Каталог :: Математика

Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

             Магнитогорский государственный технический университет             
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
                                              Подготовил: Григоренко М.В.
                                                    Студент группы ФГК-98
                               Магнитогорск –1999                               
     

Ведение

Для решения были предложены следующие уравнения: x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция (¦(x) = x3 – 4x – 2 и ¦(x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции. Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (–¥ ; ¥). Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму: 1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции ¦(x1) и ¦(x2) разных знаков. Так как функция ¦(x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2. 2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ¦(x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;¦(x1)) и B(x2; ¦(x 2)), в каноническом виде: ; Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1: 3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ¦(а1). Если на данном отрезке мы имеем ¦(x1)<0, ¦(x2)>0 и ¦(a1)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если ¦(x1)>0, ¦(x2 )<0 и ¦(a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1 ;a1]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д.

Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0

¦(x) = x3 – 4x – 2, ¦¢(x) = 3x2 – 4, производная меняет знак в точках ¦¢(x) + – + ¦(x) х функция ¦(x) монотонно возрастает при xÎ(–¥; ] и при хÎ[ ;¥), и монотонно убывает при xÎ[ ;]. Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню. Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение ¦(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки: ¦(–2)= –2, ¦(–1)= 1, ¦(0)= –2, ¦(1)= –5, ¦(2)= –2, ¦(3)= 13. Таким образом, корни находятся в интервалах (–2;–1), (–1;0), (2;3). Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:

a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000

a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000

a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000

a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000

a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000

a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000

a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000

a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000

Для (–2;–1): Для (–1;0): a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000 a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333 a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000 a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653 a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394 a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195 a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423 a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488 a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506 a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511 a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513 для (2;3) a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000 a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000 a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000 a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000 a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000 a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000 a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000 a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000 a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000 a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000 Приближенным значением корня уравнения на отрезке (–2;–1) является x = –1,6751