un½; |U1 |+|U2|+.+|Un|+.(1), сходится и наз абс. сходящимся. Обратное утверж не справедливо. Д: Обозначим Sn+ и Sn- суммы абсолютных величин членов данного ряда (*), входящих со знаком плюс и минус. Тогда частичная сумма данного ряда Sn1=Sn +-Sn- , а ряда составленного из абсолютных величин его членов Sn2= Sn++Sn - . По условию ряд (1) сходится, значит сущ-т конечный предел Limn ®¥Sn2=S. Последовательности S n+ и Sn- являются возрастающими и ограниченными (Sn+ ≤ S Sn- ≤ S ), значит существуют пределы Limn®¥Sn+ и Limn®¥Sn-, и соответственно предел частичной суммы данного ряда Limn®¥Sn1=Lim n®¥Sn+ -Lim n®¥ Sn- , т.е. ряд (*) сходится.· Если ряд |U1|+|U2|+.+|Un|+.сходиться, то ряд U1+U2+U3..+Un+ наз абс. сходящимся. Если ряд U1+U2+U3..+Un+ сходиться, а ряд |U1|+|U2|+.+|Un|+.расходиться, то ряд U 1+U2+U3..+Un+ наз усл. сходящимся. Св-ва абс сход рядов: Если ряд U1+U2+U3 ..+Un+ абс сходиться, то на сходимость не влияет перестановка членов ряда и группировка. Степенные ряды. C0+C1X+C2X2+.+CnXn..-степенной ряд (*)

Св-ва: 1)Т. Абеля: 1)Если степенной ряд сходится при значении X=X 0≠0, то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях Х таких что |Х|<|X0|, 2)Если степенной ряд расходится при Х=Х1 , то он расходится при всех значениях Х таких что |Х|>|Х1|.

Д: 1)По условию ряд (*) сходится при Х=Х0≠0, следовательно, выполняется необходимый признак сходимости Limn ®¥Un=Limn®¥ CnX0n=0. Значит последовательность |Cn X0n| Оганичена, т.е. сущ. Такое число М>0, что для всех n выполняется неравенство |CnX0n |<M. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величинчленов ряда(*) |С0|+ |C1X0||Х/X0|+.+ |Cn X0n||X/X0|n+.(1). Члены ряда (1) меньше соответствующих членов ряда М+М|Х/X0|+.+М|X/X0| n+. представляющего геометрический ряд, к-й сходится, когда его знаменатель q=|X/X0|<1, т.е. при|X|<|X0|, на основании признака сравнения ряд (*) сходится. 2)Предположим противное, т.е. при|X|>|X1| ряд (*) сходится. Тогда по доказанному выше он должен сходится и в точке Х1 (т.к. |X|>|X1|), что противоречит условию.· Из теоремы Абеля следует, что сущ. Такое число R≥0, что при │Х│<R ряд сходится, а при │Х│>R – расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R;R)- интервала сходимости степенного ряда. 2) и 3) на любом отрезке [a,b], целиком принадлежащем интервалу сходимости(-R;R), ф-я F(x) является непрерывной, а следовательно степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать на этом отрезке. 4) Степенные ряды вида а01х+а2х2+.+аnх2+.+аn+1хn+1+. и а01(х-х0)+а2(х-х0)2+.+аn(х-х0)2+. сходяться равномерно. 5) Степенные ряды сход к фун S(x), которая непрерывна в обл сходимости.

Функциональные ряды

Ряд U1+U2+..+Un+.. называется функциональным, если его члены являются функциями от Х. Рассмотрим функциональный ряд U1 (Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+...(1) Совокупность тех значений Х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. Обозначим через Sn(Х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна S(x), то S(x)=Sn(x)+rn(x), где rn(x) есть сумма ряда Un+1(x)+Un +2(x) +., т.е. rn(x)= Un+1(x)+Un+2(x) +. В этом случае величина rn(x) называется остатком ряда (1). Для всех значений Х в области сходимости ряда имеет место соотношение Limn→∞ rn(x)= Lim n→∞[S(x)-Sn(x)]=0, т.е. остаток rn (x) сходящегося ряда стремится к нулю при n→∞. Функциональный ряд U1(Х)+U2(Х)+..+Un(Х)+.. (1) называется мажорируемым в нек-й области изменения Х, если существует такой сходящийся числовой ряд а123+.+а n..(2) с положительными членами, что для всех значений Х из данной области выполняются соотношения │U1(x)│≤a1, .,│Un(x)│≤an ,. Иначе, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена нек-го сход. ряда с полож. членами. Ряд Тейлор. Для ф-и F(x) имеющей все производные до (n-1) порядка включительно, в окрестности точки х=а справедлива формула Тейлора: f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+f¢¢(a)[(x-a) 2/2!]+. .+fn(a)[(x-a)n/n!]+Rn(x), (1) где остаточный член Rn(х)={[(x-a)n+1]/[(n+1)!]}f( n+1)[a+q(x-a)], где 0<q<1. Для того, чтобы ряд сходился к ф-и, необходимо и достаточно, чтобы при n®¥ остаток ряда стремился к 0, т.е. Rn(x)®o. Переходя в формуле (1) к пределу при n®¥, получим справа бесконечный ряд, котороый наз рядом Тейлора : f(x)=f(a)+f¢(a)(x-a)+.+fn(a)[(x-a)n/n!]+. Если в ряде Тейлора предположим а=0, то получим ряд Маклорена: f (x)=f(0)+f¢(0)x+f¢¢(0)[x2/2!]+. .+fn(0)[xn/n!]+.. Разложение нек-х ф-й в ряд Маклорена: ex=1+x+x2/2!+.+xn/n!+. (-¥;¥) sinX=x-x3/3!+x5/5!+.+(-1)n-1[X2n-1]/(2n-1)!+. (-¥;¥) cosX=1-x2/2!+x4/4!-.+[(-1)nX2n]/(2n)!+. (-¥;¥) (1+x)m=1+mx+[m(m-1)x2]/2!+[m(m-1)* *(m-2)x3]/3!+[m(m-1)(m-n+1)xn]/n!+. (-1;1) ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..+[(-1)nxn+1]/(n+1)+.. (-1;1] 1/(1-x)=1+x+x2+.+xn+.. 1/(1+X2)=1-x2+x4-x6+. arctgX=x-x3/3+x5/5-x7/7+.+[(-1)n+1x2n-1]/2n-1+.