Каталог :: Математика

Курсовая: Курсовая работа по прикладной математике

Министерство общего и профессионального образования

Российской Федерации ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ ИНСТИТУТ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ Контрольная работа по дисциплине «Прикладная математика» Специальность Бухгалтерский учет и аудит Курс 2 Группа БуиА-6-99/2 Студент

Студенческий билет №

ВАРИАНТ №25

Адрес

« » мая 2001г. Проверил: ____________________/ / «___»_______________2001г. Москва 2001г. Задача №1. Линейная производственная задача. Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли 4 0 8 7 316 А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29) 5 6 3 2 199 Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль z=31х1+10х2+41х3+29х4 Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу 4х1+0х2+8х3+7х4≤316 Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу 3х1+2х2+5х34≤216 Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу 5х1+6х2+3х3+2х4≤199 Имеем 4х1+0х2+8х3+7х4≤316 3х1+2х2+5х34≤216 (1) 5х1+6х2+3х3+2х4≤199 где по смыслу задачи х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0. (2) Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений 4х1+0х2+8х3+7х45=316 (I) 3х1+2х2+5х3+ х46=216 (II) (3) 5х1+6х2+3х3+2х47=199 (III) где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно х5 – остаток сырья 1-го вида, х6 – остаток сырья 2-го вида, х7 – остаток сырья 3-го вида. Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4 ≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4) надо найти то решение, при котором функция z=31х1+10х2+41х3+29х4 будет иметь наибольшее значение Организуем направленный перебор базисных решений при помощи симплекс метода. Из функции z(x) видно, что наиболее выгодно начать производство с 3-го ресурса. Найдем ведущее уравнение: bi 316 216 199 316 min ------- = ----- ----- ----- = ----- ai3>0 8 5 3 8 Примем I-е уравнение за ведущее. Решаем симплекс методом:
С

Базис

Н31104129000Поясне-ния

х1

х2

х3

х4

х5

х6

х7

0

х5

3164087100
0

х6

2163251010
0

х7

1995632001

z0-z

0-z-31-10-41-29000
41

х3

39,51/2017/81/800

0

х6

18,51/220-27/8-5/810
0

х7

80,57/260-5/8-3/801

z0-z

1619,5-21/2-10055/841/800
41

х3

280-6/7154/5610/560-1/7Все ∆j≥0
0

х6

708/70-23/7-4/71-1/7
31

х1

23112/70-10/56-6/5602/7

z0-z

18610805403
Оптимальная производственная программа: х1=23, х2=0, х3=28, х4=0 Остатки ресурсов: Первого вида – х5=0; Второго вида – х6=7; Третьего вида – х7=0 Максимальная прибыль zmax=1861 Обращенный базис Q-1 10/56 0 -1/7 Q-1= -4/7 1 -1/7 -6/56 0 2/7 х5 х6 х7 Базис Q 8 0 4 Q= 5 1 3 3 0 5 х3 х6 х1 Самопроверка. 10/56•8+0•5-1/7•3 10/56•0+0•1-1/7•0 10/56•4+0•3-1/7•5 1 0 0 Q-1 •Q= -4/7•8+1•5-1/7•3 -4/7•0+1•1-1/7•0 -4/7•4+1•3-1/7•5 = 0 1 0 -6/56•8+0•5+2/7•3 -6/56•0+0•1+2/7•0 -6/56•4+0•3+2/7•5 0 0 1
10/56•316+0•216-1/7•199 28 Q-1 •B= -4/7•316+1•216-1/7•199 = 7 -6/56•316+0•216+2/7•199 23 Задача №2. Двойственная задача. Предприниматель Петров, занимающийся производством других видов продукции, но с использованием 3-х таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам продать ему по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает заплатить у1 за каждую единицу 1-го ресурса у2 за каждую единицу 2-го ресурса у3 за каждую единицу 3-го ресурса. В нашей задаче технологическая матрица А, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С имеют вид 4 0 8 7 316 А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29) 5 6 3 2 199 для производства единицы продукции 1-го вида мы должны затратить, как видно из матрицы А 4 единицы ресурса 1-го вида, 3 единицы ресурса 2-го вида, 5 единиц ресурса 3-го вида. В ценах у1, у2, у3 наши затраты составят 4у1+3у2+5у3≥31 Аналогично, во 2-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 2-го вида 2у2+6у3≥10 Аналогично, в 3-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 3-го вида 8у1+5у2+3у3≥41 Аналогично, в 4-м столбце матрицы А указаны затраты различных ресурсов на производство единицы продукции 4-го вида 7у12+2у3≥29 Учтем, что за все имеющиеся у нас ресурсы нам должны заплатить 316у1+216у2+199у3 Таким образом, проблема определения расчетных оценок ресурсов приводит к задаче линейного программирования: найти вектор двойственных оценок У=(у1, у2, у3) Минимизирующий общую оценку всех ресурсов f=316у1+216у2+199у3 при условии, что по каждому виду продукции суммарная оценка всех ресурсов, затрачиваемых на производство единицы продукции, не меньше прибыли, получаемой от реализации единицы этой продукции: 4у1+3у2+5у3≥31 2у2+6у3≥10 8у1+5у2+3у3≥41 7у12+2у3≥29 При этом оценки ресурсов не могут быть отрицательными у1≥0, у2≥0, у3≥0 На основании 2-й основной теоремы двойственности Х=(х1, х2, х3, х4) и у=(у1, у2, у3) Необходимо и достаточно выполнения условий х1(4у1+3у2+5у3-31)=0 х2(2у2+6у3-10)=0 х3(8у1+5у2+3у3-41)=0 х4(7у12+2у3-29)=0 Учитывая, что в решении исходной задачи х1>0, x3>0 Поэтому 4у1+3у2+5у3-31=0 8у1+5у2+3у3-41=0 Учтем, что 2-й ресурс был избыточным и, согласно теореме двойственности, его двойственная оценка равна нулю у2=0 Имеем систему уравнений 4у1+3у2+5у3-31=0 8у1+5у2+3у3-41=0 Решим систему: 4у1+5у3=31 у1=(31-5у3)/4 8((31-5у3)/4)+3у3=41 -7у3=-21 у1=(31-15)/4 откуда следует у1=4, у3=3 Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов у1=4, у2=0, у3=3 Общая оценка всех ресурсов f=316у1+216у2+199у3 f=1264+0+597=1861 Задача №2.1. Задача о «расшивке узких мест производства». При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя «узкие места производства». Их необходимо заказать дополнительно. Пусть Т=(t1, 0, t3) – вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие Н+ Q-1Т≥0 Необходимо найти вектор Т=(t1, 0, t3) максимизирующий суммарный прирост прибыли w=4t1+3t3 28 10/56 0 -1/7 t1 0 7 + -4/7 1 -1/7 · 0 ≥ 0 23 -6/56 0 2/7 t3 0 Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида t1 316 0 ≤ 1/3 216 t3 199 где t1≥0, t3≥0 10/56t1-1/7t3≥-28 -4/7t1-1/7t3≥-7 -6/56t1+2/7t3≥-23
-10/56t1+1/7t3≤28 4/7t1+1/7t3≤7 6/56t1-2/7t3≤23 t1≤316/3, t3≤199/3 t1≥0, t3≥0

t1

t3

I

-156,8

0

I

0

196

II

12,25

0

II

0

49

III

214,66

0

III

0

-80,5

IV

105,33

0

V

0

66,33

Программа расшивки имеет вид t1=0, t2=0, t3=49 и прирост прибыли составляет w=4t1+3t3=3∙49=147 Сводка результатов приведена в таблице:

Сj

31104129b

x4+i

yi

ti

aij

4087316040
3251216700
56321990349

xj

2302801861147

j

0805
Задача №3. Транспортная задача линейного программирования. Исходные данные: 31 40 41 49 45 4 5 8 6 60 3 2 5 1 65 5 6 3 2 Общий объем производства ∑аi=45+60+65=170 единиц продукции. Потребителям требуется ∑bi=31+40+41+49=161 единиц продукции. Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило «северо-западного угла».

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3114*

p1=0

a2=60

2634

p2=-3

a3=65

7499

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=9 z(x1)=31·4+14·5+26·2+34·5+7·3+49·2+9·0=535

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3159

p1=0

a2=60

3525*

p2=-3

a3=65

16499

p3=-5

q1=4

q2=5

q3=8

q4=7

q5=5

Θ=25 z(x2)=31·4+5·5+35·2+25·5+16·3+49·2+9·0=490

b1=31

b2=40

b3=41

b4=49

b5=9

a1=45

3159

p1=0

a2=60

3525

p2=-3

a3=65

4124

p3=-2

q1=4

q2=5

q3=5

q4=4

q5=

z(x3)=31·4+5·5+35·2+25·1+41·3+24·2+9·0=415 Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений. Исходные данные:

xj

0100200300400500600700

f1(xj)

010233038434952

f2(xj)

013253748556166

f3(xj)

016303744485049

f4(xj)

010172329343841
Для решения используем метод «северо-восточной диагонали».

-x2

0100200300400500600700

x2

010233038434952
00010233038434952
1001313233643515662
20025253548556368
300373747606775
4004848587178
50055556578
600616171
7006666
0100200300400500600700

F2( )

013253748607178

x2( )

0100200300200300400500

-x3

0100200300400500600700

x3

013253748607178
00013253748607178
1001616294153647687
20030304355677890
300373750627485
4004444576981
50048486173
600505063
7004949
0100200300400500600700

F3( )

016304355677890

x3( )

0100200200200200200200

-x4

0100200300400500600700

x4

016304355677890
00090
1001088
2001784
3002378
4002972
5003464
6003854
7004141
x4*=x4(700)=0 x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200 x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300 x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200 x1=200 x2=300 x3=200 x4=0 Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Исходные данные:

m0

m1

m2

s1

s2

24678
Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами? 4 49 0 m0=2, М= , V= 6 0 64 Зададимся эффективностью портфеля mp Найдем обратную матрицу к V 1/49 0 V-1= 0 1/64 далее 4 1 M = I = 6 1
1/49 0 4 2 1/49 0 2 2/49 V-1(M-m0I)= · - = · = 0 1/64 6 2 0 1/64 4 1/16 2/49 (M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) · = 65/196 1/16 Рисковые доли: x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12 x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19 Безрисковая доля: x0*=1-(mp-2) 0,31 Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale: (mp-2) 0,31=1 mp-2=1/0,31 mp=3,21+2 mp=5,21 Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale. Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций. Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции. (0, 1/5), (2, 2/5), (10, 1/5), (28, 1/5) (-6, 1/5), (-5, 2/5), (-1, 1/5), (8, 1/5) (0, 1/2), (16, 1/8), (32, 1/8), (40, 1/4) (-6, 1/2), (2, 1/8), (10, 1/8), (14, 1/4)

Q1

021028
1/52/51/51/5

Q2

-6-5-18
1/52/51/51/5

Q3

0163240
1/21/81/81/4

Q4

-621014
1/21/81/8¼
Q1=8,4 r1=10,4 Q2=-1,8 r2=4,7 Q3=16 r3=17,4 Q4=2 r4=8,7 j(Q1)=2 Q1-r1=6,4 j(Q2)=2 Q2-r2=-8,3 j(Q3)=2 Q3-r3=14,6 j(Q4)=2 Q4-r4=-4,7 Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2. Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.