Каталог :: Математика

Курсовая: Математическая теория захватывания

                        Введение и краткое резюме                        
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с
одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие
движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию
таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно
замечательно здесь явления так называемого "захватывания".  Это явление
заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду
автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает"
автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего
сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших"
автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от
автоколебательной системы.
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически
недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного
вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать   случай
произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду
внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне
другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например
периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или
квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об
устойчивости при больших отклонениях
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые
позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к
синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким
образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания
делались синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать достаточно
малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях
воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали
"устойчивостью по Ляпунову".
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,    с
которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по
Пуанкаре.
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4
посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие
формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть
применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается
случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми,
которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.
     § 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.
Уравнение, которое нас будет интересовать:
     
При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
     
Рассмотрим случай, когда   m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем
искать решение (1) в следующем виде:
     
     
Начальные условия  выберем так:
     
F2 - степенной ряд по b1 b2, m начинающийся с
членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
     

Сравнивая коэффициенты при b1 b2, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3). Решая задачи Коши, получим: Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы Введем обозначения ; для остальных функций аналогично. Тогда (6) запишется в виде: Если в этой системе можно b1 b2 представить в виде функции m так, чтобы b1 b2, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.
В нашем случае: Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде. § 2 Исследование устойчивости периодического решения Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x'.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом. ; аналогичным образом можно показать, что (11). Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m. будем искать в виде: (12). Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим: Начальные условия для Ао , Во, .. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим Для В'о и Во аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак: (14) Решение (13) можно найти при помощи квадратур: (15) Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид: S1, S2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a1, a2 - характеристические показатели. Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения: =0 (16) Полагаем ; Тогда определитель будет: Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком Re (a), или что все равно ÷ l÷ . Если ÷ l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷ l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷ l÷> 1 имеет место неустойчивость. При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р2; q < р2 ; В первом случае l-комплексные; ½l2 ½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость. Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12). (22) Если принять во внимание (15) (22a) (23) Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость. В нашем случае b имеет вид: (23a) § 3 Отыскание периодического решения в области резонанса. Тогда l=mlо; w2 = 1+ aо m, (24) (aо , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при aо ¹ 0). Тогда исследуемое уравнение имеет вид : (25) При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26) Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде: (27); Начальные условия возьмем как и раньше: Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b1 b2, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27). (29) Запишем условия периодичности для (27): Делим на m: ( 30a ) Необходимым условием существования периодического решения является: Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме : (31) Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1). D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b1, b2, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда. (33) P,Q-определяются формулами (31) (32). § 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33). Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв: Из формул (22) (34) , тогда D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его: (36) ; Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и aо. Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид: ; (37) Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m) 1) p2 - q < 0 2) p2 - q > 0 В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0. Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ). § 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола. Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Ро sin w1 t. Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее: (39) Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола: (40) S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения . Далее, вводя обозначения: Получим дифференциальное уравнение для х: (41) А: (случай далекий от резонанса). Для него применяем результаты § 1, полагая. Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее: Если w > 1, т.е. wо > w1, то разность фаз равна 0, если w < 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0). (42). Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы. В: (область резонанса , § 3, 4). В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const). Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая. Или преобразовав их, получим следующее: Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их : Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37). (46) Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления aо, соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая. 1) a0 - является общим корнем уравнений 2) Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = aо w2о (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях: а) l2о << 1; Dw = wо Ро/Vоg. б) для очень сильных сигналов ( Vоg - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы). Список литературы 1. Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. 2. Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956. 3. Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.