Каталог :: Математика

Реферат: Теория вероятности

Математический аппарат современной экономики часто используется на основе
традиционной теории вероятности, однако сама теория вероятности основана на
системе аксиом. Для этой теории характерна частотная интерпретация
вероятности события: мы не знаем, каков будет исход данного конкретного
эксперимента, но знаем, какова доля того или иного исхода во множестве всех
возможных исходов эксперимента, многократно поставленного при неизменных
начальных условиях. В теории вероятности предполагается, что случайные
величины распределены по некоторому распределению. В этом случае расчеты
существенно упрощаются. Такое предположение не лишено оснований, скажем, при
планировании инвестиций, при моделировании физических процессов (существует
теорема о том, что среднее от независимых случайных величин, распределенных
по произвольным законам, распределено по Гауссу).  Итак, в своем эссе я
рассмотрю случайные величины и функции распределения.
                            Случайные величины                            
     Определение. Пусть — произвольное вероятностное пространство.
     Случайной величиной 
называется измеримая функция ,
отображающая в множество
действительных чисел , т.е.
функция, для которой прообраз 
любого борелевского множества 
есть множество из -алгебры 
.
     Примеры случайных величин. 1) Число выпавшее на грани игральной кости.
2) Размер выпускаемой детали. 3) Расстояние от начала координат до случайно
брошенной в квадрат точки .
Множество значений случайной величины 
будем обозначать , а образ
элементарного события 
. Множество значений может быть
конечным, счетным или несчетным.
Определим -алгебру на множестве 
. В общем случае -алгебра
числового множества может быть
образована применением конечного числа операций объединения и пересечения
интервалов или полуинтервалов
вида (
), в которых одно из чисел или 
может быть равно или 
.
В частном случае, когда —
дискретное (не более чем счетное) множество, 
-алгебру образуют любые подмножества множества 
, в том числе и одноточечные.
Таким образом -алгебру множества можно построить из множеств или , или .
Будем называть событием любое
подмножество значений 
случайной величины : 
. Прообраз этого события обозначим 
. Ясно, что ; 
; . Все множества 
, которые могут быть получены как подмножества 
из множества , 
, применением конечного числа операций объединения и пересечения, образуют
систему событий. Определив множество возможных значений случайной величины и выделив систему событий 
, построим измеримое пространство 
. Определим вероятность на подмножествах (событиях) 
из таким образом, чтобы она
была равна вероятности наступления события, являющегося его прообразом: 
.
Тогда тройка назовем вероятностным пространством случайной величины , где 
— множество значений случайной величины 
; 
-алгебра числового множества ; 
— функция вероятности случайной величины 
.
Если каждому событию поставлено
в соответствие , то говорят,
что задано распределение случайной величины 
. Функция задается на таких
событиях (базовых), зная вероятности которых можно вычислить вероятность
произвольного события . Тогда
событиями могут быть события .
     Функция распределения и ее свойства
Рассмотрим вероятностное пространство , образованное случайной величиной .
     Определение. Функцией распределения случайной величины 
называется функция 
действительного переменного ,
определяющая вероятность того, что случайная величина 
примет в результате реализации эксперимента значение, меньшее некоторого
фиксированного числа :
     (1)
Там где понятно, о какой случайной величине 
, или 
идет речь, вместо будем
писать . Если рассматривать
случайную величину как
случайную точку на оси , то
функция распределения с
геометрической точки зрения это вероятность того, что случайная точка 
в результате реализации эксперимента попадет левее точки 
.
Очевидно что функция при любом 
удовлетворяет неравенству .
Функция распределения случайной величины 
имеет следующие свойства:
2) Функция распределения — неубывающая функция 
, т.е. для любых и 
, таких что , имеет место
неравенство .
     Доказательство. Пусть и 
и . Событие, состоящее в том,
что примет значение, меньшее,
чем , 
представим в виде объединения двух несовместных событий 
и : 
.
Тогда согласно аксиоме 3 Колмогорова, или по формуле (1)
     , (2)
откуда , так как . Свойство доказано.
     Теорема. Для любых и вероятность неравенства вычисляется по формуле
     (3)
     Доказательство. Справедливость формулы (3) следует из соотношения (2).
Таким образом, вероятность попадания случайной величины 
в полуинтервал равна разности
значений функции распределения вычисленных на концах полуинтервала 
и .
2) ; .
     Доказательство. Пусть и 
— две монотонные числовые последовательности, причем 
, при 
. Событие состоит в том, что 
. Достоверное событие 
эквивалентно объединению событий 
:
     ; .
Так как , то по свойству вероятностей , т.е. .
Принимая во внимание определение предела, получаем ; 
3) Функция непрерывна слева в любой точке , 
     Доказательство. Пусть —
любая возрастающая последовательность чисел, сходящаяся к 
. Тогда можно записать:
     
На основании аксиомы 3
     
Так как ряд справа состоит из положительных чисел и сходится к 
, то остаток ряда, начиная с некоторого номера 
, будет меньше , 
(теорема об остатке ряда)
     
.
Используя формулу (3), выразим вероятности событий через функцию
распределения. Получим
     
,
откуда или , а это означает, что .
Из рассмотренных свойств следует, что каждая функция распределения 
является 1) неубывающей, 2) непрерывной слева и 3) удовлетворяет условию 
и . И, обратно, каждая функция,
обладающая свойствами 1), 2), 3), может рассматриваться как функция
распределения некоторой случайной величины.
     Теорема. Вероятность того, что значение случайной величины больше
действительного числа ,
вычисляется по формуле .
     Доказательство. Достоверное событие 
представим в виде объединения двух несовместных событий 
и . Тогда по 3-1 аксиоме
Колмогорова или 
, откуда следует искомая формула.
     Определение. Будем говорить, что функция распределения 
имеет при скачок 
, если , где 
и пределы слева и справа
функции распределения в точке 
.
     Теорема. Для каждого из пространства случайной величины имеет место формула 
     Доказательство. Приняв в формуле (3) 
, и перейдя к пределу при 
, , согласно свойству 3),
получим искомый результат.
Можно показать, что функция 
может иметь не более чем счетное число скачков. Действительно функция
распределения может иметь не более одного скачка 
, скачков — не более 3-х,
скачков не более чем 
.
Иногда поведение случайной величины 
характеризуется не заданием ее функции распределения, а каким-либо другим
законом распределения, но так, чтобы можно было получить из этого закона
распределения функцию распределения 
.