Каталог :: Математика

Статья: Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений

Морфологический анализ цветных (спектрозональных) изображений.
Пытьев Ю.П.
     Московский государственный университет, Москва, Россия
1. Введение
Хорошо известно, что изображения одной и той же сцены, полученные при различных
условиях освещения и(или) измененных[1] 
оптических свойствах объектов могут отличаться радикально. Это обстоятельство
порождает значительные трудности в прикладных задачах анализа и интерпретации
изображений реальных сцен, в которых решение должно не зависеть от условий
регистрации изображений. Речь идет, например, о задачах выделения неизвестного
объекта на фоне известной местности, известного объекта на произвольном фоне
при неконтролируемых условиях освещения, о задаче совмещения изображенний одной
и той же сцены, полученных в различных спектральных диапазонах и т.д.
Методы морфологического анализа, разработанные более десяти лет тому назад,
[1-5], для решения перечисленных задач, были в основном ориентированы для
применения к черно-белым изображениям[2] и
оказались достаточно эффективными, [5-11].
Между тем, по меньшей мере два обстоятельства указывают на целесообразность
разработки морфологических методов анализа цветных изображений. Во-первых, в
задаче обнаружения и выделения объекта последний, как правило, прежде всего
цветом отличается от фона. Во-вторых, описание формы изображения в терминах
цвета позволит практически устранить эффект теней и влияние неопределенности
в пространственном распределении интенсивности спектрально однородного
освещения.
2. Цвет и яркость спектозонального изображения.
Рассмотрим некоторые аспекты теории цвета так называемых многоспектральных
(спектрозональных, [13]) изображений, аналогичной классической колориметрии
[12]. Будем считать заданными n детекторов излучения со спектральными
чувствительностями  
j=1,2,...,n, где l(0,¥) - длина волны излучения. Их
выходные сигналы, отвечающие потоку излучения со спектральной плотностью e
(l)0, (0,¥), далее называемой излучением, образуют
вектор , w
(×)=.
Определим суммарную спектральную чувствительность детекторов 
, (0,¥), и соответствующий суммарный сигнал  
назовем яркостью излучения e(×). Вектор  
назовем цветом излучения e(×). Если  
цвет e(×) и само излучение назовем черным. Поскольку
равенства  и  
эквивалентны, равенство  
имеет смысл и для черного цвета, причем в этом случае  
- произвольный вектор, яркость оторого равна единице. Излучение e
(×) назовем белым и его цвет обозначим  
если отвечающие ему выходные сигналы всех детекторов одинаковы:
          .          
Векторы  , и   
, , удобно считать
элементами n-мерного линейного пространства 
. Векторы fe, соответствующие различным
излучениям e(×), содержатся в  конусе 
.  Концы векторов  
содержатся в множестве 
, где Ï - гиперплоскость 
.
Далее предполагается, что всякое излучение  
, где E - выпуклый конус излучений, содержащий вместе с любыми излучениями  
все их выпуклые комбинации (смеси)  
Поэтому векторы  в  
образуют выпуклый конус 
, а векторы .
Если то и их аддитивная смесь . Для нее
           .                                             (1)
Отсюда следует
     Лемма 1. Яркость fe и цвет  j
e любой аддитивной смеси e(×) излучений e1
(×),...,em(×), m=1,2,... определяются яркостями и
цветами слагаемых.
Подчеркнем, что равенство 
, означающее факт совпадения яркости и цвета излучений e(×) и 
, как правило, содержит сравнительно небольшую информацию об их относительном
спектральном составе. Однако замена e(×) на  
в любой аддитивной смеси излучений не изменит ни цвета, ни яркости последней.
Далее предполагается, что вектор w(×) таков, что в E можно указать
базовые излучения ,
для которых векторы 
, j=1,...,n, линейно независимы. Поскольку цвет таких излучений
непременно отличен от черного, их яркости будем считать единичными, 
, j=1,...,n. В таком случае излучение  
характеризуется лишь цветом 
, j=1,...,n.
Для всякого излучения e(×) можно записать разложение
     ,                                                                      (1*)
в котором  - координаты  в базисе ,
или, в виде выходных сигналов детекторов излучения, - 
, где , 
, - выходной сигнал i-го детектора, отвечающий j-ому излучению e
j(×), i, j=1,...,n. Матрица  
- стохастическая, поскольку ее матричные элементы как яркости базовых излучений  
неотрицательны и , 
j=1,...,n. При этом яркость  
и вектор цвета , 
, j=1,...,n, (конец которого лежит в Ï) определяются
координатами aj и цветами излучений 
, j=1,...,n, и не зависят непосредственно от спектрального
состава излучения e(×).
В ряде случаев белое излучение естественно определять исходя из базовых
излучений, а не из выходных сигналов детекторов, считая белым всякое излучение,
которому в (1*) отвечают равные координаты: 
.
Заметим, что слагаемые в (1*), у которых aj<0,
[3] физически интерпретируются как соответствующие излучениям, "помещенным"
в левую часть равенства (1*) с коэффициентами -aj>0: 
. В такой форме равенство (1*) представляет “баланс излучений”.
Определим в  
скалярное произведение  
и векторы ,
биортогонально сопряженные с 
: , i,j
=1,...,n.
     Лемма 2. В разложении (1*) 
,  j=1,...,n, 
. Яркость , где 
, причем вектор y ортогонален гиперплоскости Ï, так
как , i,j=1,...,n.
Что касается скалярного проиведения 
, то его естественно определять так, чтобы выходные сигналы детекторов  
были координатами  fe в некотором
ортонормированном базисе 
. В этом базисе конус 
. Заметим, что для любых векторов  
и, тем более, для , 
[4].
Пусть Х - поле зрения, например,  ограниченная область на
плоскости R2, или на сетке 
,  спектральная
чувствительность j-го детектора излучения, расположенного  в точке  
;   - излучение,
попадающее в точку 
. Изображением назовем векторнозначную функцию 
                                                                                (2**)
Точнее, пусть Х - поле зрения, (Х, С, m) - измеримое
пространство Х с мерой m, C - s-алгебра подмножеств X. 
Цветное (спектрозональное) изображение 
определим равенством
        ,                                                                     (2)
в котором почти для всех , , - m-измеримые функции на поле зрения X, такие, что
                                                                            
     
     .
Цветные изображения образуют подкласс функций  
лебеговского класса  
функций . Класс
цветных изображений обозначим LE,n.
Впрочем, для упрощения терминологии далее любой элемент  
называется цветным изображением, а условие
                                                                       (2*)
условием физичности изображений f(×).
Если f(×) - цветное изображение (2), то 
, как нетрудно проверить, - черно-белое изображение [2], т.е. 
, .
Изображение  ,
назовем черно-белым вариантом цветного изображения f
(×), а цветное изображение 
, f(x)0, xÎX - цветом изображения f
(×). В точках множества Â={xÎX: f(x
)=0} черного цвета j(x), Â, - произвольные
векторы из ,
удовлетворяющие условию: яркость j(x)=1. Черно-белым вариантом
цветного изображения f(×) будем также называть
цветное изображение b(×), имеющее в каждой точке Х 
ту же яркость, что и f(×), b(x)=f(x), xÎX
, и белый цвет, b(x)=b(x)/b(x)=b,
xÎX.
3. Форма цветного изображения.
Понятие формы изображения призвано охарактеризовать форму изображенных объектов
в терминах характерности изображений, инвариантных относительно определенного
класса преобразований изображения, моделирующих меняющиеся условия его
регистрации. Например, довольно часто может меняться освещение сцены, в
частности, при практически неизменном спектральном составе может радикально
изменяться распределение интенсивности освещения сцены. Такие изменения
освещения в формуле (2**) выражаются преобразованием 
, в котором множитель k(x) модулирует яркость изображения  
в каждой точке при
неизменном распределении цвета. При этом в каждой точке 
у вектора f(x) может измениться длина, но направление
останется неизменным.
Нередко изменение распределения интенсивности освещения сопровождается
значительным изменением и его спектрального состава, но - пространственно
однородным, одним и тем же в пределах всей изображаемой сцены. Поскольку между
спектром излучения e и цветом j нет взаимно однозначного
соответствия, модель сопутствующего преобразования изображения f
(x) в терминах преобразования его цвета j(×). Для этого
определим отображение A(×):
, ставящее в соответствие каждому вектору цвета 
подмножество поля зрения 
в точках которого изображение 
, имеет постоянный цвет 
.
Пусть при рассматриваемом изменении освещения 
и, соответственно, ;
предлагаемая модель преобразования изображения состоит в том, что цвет  
преобразованного изображения должен быть также постоянным на каждом множестве 
A(j), хотя, вообще говоря, - другим, отличным от j. 
Характекрным в данном случае является тот факт, что равенство  
влечет . Если  
- самое детальное изображение сцены, то, вообще говоря, на различных множествах 
A() и A(j) цвет изображения  
может оказаться одинаковым[5].
Как правило, следует учитывать непостоянство оптических характеристик сцены и
т.д. Во всех случаях форма изображения должна быть инвариантна относительно
преобразования из выделенного класса и, более того, должна определять
изображение с точностью до произвольного преобразования из этого класса.
Для определения понятия формы цветного изображения f(×) 
на   удобно ввести
частичный порядок p , т.е. бинарное отношение, удовлетворяющее условиям: 1)
, 2) , 
, то , 
; отношение p должно быть согласованным с определением цветного изображения (с
условием физичности), а именно, 
, если . Отношение p
интерпретируется аналогично тому, как это принято в черно-белой морфологии[2],
а именно,  
означает, что изображения f(×) и g
(×) сравнимы по форме, причем форма  g(×)  
не сложнее, чем форма f(×).      Если  
и , то f
(×) и g(×) назовем совпадающими по
форме (изоморфными), f(×) ~ g
(×). Например, если f(×) и g
(×) - изображения одной и той же сцены, то g
(×), грубо говоря, характеризует форму изображенных объектов не точнее
(подробнее, детальнее), чем f (×), если 
.
В рассматриваемом выше примере преобразования изображений 
, если между множествами A(j), 
и (), 
существует взаимно-однозначное соответствие, т.е., если существует функция 
, такая, что ((j))= A(
j),, причем
, если . В этом
случае равенства  и  
эквивалентны,  и  
изоморфны и одинаково детально характеризуют сцену, хотя и в разных цветах.
Если же  не взаимно
однозначно, то ()=U A(
j) и . В этом
случае равенство  
влечет  (но не
эквивалентно) ,  
передает, вообще говоря, не все детали сцены, представленные в 
.
Пусть, скажем, g(×) - черно-белый вариант f
(×), т.е. g(x)=f(x) и g(x)/g(x)=b
, xÎX. Если преобразование  
- следствие изменившихся условий регистрации изображения, то, естественно, 
. Аналогично, если f(×), g(×) 
- изображения одной и той же сцены, но в g(×), 
вследствие неисправности выходные сигналы некоторых датчиков равны нулю, то 
. Пусть  F - некоторая полугруппа преобразований 
, тогда для любого преобразования FÎF 
, поскольку, если некоторые детали формы объекта не отражены в изображении 
f(×), то они, тем более, не будут отражены в g
(×).
     Формой  
изображения f(×) назовем множество изображений 
, форма которых не сложнее, чем форма f`(×), и их пределов в 
(черта символизирует замыкание в 
). Формой изображения f(×) в широком смысле назовем
минимальное линейное подпространство 
, содержащее  . 
Если считать, что  
для  любого изображения 
, то это будет означать, что отношение p непрерывно относительно сходимости
в   в том смысле,
что .
Рассмотрим теперь более подробно понятие формы для некоторых характерных
классов изображений и их преобразований.
4. Форма кусочно-постоянного (мозаичного) цветного изображения.
Во многих практически важных задачах форма объекта на изображении может быть
охарактеризована специальной структурой излучения, достигающего поле зрения 
X в виде   
здесь  -
индикаторные функции непересекающихся подмножеств Аi,
i=1,....,N, положительной меры поля зрения Х, на каждом из которых
функции , 
,  j=1,...,n, i=1,...,N, непрерывны.  Поскольку
согласно лемме 2
       ,                              (3)
то цветное изображение fe(×), такого
объекта характеризует его форму непрерывным распределением яркости и
цвета на каждом подмножестве Ai, i=1,...,N.
Для изображения ,  
где , также
характерно напрерывное распределение яркости и цвета на каждом Ai
, если , -
непрерывные функции.
Если, в частности, цвет и яркость  
постоянны на Ai, i=1,...,N, то это верно и для
всякого изображения 
, если  не зависит
явно от .
Для такого изображения примем следующее представление:
     
     
     ,                     (4)
его черно-белый вариант
                                                                               (4*)
на каждом Ai  имеет постоянную яркость , и цвет изображения (4)
                                                                    (4**)
не меняется на Ai и равен , i=1,...,N.
Поскольку для реальных изображений должно быть выполнено условие физичности
(2*), , то 
форму изображения (4), имеющего на различных множествах Аi 
имеет несовпадающие яркости   
и различные цвета ,
определим как выпуклый замкнутый в 
конус: 
      .           (4***)
     v(a), очевидно, содержится в n×N мерном линейном подпространстве
     
     
      ,            (4****)
которое назовем формой a(×) в широком смысле.
Форму в широком смысле любого изображения a(×), у которого не
обязательно различны яркости и цвета на различных подмножествах Ai 
,i=1,...,N, определим как линейное подпространство 
, натянутое не вектор-функции Fa(×),FÎF, где F -
класс преобразований 
, определенных как преобразования векторов a(x)®Fa(x) во всех точках 
xÎX; здесь F - любое преобразование 
. Тот факт, что F означает как преобразование 
, так и преобразование 
, не должен вызывать недоразумения.
Изображения из конуса(4***) имеют форму, которая не сложнее, чем форма 
a(×) (4), поскольку некоторые из них могут иметь одно и то же значение
яркости или(и) цвета на различных множествах Аi,
i=1,......,N. Также множества оказываются, по существу, объединенными в
одно, что и приводит к упрощению формы изображения, поскольку оно отражает
меньше деталей формы изображенного объекта, чем изображение (4). Это замечание
касается и L(a(×)), если речь идет о форме в широком смысле.
     Лемма 3. Пусть {Аi} - измеримое разбиение X: .
     Изображение (3) имеет на каждом подмножестве Ai :
- постоянную яркость  и цвет  , если и только если выполняется равенство (4);
- постоянный цвет 
, если и только если в (3)                                                            
;
- постоянную яркость fi , i=1,...,N, если и только
если в (3)  
не зависит от  , 
i=1,....,N.
     Доказательство .     На множестве Ai яркость и цвет
изображения (3) равны соответственно[6]
      ,  , i=1,....,N.
Если выполнено равенство (4), то   
и  от  
не зависят. Наоборот, если  
и , то и 
, т.е. выполняется (4).
Если   , то цвет  
не зависит от  .
Наоборот, пусть   
не зависит от . В
силу линейной независимости  
координаты j(i)(x) не зависят от  
, т.е.  и,
следовательно,    
где  - яркость на 
A i  и 
. Последнее утверждение очевидно n
Цвет изображения определяется как электродинамическими свойствами поверхности
изображенного объекта, так и спектральным составом облучающего
электромагнитного излучения в том диапазоне, который используется для
регистрации изображения. Речь идет о спектральном составе излучения,
покидающего поверхность объекта и содержащего как рассеянное так и собственное
излучения объекта. Поскольку спектральный состав падающего излучения, как
правило, пространственно однороден, можно считать, что цвет изображения несет
информацию о свойствах поверхности объекта, о ее форме, а яркость в
значительной степени зависит и от условий “освещения”. Поэтому на практике в
задачах морфологического анализа цветных изображений сцен важное значение имеет
понятие формы изображения, имеющего постоянный цвет и произвольное
распределение яркости в пределах заданных подмножеств Ai ,
i=1,...,N, поля зрения X.
Итак, пусть в согласии с леммой 3
      ,                                        (5)
где,  - индикаторная функция Ai, , функция gi(×) задает распределение яркости
                                                                   (6)
в пределах Ai  при постоянном цвете
     ,  i=1,...,N,                       (7)
причем для изображения (5) цвета j(i), i=1,....,N,
считаются попарно различными, а функции  g(i), i=1,....,N, -
удовлетворяющими условиям  
i=1,....,N.
Нетрудно заметить, что в выражениях (5),(6) и (7) без потери общности можно
принять условие нормировки   
, позволяющее упростить выражения (6) и (7)  для распределений яркости и цвета.
С учетом нормировки распределение яркости на Ai задается
функцией  а цвет
на Ai равен
                                 (7*)
Форму изображения (5) определим как класс всех изображений
                                                                           
     
                                                   (8)
     ,
каждое из которых, как и изображение (5), имеет постоянный цвет в пределах
каждого Ai, i=1,...,N. Форма таких изображений не сложнее,
чем форма f(×) (5), поскольку в изображении  
на некоторых различных подмножествах Ai, i=1,...,N, могут
совпадать значения цвета, которые непременрно различны в изображении f
(×) (5). Совпадение цвета  
на различных подмножествах Ai, i=1,...,N ведет к упрощению
формы изображения  
по сравнению с формой f(×)  (5). Все изображения 
, имеющие различный цвет на различных Ai, i=1,...,N,
считаются изоморфными f(×) (и между собой), форма
остальных не сложнее, чем форма f(×). Если 
, то, очевидно, .
Если в (8) яркость 
, то цвет  на A
i считается произвольным (постоянным), если же  
в точках некоторого подмножества 
, то цвет  на A
i считается равным цвету  
на , i=1,...,N.
Цвет изображения (8) может не совпадать с цветом (5). Если же по условию задачи
все изображения ,
форма которых не сложнее, чем форма 
, должны иметь на Ai, i=1,...,N, тот же цвет, что и у  
то следует потребовать, чтобы 
, в то время, как яркости  
остаются произвольными (если 
, то цвет  на A
i определяется равным цвету f(×) на A
i, i=1,...,N).
Нетрудно определить форму любого, не обязательно мозаичного, изображения 
f(×) в том случае, когда допустимы произвольные изменения
яркости  при
неизменном цвете j(x) в каждой точке 
. Множество, содержащее все такие изображения
                                                       (9)
назовем формой в широком смысле изображения 
, у которого f(x)¹0, m-почти для всех 
, [ср. 2].  является
линейным подпространством 
, содержащем любую форму
     ,                                       (10)
в которой включение 
определяет допустимые значения яркости. В частности, если 
означает, что яркость неотрицательна: 
, то  - выпуклый
замкнутый конус в ,
принадлежащий .
Более удобное описание формы изображения может быть получено на основе
методов аппроксимации цветных изображений, в которых форма определяется как
оператор наилучшего приближения. В следующем параграфе дано представление
формы изображения в виде оператора наилучшего приближения.
5. Задачи аппроксимации цветных изображений. Форма как оператор наилучшего
приближения.
Рассмотрим вначале задачи приближения кусочно-постоянными (мозаичными)
изображениями. Решение этих задач позволит построить форму изображения  
в том случае, когда считается, что   
для любого преобразования 
, действующего на изображение  
как на вектор  в
каждой точке  и
оставляющего  
элементом , т.е.
изображением. Форма в широком смысле  
определяется как оператор  
наилучшего приближения изображения  
изображениями 
     
     
     
где - класс преобразований , такой, что . Иначе можно считать, что
                                                                     (10*)
а  - оператор
наилучшего приближения элементами множества 
, форма которых не сложнее, чем форма 
. Характеристическим для  
является тот факт, что, если f(x)=f(y), то для
любого .
5.1. Приближение цветного изображения изображениями, цвет и яркость которых
постоянны на подмножествах разбиения  
поля зрения X.
                 Задано разбиение 
, требуется определить яркость и цвет наилучшего приближения на каждом 
. Рассмотрим задачу наилучшего приближения в  
цветного изображения f(×) (2) изображениями (4), в
которых считается заданным разбиение  
поля зрения X  и требуется определить  
из условия
     
     
     
     
     
                                (11)
     Теорема 1.  Пусть . Тогда решение задачи (11) имеет вид
     ,  i=1,...,N,  j=1,...,n,                                  (12)
     и искомое изображение (4) задается равенством
     
     
      .                (13)
Оператор  
является ортогональным проектором на линейное подпространство (4****)  
изображений (4), яркости и цвета которых не изменяются в пределах
каждого Ai , i=1,...,N.
     Черно-белый вариант  
(4*) цветного изображения 
(4) является наилучшей в  
аппроксимацией черно-белого варианта  
цветного изображения f(×) (2), если цветное
изображение (4) 
является наилучшей в  
аппроксимацией цветного изображения f(×) (2).
Оператор ,
является ортогональным проектором на линейное подпространство черно-белых
изображений, яркость которых постоянна в пределах каждого 
.
     В точках множества  
цвет (4**) 
наилучшей аппроксимации 
(4) цветного изображения f(×) (2) 
является цветом аддитивной смеси составляющих f(×)
излучений, которые попадают на 
.
     Доказательство.      Равенства (12) - условия минимума
положительно определенной квадратичной формы (11), П - ортогональный
проектор, поскольку в задаче (11) наилучшая аппроксимация - ортогональная
проекция f(×) на 
. Второе утверждение следует из равенства
     , вытекающего из (13). Последнее утверждение следует из равенств
     
,i=1,...,N вытекающих из (12) и равенства (1), в котором индекс k 
следует заменить на xÎX.               Замечание 1. Для любого измеримого разбиения  
ортогональные проекторы  
и  определяют
соответственно форму в широком смысле цветного изображения (4), цвет и
яркость которого, постоянные в пределах каждого 
, различны для различных 
, ибо , и
форму в широком смысле черно-белого изображения, яркость которого постоянна на
каждом  и различна
для разных 
,[2].
Если учесть, условие физичности (2*), то формой цветного изображения следует 
считать проектор  
на выпуклый замкнутый конус  
(4***)
Аналогично формой черно-белого изображения следует считать проектор  
на выпуклый замкнутый конус изображений (4*), таких, что  
[2]. Дело в том, что оператор   
определяет форму   
изображения (4), а именно
      - множество
собственных функций оператора 
. Поскольку  
f(×) - наилучшее приближение изображения  
изображениями из ,
для любого изображения  
из  и только для
таких - 
. Поэтому проектор  
можно отождествить с формой изображения (4).
Аналогично для черно-белого изображения a(×)
     
     
     ,[7] [2]. И проектор  
можно отождествить с формой изображения (4*), как это сделано в работах [2,3].
     Примечания. 
Формы в широком смысле не определяются связью задач наилучшего приближения
элементами  и 
, которая известна как транзитивность проецирования. Именно, если  
оператор наилучшего в  
приближения злементами выпуклого замкнутого (в  
и в ) конуса 
, то  . Иначе
говоря, для определения наилучшего в  
приближения  
элементами  можно
вначале найти ортогональную проекцию  
изображения  на 
, а затем  
спроецировать в  на 
. При этом конечномерный проектор  
для каждого конкретного конуса  
может быть реализован методом динамического программирования, а для многих задач
морфологического анализа изображений достаточным оказывается использование лишь
проектора П .
Форма в широком смысле  
(4***) изображения (4) полностью определяется измеримым разложением 
, последнее, в свою очередь определяется изображением
     ,
если векторы  
попарно различны. Если при этом 
, то форма в широком смысле  
может быть определена и как оператор П ортогонального
проецирования на ,
определенный равенством (13).
Посмотрим, каким образом воспользоваться этими фактами при построении формы в
широком смысле как оператора ортогонального проецирования на линейное
подпространство  
(10*) для произвольного изображения 
. Пусть  -
множество значений  
и  - измеримое
разбиение X , порожденное 
, в котором  -
подмножество X , в пределах которого изображение  
имеет постоянные яркость и цвет, определяемые вектором 
, если .
Однако для найденного разбиения условие 
, вообще говоря, невыполнимо и, следовательно, теорема 1 не позволяет построить
ортогональный проектор П на 
. Покажем, что П можно получить как предел последовательности
конечномерных ортогональных проекторов. Заметим вначале, что любое изображение  
можно представить в виде предела (в 
) должным образом организованной последовательности мозаичных изображений
                                 (*)
где  - индикатор множества , принадлежащего измеримому разбиению 
В (*) можно, например, использовать так называемую исчерпывающую
последовательность разбиений [], удовлетворяющую следующим условиям
- -  C - измеримо, 
     
     ;
- N+1-oe разбиение является продолжением N-го, т.е. для любого 
, найдется i=i(j),
, такое, что 
;
- минимальная s-алгебра, содержащая все  , совпадает с C.
     Лемма (*). Пусть  
- исчерпывающая последователь-ность разбиений X и 
- то множество из ,
которое содержит .
Тогда для любой C-измеримой функции 
     
     
     
     и m-почти для всех   [    ].            n
Воспользуемся этим результатом для построения формы в широком смысле П 
произвольного изображения 
. Пусть  -
минимальная s-алгебра, относительно которой измеримо 
, т.е. пусть , где  
- прообраз борелевского множества 
, B - s-алгебра борелевских множеств 
. Заменим в условиях, определяющих исчерпывающую последовательность разбиений, C
на  и выберем эту,
зависящую от ,
исчерпывающую последовательность ( 
- измеримых) разбиений в лемме (*).
     Теорема (*). Пусть 
, -
исчерпывающая последовательность разбиений  X, причем 
- минимальная s-алгебра, содержащая все  
и П(N) - ортогональный проектор 
, определенный равенством 
, 
     Тогда
     1) для любого -измеримого изображения   и почти для всех ,             ,
2) для любого изображения  при   ), где П - ортогональный проектор на .
Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из леммы (*) и
определения . Для
доказательства второго утверждения заметим, что, так как A(N+1) 
- продолжение разбиения A(N), N=1,2,..., то
последовательность проекторов П(N), N=1,2,..., монотонно
неубывает:  
и потому сходится (поточечно) к некоторому ортогональному проектору П. 
Так как  - множество
всех -измеримых
изображений и их пределов (в 
), а в силу леммы (*) для любого 
-измеримого изображения 
     , то для любого
изображения  
и для любого  
, ибо -измеримо, 
N=1,2,...           n
Вопрос о том, каким образом может быть построена исчерпывающая
последовательность разбиений, обсуждается в следующем пункте.
                 Заданы векторы f1,...,fq, требуется
определить разбиение 
, на множествах которого наилучшее приближение принимает соответственно
значенния f1,...,fq. Рассмотрим задачу
приближения цветного изображения f(×), в которой
задано не разбиение  
поля зрения X, а векторы  
в , и требуется
построить измеримое разбиение 
поля зрения, такое, что цветное изображение  
- наилучшая в  
аппроксимация f(×). Так как
     
     
     
     
     ,              (14*)
то в Ai следует отнести лишь те точки 
, для которых , 
=1,2,...,q, или, что то же самое, 
=1,2,...,q. Те точки, которые согласно этому принципу могут быть отнесены
к нескольким множествам, должны быть отнесены к одному из них по произволу.
Учитывая это, условимся считать, что запись
     
     
          ,           (14)
означает, что множества (14) не пересекаются и .
Чтобы сформулировать этот результат в терминах морфологического анализа,
рассмотрим разбиение 
, в котором
                                                                           
     
                              (15)
и звездочка указывает на договоренность, принятую в (14). Определим оператор 
F, действующий из  
в  по формуле 
, , i=1,...,
q. Очевидно, F всегда можно согласовать с (14) так, чтобы
включения  и 
, i=1,...,q, можно было считать эквивалентными. 
[8]
     Теорема 2.     Пусть   - заданные векторы Rn. Решение задачи
                    
     наилучшего в  
приближения изображения f(×) изображениями  
имеет вид , 
где  - 
индикаторная функция множества 
. Множество  
определено равенством (15). Нелинейный оператор 
, как всякий оператор наилучшего приближения удовлетворяет условию F2
=F, т.е. является пректором.
     Замечание 2. Если данные задачи доступны лишь в черно-белом
варианте, то есть заданы числа 
, i=1,...,q, которые можно считать упорядоченными согласно условию 
, то, как показано в [3], искомое разбиение X состоит из множеств
                                                                            
     
     
где , и имеет мало общего с разбиением (14).
     Замечание 3. Выберем векторы fi, i=1,..,q единичной длины: , i=1,...,q. Тогда
     .                 (16)
Множества (16) являются конусами в Rn , ограниченными
гиперплоскостями, проходящими через начало координат. Отсюда следует, что
соответствующее приближение  
изображения f(×) инвариантно относительно
произвольного преобразования последнего, не изменяющего его цвет (например 
), в частности, относительно образования теней на f(×)
.
     Замечание 4. Для любого заданного набора попарно различных векторов  
оператор F, приведенный в теореме 2, определяет форму
изображения, принимающего значения  
соответственно на измеримых множествах  
(любого) разбиения X. Всякое такое изображение является неподвижной (в 
) точкой F: ,
если , все они
изоморфны между собой. Если некоторые множества из  
- пустые, или нулевой меры, соответствующие изображения имеют более простую
форму.
Иначе говоря, в данном случае формой изображения  
является множество всех изображений, принимающих заданные значения  
на множествах положительной меры  
любого разбиения X, и их пределов в 
.
Теоремы 1 и 2 позволяют записать необходимые и достаточные условия наилучшего
приближения изображения f(×) изображениями 
, в котором требуется определить как векторы 
, так и множества  
так, чтобы
     
     
     .
Следствие 1.
     Пусть Di ,i=1,...,N, - подмножества Rn 
(15), П - ортогональный проектор (13), 
, где . 
Тогда необходимые и достаточные условия  
суть следующие: 
, где , 
.
Следующая рекуррентная процедура, полезная для уточнения приближений, получаемых
в теоремах 1,2, в некоторых случаях позволяет решать названную задачу. Пусть  
- исходные векторы в задаче (14*),  
- соответствующее оптимальное разбиение (14), F(1)- оператор
наилучшего приближения и  
- невязка. Воспользовавшись теоремой 1, определим для найденного разбиения  
оптимальные векторы 
. Согласно выражению (13) 
, и соответствующий оператор наилучшего приближения П(1) (13)
обеспечит не менее точное приближение f(×), чем 
F(1): 
. Выберем теперь в теореме 2 
, определим соответствующее оптимальное разбиение  
и построим оператор наилучшего приближения F(2). Тогда 
. На следующем шаге по разбиению  
строим  и
оператор П(3) и т.д.
В заключение этого пункта вернемся к вопросу о построении исчерпывающего 
-измеримого разбиения X, отвечающего заданной функции 
. Выберем произвольно попарно различные векторы 
из f(X) и построим по формуле (15) разбиение Rn 
. Для каждого q=1,2,... образуем разбиение E(N(q)), множества 
, j=1,...,N(q), которого образованы всеми попарно различными
пересечениями  
множеств из .
Последовательность соответствующих разбиений X 
, i=1,...,N(q), q=1,2...  
-измеримы и  
является продолжением 
5.2. Приближение изображениями, цвет которых постоянен на подмножествах
разбиения  поля
зрения X.
                 Задано разбиение 
, требуется определить цвет и распределение яркостей наилучшего приближения на
каждом Ai,i=1,...,N.
Для практики, как уже было отмечено, большой интерес представляет класс
изображений (5), цвет которых не изменяется в пределах некоторых подмножеств
поля зрения, и задачи аппроксимации произвольных изображений изображениями
такого класса.
Запишем изображение (5) в виде
                                                                     (17)
где  .
Пусть A1,...,AN - заданное разбиение X,  
- индикаторная функция Ai, i=1,...,N. Рассмотрим задачу
наилучшего в  
приближения изображения  
изображениями (17), не требуя, чтобы 
     
     
                            (18)
Речь идет о задаче аппроксимации произвольного изображения  
изображениями, у которых яркость может быть произвольной функцией из 
, в то время, как цвет должен сохранять постоянное значение на каждом из
заданных подмножеств A1,...,AN  поля зрения X
, (см. Лемму 3).
Так как
                                                                           
     
     
то минимум S (19) по   достигается при
     ,                                                       (20)
и равен
                                                                 (21)
Задача (18) тем самым сведена к задаче
     .                                    (22)
В связи с последней рассмотрим самосопряженный неотрицательно определенный
оператор  
      .                                                          (23)
Максимум (неотрицательной) квадратичной формы  
на сфере в R
n, как известно, (см.,например, [11]) достигается на собственном
векторе yi оператора Фi,
отвечающем максимальному собственному значению 
>0,
          ,          
и равен , т.е. 
. Следовательно, максимум в (22) равен  
и достигается, например, при 
     Теорема 3. Пусть A1,...,AN -заданное измеримое
разбиение X, причем[9] m(Ai
)>0, i=1,...,N. Решением задачи (18) наилучшего приближения изображения  
изображениями g(×) 
(17) является изображение
     
     
                               (24)
Операторы  ,
i=1,...,N, и  -
нелинейные (зависящие от f(×)
) проекторы: Пi проецирует в Rn векторы  
на линейное подпространство 
, натянутое на собственный вектор  
оператора Фi  (23), отвечающий наибольшему
собственному значению ri,
     ;                                                (25)
     П проецирует в  
изображение  
на минимальное линейное подпространство 
, содержащее все изображения 
Невязка наилучшего приближения
     
     
                               (19*).
Доказательство. Равентство (24) и выражение для Пi следует из
(17),(20) и решения задачи на собственные значения для оператора Ф
i (23). Поскольку Фi 
самосопряженный неотрицательно определенный оператор, то задача на собственные
значения (23) разрешима, все собственные значения Фi  
неотрицательны и среди них ri - наибольшее.
Для доказательства свойств операторов Пi, i=1,...,N, 
и П введем обозначения, указывающие на зависимость от f
(×):
                    
                                                               (26*)
Эти равенства, показывающие, что результат двукратного действия операторов П
i, i=1,...,N, и П (26) не отличается от результатата
однократного их действия, позволят считать операторы (26) проекторами.
Пусть fi - cсобственный вектор Ф
i , отвечающий максимальному собственному значению ri
. Чтобы определить  
следует решить задачу на собственные значения для оператора 
:
          .          
Поскольку rank=1,  
имеет единственное положительное собственное значение, которое, как нетрудно
проверить, равно ri, и ему соответствует единственный
собственный вектор fi. Поэтому
                                                                            
     
     .
Отсюда, в свою очередь, следует равенство (26*) для                               
n
     Лемма 4. Для любого изображения  
решение (24) задачи (18) наилучшего приближения единственно и
является элементом 
.
Доказательство. Достаточно доказать, что единственный (с точностью до
положительного множителя) собственный вектор fi 
оператора (23), отвечающий максимальному собственному значению ri
, можно выбрать так, чтобы 
, поскольку в таком случае будут выполнены импликации:
                                                                            
     
     ,
составляющие содержание леммы. Действительно, если  
то согласно (23) ,
поскольку включение  
означает, что
; отсюда и из (25) получим, что 
,i=1,...,N, а поэтому и в (24) 
.
Убедимся в неотрицательности 
. В ортонормированном базисе e1,...,en, в котором 
, выходной сигнал i-го детектора в точке  
(см. замечание 1) задача на собственные значения (23*) имеет вид 
, p=1,...,n,
где , .
Так как матрица  
симметрическая и неотрицательно определенная (
) она имеет n неотрицательных собственных значений
, которым соответствуют n ортонормированных собственных векторов 
, а поскольку матричные элементы 
, то согласно теореме Фробенуса-Перрона максимальное собственное значение  
- алгебраически простое (некратное), а соответствующий собственный вектор можно
выбирать неотрицательным:
     . Следовательно,
вектор fi определен с точностью до
положительного множителя 
, .         n
     Замечание 4.
Если  , т.е. если
аппроксимируемое изображение на множествах того же разбиения 
имеет постоянный цвет, то в теореме 3 
, .
Наоборот, если , то
     , т.е.  определяется выражением (17), в котором  .
Итак, пусть в изображении g(×) (17) все векторы f1
,....,fN попарно не коллинеарны, тюею цвета всех подмножеств 
A1,...,AN попарно различны. Тогда форма в широком
смысле  
изображения (17) есть множество решений уравнения
     ,,                                                       (27)
где , fi 
- собственный вектор оператора Фi:  
, отвечающий максимальному собственному значению ri, 
i=1,...,N . В данном случае 
, если и только если выполнено равенство (27).
Оператор П (24), дающий решение задачи наилучшего приближения  
, естественно отождествить с формой в широком смысле изображения  
(17).
                 Заданы векторы цвета j1,..., jq,
требуется определить разбиение A1,..., Aq, на множествах
которого наилучшее приближение имеет соответственно цвета  j1,..., j
q и оптимальные распределения яркостей 
[10].
Речь идет о следующей задаче наилучшего в  приближения изображения 
     
     
     .           (28)
Рассмотрим вначале задачу (28) не требуя, чтобы . Так как для любого измеримого 
     
     
     ,              (29)
и достигается на
     ,                                               (30)
то, как нетрудно убедиться,
     
     
     ,                (31)
где звездочка * означает то же самое, что и в равенстве (14): точки x
ÎX, в которых выполняется равенство  
могут быть произвольно отнесены к одному из множеств Ai или 
Aj.
Пусть  - разбиение , в котором
     
     
                             (32)
а F: Rn-> Rn оператор, определенный условием
                              (33)
Тогда решение задачи (28) можно представить в виде
     ,                                        (34)
где  - индикаторная
функция множества Ai (31), i=1,...,q и F 
-оператор, действующий в  
по формуле (34) (см. сноску 4 на стр. 13).
Нетрудно убедиться, что задача на минимум (29) с условием физичности 
     
     
                   (35)
имеет решение
     
     
                     (36)
Соответственно решение задачи (28) с условием физичности имеет вид
     ,                                   (37)
где  - индикаторная функция множества
     
     
     ,                (38)
В ряде случаев для построения (34) полезно определить оператор F
+: Rn-> Rn, действующий
согласно формуле
                         (39)
где
     , так что ,i=1,...q.  (40)
Подытожим сказанное.
     Теорема 4. Решение задачи (28) наилучшего в 
приближения изображения  
изображениями на искомых множествах A1,...,Aq разбиения X
заданные цветами j1,..., jq 
соответственно, дается равенством (34), искомое разбиение A1,...,A
q определено в (31). Требование физичности наилучшего приближения
приводит к решению (37) и определяет искомое разбиение формулами 
(38). Решение (34) инвариантно относительно любого, а (37) -
относительно любого, сохраняющего физичность, преобразования, неизменяющего его
цвет.
     Формой в широком смысле изображения, имеющего заданный набор цветов  j
1,..., jq на некоторых множествах положительной
меры A1,...,Aq разбиение поля зрения можно назвать
оператор  (34), 
формой такого изображения является оператор F+ (37). 
Всякое такое изображение g(×), удовлетворяющее условиям
физичности (неотрицательности яркостей), удовлетворяет уравнению F
+g(×)=g(×), те из них, у которых m
(Ai)>0, i=1,...,q, изоморфны, остальные имеют более
простую форму.                                    n
В заключение этого раздела вернемся к понятию формы изображения, заданного с
точностью до произвольного, удовлетворяющего условиям физичности,
преобразования яркости. Речь идет о форме изображения 
, заданного распределением цвета 
, при произвольном (физичном) распределении яркости, например, 
. Для определения формы  
рассмотрим задачу наилучшего в  
приближения изображения  
такими изображениями
     ,                         (41)
     Теорема 5. Решение  задачи (41) дается равенством
     ,               (42)
     в котором , где  . Невязка приближения 
     ,                      (43)
(   !)                                                       n
     Определение. Формой изображения, заданного распределением цвета 
, назовем выпуклый, замкнутый конус изображений
                    
или - проектор  на .
Всякое изображение g(×),  распределение цвета которого есть 
j(×) и только такое изображение содержится в  
и является неподвижной точкой оператора
     : 
g(×) = g(×).
(#)
Поскольку на самом деле детали сцены, передаваемые распределением цвета j
(×), не представлены на изображении f(×) = f
(×)j(×) в той области поля зрения, в которой яркость f
(x)=0, xÎX, будем считать, что  
- форма любого изображения f(x) = f(x)j
(x),  f(x)>0, xÎX(modm), все такие
изображения изоморфны, а форма всякого изображения g(×),
удовлетворяющего уравнению (#), не сложнее, чем форма f
(×).
Замечание 5. Пусть j1,..., jN 
- исходный набор цветов, 
, A1,...,AN - соответствующее оптимальное
разбиение X, найденное в теореие 4 и
     ,                                              (34*)
- наилучшее приближение f(×). Тогда в равенстве (24)
     ,                                                                     (24*)
если A1,...,AN - исходное разбиение X в теореме
3. Наоборот, если A1,...,AN - заданное в теореме
3 разбиение X и f1,...,fN -
собственные векторы операторов Ф1,...,ФN (23)
соответственно, отвечающие максимальным собственным значениям, то f
1,...,fN  
и будет выполнено равенство (24), если в (34*) определить ji 
как цвет fi в (24), i=1,...,N.
Проверка этого замечания не представляет затруднений.
В. Случай, когда допускаются небольшие изменения цвета в пределах каждого A
i, i=1,...,N.
Разумеется, условие постоянства цвета на множествах Ai, i=1,...,N
, на практике может выполняться лишь с определенной точностью. Последнюю можно
повысить как путем перехода к более мелкому разбиению 
, так и допустив некоторые изменения цвета в пределах каждого Ai,
i=1,...,N, например, выбрав вместо (17) класс изображений
                                                             (17*)
в котором  в (3).
Поскольку в задаче наилучшего приближения f(×) 
изображениями этого класса предстоит найти  
, векторы  при любом 
i=1,...,N, можно считать ортогональными, определив
                                                                           
     
     ,                   (*)
из условия минимума невязки по 
. После этого для каждого i=1,...,N  векторы  
должны быть определены из условия
                             (**)
при дополнительном условии ортогональности
     . Решение этой задачи дается в следующей лемме
     Лемма 5. Пусть  
ортогональные собственные векторы оператора Фi  (23), 
упорядоченные по убыванию собственных значений:
          .          
     Тогда решение задачи (**) дается равенствами .
Доказательство. Заметим, что, поскольку Фi -
самосопряженный неотрицательно определенный оператор, его собственные значения
неотрицательны, а его собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы они
образовали ортогональный базис в Rn. Пусть P
i - ортогонально проецирует в Rn на линейную
оболочку  
собственных векторов  
и
[Pi Фi Pi] - сужение оператора P
i Фi Pi на 
. Тогда левая часть (*) равна следу оператора [Pi Фi P
i]
     , где  
- j-ое собственное значение оператора  
(см., например, [10]). Пусть 
. Тогда согласно теореме Пуанкаре, [10], 
, откуда следует утверждаемое в лемме.    ■
Воспользовавшись выражениями (*) и леммой 5, найдем, что в рассматриваемом
случае  имеет  место утверждение, аналогичное теореме 3.
     Теорема 3*. Наилучшее приближение любого изображения f
(×) изображениями (17*) имеет вид
          ,          
Где : ортогональный проектор на линейную оболочку , собственных векторов задачи
                                                                            
     
     .
     Невязка наилучшего приближения равна
     .                    n
Рассмотрим теперь задачу наилучшего приближения изображения f
(×) изображениями (17), в которых заданы и фиксированы векторы 
, и надлежит определить измеримое разбиение  
и функции , как
решение задачи
                                         (30)
При любом разбиении 
минимум в (30) по  
достигается при ,
определяемых равенством (20). В свою очередь, очевидно, что
                                                                           
     
                     (31)
где точки , в
которых выполняется равенство  
могут быть произвольно включены в одно из множеств : либо в 
, либо в . Это
соглашение отмечено звездочкой в (31).
Таким образом доказана
     Теорема 6. Пусть  заданные векторы Rn. Решением задачи (30) является изображение
          ,          
     где ортогональный проектор  
определен равенством (25), а  
- индикаторная функция множества (31), i=1,...,N.  Невязка
наилучшего приближения равна
     .                             n
     Замечание 5.  Так как при  
          ,          
то условия (31), определяющие разбиение , можно записать в виде
     ,                                             (32)
показывающем, что множество  
в (32) инвариантно относительно любого преобразования изображения 
, не изменяющего его цвет.
Теоремы 3 и 6 позволяют сформулировать необходимые и достаточные условия
наилучшего приближения изображения f(×) изображениями (17), при
котором должны быть найдены  
и ci0 , i=1,...,N, такие, что
     .
     Теорема 7. Для заданного изображения f(×)
определим множества  
равенствами (32), оператор П - равенством (24),   
- равенствами (25). Тогда 
     
     ,
     определено равенством (32), в котором  
- собственный вектор оператора Фi (23), 
отвечающий наибольшему собственному значению, причем в (23) 
, наконец,  
будет дано равенством (20), в котором 
, где  - 
собственный вектор оператора 
, отвечающий наибольшему собственному значению 
; наконец, 
     .            n
     Замечание 6. Следующая итерационная процедура полезна при отыскании 
: Для изображения f(×) зададим  
и по теореме 5 найдем  
и , затем по
теореме 3, используя  
найдем  и 
. После этого вновь воспользуемся теоремой 3 и по  
найдем  и  
и т.д. Построенная таким образом последовательность изображений  
очевидно обладает тем свойством, что числовая последовательность 
, k=1,2,.... монотонно не возрастает и, следовательно, сходится. К
сожалению ничего определенного нельзя сказать о сходимости последовательности 
.
Формы  (10) и  (9) удобно задавать операторами Пf  и П*f соответственно.
     Теорема 7. Форма  
в широком смысле изображения 
определяется ортогональным проектором П*f :
                                                                            
     
      ,
     при этом  и .
Доказательство. Так как для  
, то получаем первое утверждение. Для доказательства второго утверждения
рассмотрим выпуклую задачу на минимум 
, решение которой определяется условиями (см., например, [11]) 
     
     . Отсюда следует, что  и тем самым доказано и второе утверждение       n
     Замечание. Так как 
, где fi(x) - выходной сигнал i-го детектора в точке 
, причем fi(x)³0 ,i=1,...,n, и, следовательно
цвет  реальных
изображений непременно имеет неотрицательные 
, то для реальных изображений 
, условия  и 
, эквивалентны. Если же для некоторого 
, то условие  не
влечет . Заметим
также, что для изображений g(×), удовлетворяющих условию 
, всегда .
Для спектрозональных изображений характерна ситуация, при которой k 
детекторов регистрируют рассеянную объектами солнечную радиацию в диапазоне
видимого света, а остальные n-k регистрируют собственное тепловое
излучение объектов ( в инфракрасном диапазоне). В таком случае любое
изображение можно представить разложением
                                                                    (40)
В котором
     
     
     . Если ИК составляющей солнечного излучения можно пренебречь по сравнению
с собственным излучением объектов, то представляет интерес задача приближения
изображениями f(×) , в которых f1(
×) - любая неотрицательная функция из 
, j1(×) - фиксированное векторное поле цвета, 
f2(×) - термояркость, j2(
×) - термоцвет в точке 
. Форма П*f видимой компоненты f
(×) (40) определяется как оператор наилучшего приближения в задаче
     
     
     , в данном случае
     , причем П
*f действует фактически только на  "видимую компоненту" 
g(×), обращая "невидимую, ИК, компоненту" g(×) в ноль.
Форма ИК компоненты f(×) может быть определена лишь тогда,
когда известно множество возможных преобразований j2(
×) f2(×).
     Некоторые применения.
     Задачи идентификации сцен.
Рассмотрим вначале задачи идентификации сцен по их изображения, неискаженным
геометрическими преобразованиями, поворотами, изменениями масштаба и т.д.
Ограничимся задачами, в которых предъявляемые для анализа изображения
получены при изменяющихся и неконтролируемых условиях освещения и неизвестных
и, вообще говоря, различных оптических характеристиках сцены.
1). Задачи идентификации при произвольно меняющейся интенсивности освещения.
Можно ли считать f(×) и g(×)
изображениями одной и той же сцены, возможно, отличающимя лишь распределениями
яркости, например, наличием теней?
В простейшем случае для идентификации достаточно воспользоваться теоремой 5, а
именно, f(×) и g(×) можно считать
изображениями одной и той же сцены, если существует распределение цвета 
, для которого v(j(×)) содержит f(×) и 
g(×). Если 
, и , то, очевидно,
существует , при
котором f(xv(j(×)), g(xv(j(×)), а именно, 
, , если 
, , если 
, и, наконец,  -
произвольно, если 
.
На практике удобнее использовать другой подход, позволяющий одновременно решать
задачи совмещения изображений и выделения объектов. Можно ли, например, считать 
g(×) изображением сцены, представленной изображением f
(×)? Ответ следует считать утвердительным, если
     
     
     .
Здесь j(×) - распределение цвета на изображении f
(×), символ ~0 означает, что значение d(g(×))
можно объяснить наличием шума, каких-либо других погрешностей, или, наконец, -
наличием или, наоборот, отсутствием объектов объясняющим несовпадение g
(×) и f(×) с точностью до преобразования
распределения яркостей. Такие объекты, изменившие распределение цвета g
(×) по сравнению с распределением цвета f(×),
представлены в .
2).Идентификация при произвольном изменении распределения интенсивности и
пространственно однородном изменении спектрального состава освещения.
Можно ли считать изображением сцены, представленной на изображении f
(×), изображение, полученное при изменившихся условиях регистрации,
например, перемещением или изменением теней и изменением спектрального состава
освещения?
Пусть П - форма в широком смысле изображения f(×),
определенная в теореме @, П* - форма f
(×). Тогда ответ на поставленный вопрос можно считать утвердительным, если 
. Если изменение g(×) обусловлено не только изменившимися
условиями регистрации, но также появлением и (или) исчезновением некоторых
объектов, то изменения, обусловленные этим последним обстоятельством будут
представлены на .
3). Задачи совмещения изображений и поиска фрагмента.
Пусть f(×) - заданное изображение, AÌX -
подмножество поля зрения, cA(×) - его индикатор, c
A(×)f(×) -назовем фрагментом изображения 
f(×) на подмножестве A, представляющем выделенный фрагмент
сцены, изображенной на f(×). Пусть g
(×) - изображение той же сцены, полученное при других условиях, в
частности, например, сдвинутое, повернутое, т.е. геометрически искаженное по
сравнению с f(×). Задача состоит в том, чтобы указать на 
g(×) фрагмент изображения, представляющий на f
(×) фрагмент сцены и совместить его с cA(×)f
(×).
Ограничимся случаем, когда упомянутые геометрические искажения можно
моделировать группой преобразований R2->R2,
преобразование изображения  
назовем сдвигом g(×) на h. Здесь
     Q(h): Rn->Rn, hÎH, - группа операторов. Векторный сдвиг на ÎH даст
     
     
     .
В задаче выделения и совмещения фрагмента рассмотрим фрагмент сдвинутого на 
h изображения g(×) в “окне” A:
                                                                                            
(100)
причем, поскольку  
где  то в (100)  
- ограничение на сдвиг “окна” А, которое должно оставаться в пределах
поля зрения X.
Если кроме цвета g(×) может отличаться от f
(×), скажем, произвольным преобразованием распределения яркости при
неизменном распределении цвета и  
- форма фрагмента f(×), то задача выделения и совмещения
фрагмента сводится к следующей задаче на минимум
     
     
     .(101)
При этом считается, что фрагмент изображения g(×),
соответствующий фрагменту cA(×)f
(×), будет помещен в “окно”.А путем соответствующего сдвига h=h
*,  совпадает с cA(×)f(×)  
с точностью до некоторого преобразования распределения яркости на нем. Это
означает, что
          .          
т.е. в (101) при h=h* достигается минимум.
4). В ряде случаев возникает следующая задача анализа спектрозональных
изображений: выделить объекты которые “видны”, скажем, в первом канале и “не
видны” в остальных.
Рассмотрим два изображения  
и . Определим форму
в широком смысле  
как множество всех линейных преобразований 
:  (A - 
линейный оператор R2->R2, не зависящий от 
xÎX). Для определения проектора на  
рассмотрим задачу на минимум
     
     
     .        [*]
Пусть , 
, тогда задача на минимум [*] эквивалентна следующей: tr A*AS -
2trAB ~ 
. Ее решение  
(знаком - обозначено псевдообращение).
     =
     =
                              
                                  Рис.1.                                  
     fe - вектор выходных сигналов детекторов, отвечающий излучению
e(×), je - его цвет; j1,j2,j
3, - векторы (цвета) базовых излучений, b - белый цвет, конец
вектора b находится на пересечении биссектрис.
     
     
Литература.
[1] Пытьев Ю.П. Морфологические понятия в задачах анализа изображений, -
Докл. АН СССР, 1975, т. 224, №6, сс. 1283-1286.
[2]  Пытьев Ю.П. Морфологический анализ изображений, - Докл. АН СССР, 1983,
т. 296, №5, сс. 1061-1064.
[3]  Пытьев Ю.П. Задачи морфологического анализа изображений, -
Математические методы исследования природных ресурсов земли из космоса, ред.
Золотухин В.Г., Наука, Москва, 1984, сс. хххх-ххххх.
[4]  Пытьев Ю.П., Чуличков А.И. ЭВМ анализирует форму изображения, -
Знание,сер. Математика, Кибернентика, Москва, 1988, 47 стр.
[5] Yu.P.Pyt’ev. Morphological Image Analysis, Patt. Recogn. and Image
Analysis, 1993, v.3, #1, pp.19-28.
[6]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П. Спецпроцессоры реального времени для
морфологического анализа реальных сцен. Обработка изображений и дистанционное
исследования, -Новосибирск, 1981, сс. 87-89.
[7]  Антонюк В.А., Пытьев Ю.П., Рау Э.И. Автоматизация визуального контроля
изделий микроэлектроники,Радиотехника и электроника, 1985, т. ХХХ,№12, сс.
2456-2458.
[8]  Ермолаев А.Г., Пытьев Ю.П. Априорные оценки полезного сигнала для
морфологических решающих алглритмов, - Автоматизация, 1984, №5, сс. 118-120.
[9]  Пытьев Ю.П, Задорожный С.С., Лукьянов А.Е. Об автоматизации
сравнительного морфологического анализа электронномикроскопических
изображений, - Изв. АН СССР, сер. физическая, 1977, т. 41, №11, сс. хххх-
хххх.
[10] A.A. Stepanov, S.Yu. Zheltov, Yu.V. Visilter. Shape analysis using
Pyt'ev morphological paradigm and its using in machine vision. Proc. SPIE -
Th. Intern. Soc. For Optical Engineering Videometrics III, 1994, v. 2350, pp.
163-167.
[11] Пытьев Ю.П.. Математические методы интерпретации эксперимента, Высшая
школа, 351 стр., 1989.
[12] Майзель С.О. Ратхер Е.С. Цветовые расчеты и измерения.
М:Л:Госэнергоиздат 1941, (Труды всесоюзного электротехнического института,
вып.56).
[13] P. Kronberg. Fernerkundung der Erde Ferdinand Enke. Verlag Stuthgart 1985.
     
[1] Например, в связи с изменением времени суток, погоды, времени года и т.п. [2] Фрагмент морфологического анализа цветных изображений содержится в работе[3]. [3] вектор fe будет иметь отрицательные координаты, если он не принадлежит выпуклому конусу [4]черта символизирует замыкание, - выпуклый замкнутый конус в Rn. [5] Если - более детальное изображение , то некоторые A(j) могут “ращепиться” на несколько подмножеств (), на каждом из которых цвет постоянный, но различный на разных подмножествах (). Однако, поскольку форма обычно строится исходя из данного изображения f(×), v(f(×)) не может содержать изображения, которые более детально характеризуют изображенную сцену. [6] Для простоты яркость изображения считается положительной в каждой точке поля зрения Х. [7]- класс неотрицательных функций принадлежащих . [8]Одна и та же буква F использована как для оператора , так и для оператора . Эта вольность не должна вызывать недоразумения и часто используется в работе. [9]Если m(As)=0, то в задаче наилучшего приближения (18) цвет и распределение яркости на As можно считать произвольными, поскольку их значения не влияют на величину невязки s. [10]Векторы j1,..., j q выбираются, например, сообразно цветам объектов, представляющих интерес.