Каталог :: Математика

Контрольная: Дифференциальные уравнения

                           Вариант № 12                           
                      « Дифференциальные уравнения»                      
                  Найти общий интеграл диф.  ур-я                  
     
  • 1) это ур-е с разделяющимеся переменными
разделив обе части уравнения на x и сделав преобразования получим:
  • 2)
Используем подстановку , тогда Окончательно, получим (учитывая, что t=y/x)
  • 3)
Выполним перенос системы координат , решив Ур-е в «новой» системе координат: ,где Учитывая, что Получим диф. Ур-е вида Подстановка Дает решение вида Выполнив преобразования получим, окончательно
  • 4) ,
Т. к. p=q , то это Ур-е в полных дифференциалах Пользуясь общим правилом нахождения полного дифференциала, получим Откуда Найти решение задачи Коши: · 5) Решение Ур-я такого типа следует искать в виде: Подстановка в исходное Ур-е даст: Возмем интеграл по частям Konst найдем из начального условия, т.е. Решение
  • 6)
Помня, что , Подстановка в исходное Ур-е дает Общее Решение: 7) Найти общее решение д.у.
  • 8)
  • Найти решение задачи Лоши
9) Решим однородное Ур-е (правая часть =0) Используя метод «Вариации постоянных» получим Таким образом, решение данного д.ур-я имеет вид: Откуда,
  • 10) М. Т., притягиваемая к неподвиж. Центру О силой F1,прямо пропорциональной расстоянию от М.Т. до ц. О, совершает колебательное движение с периодом Т=2п. Сила F2 сопротивления среды прямо пропорциональна ( с тем же коэф.пропорц-ти) скорости. Во сколько n раз уменьшается амплитуда А после каждого периода колебаний?
Решение: Пусть X(t)=ASin(wt) –ур-е движения М. Т. , где t-время, А=А(t)- амплитуда колебаний. Тогда F1=kX, где к-некоторый коэффициент пропорциональности; Сила F2 , согласно условию, уравновешивает силу F1, т. е. F1=F2. Где F2=kV,V- скорость М.Т. (V=dX/dt) Откуда, Ч/З период времени Т амплитуда изменится Найти общее решение д.у.
  • 11)
Решаем изначально однородное Ур-е (т.е. без правой части), соответствующее ему характеристическое ур-е: . Первый корень без труда может быть подобран, Далее, разделив многочлен на получим: Поскольку тут один корень (-1) имеет кратность, равную 2, то решение однородного Ур-я имеет вид: Общее решение д.у. где частное решение д. у. ищем в соответствии с правой частью уравнения, а именно: Подстановка в уравнение дает: Решение: Указать вид частного решения для д.у. с постоянными коэффициентами 3-го порядка для различных правых частей и корней характеристического ур-я ( 1/7; -1/7+2i; -1/7-2i)
  • 12)
Пусть F(x) вид частного решения, соответствующей правой части f(x) Где многочлены 3-ей степени, т. е. такого вида Частное решение будет складывается из двух составляющих 1) частного решения, соответствующего паре комплексно сопряженных корней характеристического Ур-я и 2) частного решения, соответствующего многочлену 3-ей степени, т.е. Где Р(х)- многочлен 3-ей степени. Решить систему д.у.:
  • 12)
Из Ур-я (1) вычтем 3 ур-я (2),а затем из Ур-я (2) выразим dx/dt и подставим в (1). Вот, что будет: , Где точки (*) обозначают дифференцирование по t. Типовые и курсовые по Высшей математике, консультации. Запись CD (аудио КД, МР-3,фильмы MPEG-4,Софт-коллекции) Недорого (3512)95-26-32 c 21 до 24