Каталог :: Математика

Шпора: Шпора по математике

Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a±b)²=a²±2ab+b²
(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³
a²-b²=(a+b)(a-b)
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²),
(a+b)³=a³+b³+3ab(a+b)
(a-b)³=a³-b³-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²xn-3+...+an-1)
ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
ax²+bx+c=0
     Степени и корни :
ap·ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap×bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
     pÖa =b => bp=a
     pÖapÖb = pÖab
Öa ; a ≥ 0
____
/   __         _
     pÖ gÖa    = pgÖa
___       __
     pkÖagk =  pÖag
     p  ____
/    a            pÖa
/  ¾¾  = ¾¾¾¾
Ö     b             pÖb
a 1/p = pÖa
     pÖag = ag/p
Квадратное уравнение
ax²+bx+c=0; (a¹0)
x1,2= (-b±ÖD)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1¹x2 ;D=0® x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1× x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1×x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x²+2kx+q=0, то x1,2  = -k±Ö(k²-q)
Нахождение длинны отр-ка
по его координатам
Ö((x2-x1)²-(y2-y1)²)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga  x = b;  x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹1
logbx = (logax)/(logab)
     

Прогрессии

Арифметическая an = a1 +d(n-1) Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n Геометрическая bn = bn-1 × q b2n = bn-1× bn+1 bn = b1×qn-1 Sn = b1 (1- qn)/(1-q) S= b1/(1-q) Тригонометрия. sin x = a/c cos x = b/c tg x = a/b=sinx/cos x ctg x = b/a = cos x/sin x sin (p-a) = sin a sin (p/2 -a) = cos a cos (p/2 -a) = sin a cos (a + 2pk) = cos a sin (a + 2pk) = sin a tg (a + pk) = tg a ctg (a + pk) = ctg a sin² a + cos² a =1 ctg a = cosa / sina , a ¹ pn, nÎZ tga × ctga = 1, a ¹ (pn)/2, nÎZ 1+tg²a = 1/cos²a , a¹p(2n+1)/2 1+ ctg²a =1/sin²a , a¹ pn Формулы сложения: sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y ) x, y, x + y ¹ p/2 + pn tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y) x, y, x - y ¹ p/2 + pn Формулы двойного аргумента. sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos² a - sin² a = 2 cos² a - 1 = = 1-2 sin²a tg 2a = (2 tga)/ (1-tg²a) 1+ cos a = 2 cos² a/2 1-cosa = 2 sin² a/2 tga = (2 tg (a/2))/(1-tg²(a/2)) Ф-лы половинного аргумента. sin² a/2 = (1 - cos a)/2 cos²a/2 = (1 + cosa)/2 tg a/2 = sina/(1 + cosa ) = (1-cos a)/sin a a¹ p + 2pn, n ÎZ Ф-лы преобразования суммы в произв. sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2) sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2) cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2 cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2 sin (x+y) tg x + tg y = ————— cos x cos y sin (x - y) tg x - tgy = ————— cos x cos y Формулы преобр. произв. в сумму sin x sin y = ½(cos (x-y) - cos (x+y)) cos x cos y = ½(cos (x-y)+ cos (x+y)) sin x cos y = ½(sin (x-y)+ sin (x+y)) Соотнош. между ф-ями sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2) cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2) sin2x = (2tgx)/(1+tg2x) sin²a = 1/(1+ctg²a) = tg²a/(1+tg²a) cos²a = 1/(1+tg²a) = ctg²a / (1+ctg²a) ctg2a = (ctg²a-1)/ 2ctga sin3a = 3sina -4sin³a = 3cos²asina-sin³a cos3a = 4cos³a-3 cosa= = cos³a-3cosasin²a tg3a = (3tga-tg³a)/(1-3tg²a) ctg3a = (ctg³a-3ctga)/(3ctg²a-1) sin a/2 = ±Ö((1-cosa)/2) cos a/2 = ±Ö((1+cosa)/2) tga/2 = ±Ö((1-cosa)/(1+cosa))= sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina ctga/2 = ±Ö((1+cosa)/(1-cosa))= sina/(1-cosa)= (1+cosa)/sina sin(arcsin a) = a cos( arccos a) = a tg ( arctg a) = a ctg ( arcctg a) = a arcsin (sina) = a ; aÎ [-p/2 ; p/2] arccos(cos a) = a ; a Î [0 ; p] arctg (tg a) = a ; a Î[-p/2 ; p/2] arcctg (ctg a) = a ; a Î [ 0 ; p] arcsin(sina)= 1)a - 2pk; aÎ[-p/2 +2pk;p/2+2pk] 2) (2k+1)p - a; aÎ[p/2+2pk;3p/2+2pk] arccos (cosa) = 1) a-2pk ; aÎ[2pk;(2k+1)p] 2) 2pk-a ; aÎ[(2k-1)p; 2pk] arctg(tga)= a-pk aÎ(-p/2 +pk;p/2+pk) arcctg(ctga) = a -pk aÎ(pk; (k+1)p) arcsina = -arcsin (-a)= p/2-arccosa = = arctg a/Ö(1-a²) arccosa = p-arccos(-a)=p/2-arcsin a= = arc ctga/Ö(1-a²) arctga =-arctg(-a) = p/2 -arcctga = = arcsin a/Ö(1+a²) arc ctg a = p-arc cctg(-a) = = arc cos a/Ö(1-a²) arctg a = arc ctg1/a = = arcsin a/Ö(1+a²)= arccos1/Ö(1+a²) arcsin a + arccos = p/2 arcctg a + arctga = p/2 Тригонометрические уравнения sin x = m ; |m| ≤ 1 x = (-1)n arcsin m + pk, kÎ Z sin x =1 sin x = 0 x = p/2 + 2pk x = pk sin x = -1 x = -p/2 + 2 pk cos x = m; |m| ≤ 1 x = ± arccos m + 2pk cos x = 1 cos x = 0 x = 2pk x = p/2+pk cos x = -1 x = p+ 2pk tg x = m x = arctg m + pk ctg x = m x = arcctg m +pk sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg cos x/2 = (1-t²)/(1+t²) Показательные уравнения. Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч) 1) a>1, то знак не меняеться. 2) a<1, то знак меняется. Логарифмы : неравенства: logaf(x) >(<) log a j(x) 1. a>1, то : f(x) >0 j(x)>0 f(x)>j(x) 2. 0<a<1, то: f(x) >0 j(x)>0 f(x)<j(x) 3. log f(x) j(x) = a ОДЗ: j(x) > 0 f(x) >0 f(x ) ¹ 1 Тригонометрия: 1. Разложение на множители: sin 2x - Ö3 cos x = 0 2sin x cos x -Ö3 cos x = 0 cos x(2 sin x - Ö3) = 0 .... 2. Решения заменой .... 3. sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2 sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0, а такое невозможно, => можно поделить на cos x Тригонометрические нер-ва : sin a ³ m 2pk+a1 a a2+ 2pk 2pk+a2 a (a1+2p)+ 2pk Пример: I cos (p/8+x) < Ö3/2 pk+ 5p/6< p/8 +x< 7p/6 + 2pk 2pk+ 17p/24 < x< p/24+2pk;;;; II sin a ≤ 1/2 2pk +5p/6 ≤a≤ 13p/6 + 2pk cos a ³(≤) m 2pk + a1 < a< a2+2 pk 2pk+a2< a< (a1+2p) + 2pk cos a ³ - Ö2/2 2pk+5p/4 ≤a≤ 11p/4 +2pk tg a³(≤) m pk+ arctg m a arctg m + pk ctg ³(≤) m pk+arcctg m < a< p+pk Производная: (xn) = n× xn-1 (ax)’ = ax× ln a (lg ax )’= 1/(x×ln a) (sin x)’ = cos x (cos x)’ = -sin x (tg x)’ = 1/cos² x (ctg x)’ = - 1/sin²x (arcsin x)’ = 1/ Ö(1-x²) (arccos x)’ = - 1/ Ö(1-x²) (arctg x)’ = 1/ Ö(1+x²) (arcctg x)’ = - 1/ Ö(1+x²) Св-ва: (u × v)’ = u’×v + u×v’ (u/v)’ = (u’v - uv’)/ v² Уравнение касательной к граф. y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0) уравнение к касательной к графику в точке x 1. Найти производную 2. Угловой коофициент k = = производная в данной точке x 3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х Интегралы : ò xn dx = xn+1/(n+1) + c ò ax dx = ax/ln a + c ò ex dx = ex + c ò cos x dx = sin x + cos ò sin x dx = - cos x + c ò 1/x dx = ln|x| + c ò 1/cos² x = tg x + c ò 1/sin² x = - ctg x + c ò 1/Ö(1-x²) dx = arcsin x +c ò 1/Ö(1-x²) dx = - arccos x +c ò 1/1+ x² dx = arctg x + c ò 1/1+ x² dx = - arcctg x + c Площадь криволенейной трапеции. Геометрия Треугольники a + b + g =180 Теорема синусов a² = b²+c² - 2bc cos a b² = a²+c² - 2ac cos b c² = a² + b² - 2ab cos g Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону напополам. Биссектриса - угол. Высота падает на пр. сторону под прямым углом. Формула Герона : p=½(a+b+c) _____________ S = Öp(p-a)(p-b)(p-c) S = ½ab sin a Sравн.=(a²Ö3)/4 S = bh/2 S=abc/4R S=pr Трапеция. S = (a+b)/2× h Круг S= pR² Sсектора=(pR²a)/360 Стереометрия Параллепипед V=Sосн×Р Прямоугольный V=abc Пирамида V =1/3Sосн.×H Sполн.= Sбок.+ Sосн. Усеченная : H . _____ V = 3 (S1+S2+ÖS1S2) S1 и S2 — площади осн. Sполн.=Sбок.+S1+S2 Конус V=1/3 pR²H Sбок. =pRl Sбок.= pR(R+1) Усеченный Sбок.= pl(R1+R2) V=1/3pH(R12+R1R2+R22) Призма V=Sосн.×H прямая: Sбок.=Pосн.×H Sполн.=Sбок+2Sосн. наклонная : Sбок.=Pпс×a V = Sпс×a, а -бок. ребро. Pпс — периметр Sпс — пл. перпенд. сечения Цилиндр. V=pR²H ; Sбок.= 2pRH Sполн.=2pR(H+R) Sбок.= 2pRH Сфера и шар . V = 4/3 pR³ - шар S = 4pR³ - сфера Шаровой сектор V = 2/3 pR³H H - высота сегм. Шаровой сегмент V=pH²(R-H/3) S=2pRH
град 30° 45° 60° 90°120°135°180°
a-p/2-p/3-p/4-p/6 0p/6p/4p/3p/22p/33p/43p/6 p
sina -1-Ö3/2-Ö2/2- ½ 0 ½Ö2/2Ö3/2 1 - ½ 0
cosa 1Ö3/2Ö2/2 ½ 0 - ½-Ö2/2- Ö3/2 -1
tga Ï -Ö3 -1-1/Ö3 01/Ö3 1 Ö3 Î -Ö3 -1 0
ctga --- Ö3 11/Ö3 0-1/Ö3 -1 --
n23456789
249162536496481
382764125216343512729
416812566251296240140966561
532243102431257776168073276859049
66472940961562546656

71282181

82566561

-ap-ap+ap/2-ap/2+a3p/2 - a3p/2+a
sin-sinasina-sinacosacosa-cosa-cosa
coscosa-cosa-cosasina-sina-sinasina
tg-tga-tgatgactga-ctgactga-ctga
ctg-ctga-ctgactgatga-tgatga-tga
Файл придуман и сделан Денисом Павлюком (C). Коммерческое распространение не приветствуется без моего согласия и запрещается. Все предыдущие ошибки исправлены. Успешно тестировано в МАИ. J , , , 2:5020/975.944@Fidonet