Каталог :: Математика

: Функция и ее свойства

                                Русская гимназия                                
                                    КОНСПЕКТ                                    
                                    на тему:                                    
                                     Функция                                     
                                                                        Выполнил
                                           ученик 10«Ф» класса Бурмистров Сергей
                                                                    Руководитель
                                                              учитель Математики
                                                                      Юлина О.А.
                                 Нижний Новгород                                 
                                    1997 год                                    
                              Функция и её свойства                              
     Функция- зависимость переменной у от переменной x, если
каждому значению х соответствует единственное значение у.
     Переменная х- независимая переменная или аргумент.
     Переменная у- зависимая переменная
     Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
     Область определения функции- все значения, которые принимает независимая
переменная.
     Область значений функции (множество значений)- все значения, которые
принимает функция.
     Функция является четной- если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
     Функция является нечетной- если для любого х из области
определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
     Возрастающая функция- если для любых х1 и х2
, таких, что х1< х2, выполняется
неравенство f(х1)<f(х2)
     Убывающая функция- если для любых х1 и х2
, таких, что х1< х2, выполняется
неравенство f(х1)>f(х2)
                             Способы задания функции                             
¨    Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для
каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы 
у=f(x), где f(x)-
íåêîòîðîå
âыðàæåíèå с переменной х
. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана 
аналитически.
¨    На практике часто используется табличный способ задания
функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для
имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции
являются таблица квадратов, таблица кубов.
                           Виды функций и их свойства                           
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где 
b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая,
параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, 
где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности
.
                          Cвойства функции y=kx:                          
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где 
k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то
получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую
пропорциональность y=kx.
                         Свойства функции y=kx+b:                         
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая.
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, 
где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной
пропорциональности.
                         Свойства функции y=k/x:                         
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке
(-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на
промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола.
5)Функция y=x2
                    Свойства функции y=x2:                    
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 - четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола.
6)Функция y=x3
                    Свойства функции y=x3:                    
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой 
y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию
y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2;
y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция 
y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при
|х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее
прижимаются» к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае
функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x
3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная
формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1
получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x
-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
                    Свойства функции y=x-2:                    
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y=Öх
                       Свойства функции y=Öх:                       
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y=3Öх
                 Свойства функции y=3Öх:                 
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3Öх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
     
11)Функция y=nÖх
При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх
. При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же
свойствами, что и функция y=3Öх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,
заданная формулой y=xr, где r- положительная
несократимая дробь.
                    Свойства функции y=xr:                    
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен
между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на
промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x
r, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид
имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция,
заданная формулой y=x-r, где r- положительная
несократимая дробь.
                    Свойства функции y=x-r:                    
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo 
уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный
корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и
областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная
функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x),
надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно
прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2.
Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.