Каталог :: Математика

Лекция: Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний

2. Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не
отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных
уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов,
положенных в основу работы объекта.
Рассмотрим электромеханическую систему, состоящую из двигателя постоянного
тока с независимым возбуждением, работающего на инерционную нагрузку с вязким
трением. Управляющим воздействием для двигателя считаем напряжение на якоре
U(t), выходной координатой, угол поворота вала двигателя y(t)=j(t). Уравнение
электрической цепи имеет вид
          ,          
где  - противо ЭДС,  
- угловая скорость вала двигателя,  
- единый электромагнитный коэффициент.
Уравнение моментов будет иметь следующий вид
          ,          
где , J - момент
инерции нагрузки, приведенный к валу двигателя, f - коэффициент вязкого трения.
Выберем следующие переменные состояния: х1=i, x2=w, x3=j.
Получим
          ,          
          .          
Запишем эти уравнения относительно переменных , , 
          ,          
          ,          
          ,          
          .          
Запишем матричные уравнения
          ,          
          ,          
где
     ,             ,                    .
Рассмотрим структурную схему электромеханической системы с двигателем
постоянного тока, работающего на инерционную нагрузку с вязким трением.
                              
Рис. 2.1. Структурная схема электромеханической системы с двигателем
постоянного тока
Запишем уравнение состояния для механической системы, представляющей собой
груз массой m, подвешенный на пружине и соединенный с гидравлическим
демпфером. К грузу приложена сила P(t), выходная переменная перемещения x(t),
управляющие воздействия U(t)=P(t). Уравнение движения груза получаем из
уравнения равновесия сил
          ,          
где  - инерционная
сила, f - коэффициент вязкого трения,  
- сила сопротивления демпфера,  
- сила сопротивления пружины.
Выбираем в качестве переменных состояния x(t) и  
- перемещение и скорость перемещения соответственно.
                              
Рис. 2.2. Механическая система, включающая в своем составе пружину, массу и
вязкий демпфер
Так как дифференциальное уравнение имеет второй порядок, то и количество
переменных состояния будет равно двум. Исходное уравнение движения груза
можно записать в виде двух уравнений
                    
где U(t)=P(t) - управляющее воздействие.
Добавим к этим уравнениям следующее уравнение выхода
          .          
Эти уравнения представляют собой уравнения состояния приведенной механической
системы. Запишем эти уравнения состояния в матричном виде
          ,          
          .          
Запишем это уравнение в другом виде
          ,          
          ,          
где , , , , .
С данным уравнением состояния можно сопоставлять следующую структурную схему,
где двойными линиями показаны векторные переменные.
                              
                           Рис. 2.3. Структурная схема                           
Пример: Рассмотрим электрическую цепь и получим уравнение состояния RLC цепи
                                
                               Рис. 2.4. RLC цепь                               
Динамическое поведение этой электрической системы полностью определяется при
t³t0, если известны начальные значения: i(t0), e
c(t0) и входное напряжение e(t) при t³t0,
следовательно, эта система полностью определяется переменными состояния i(t) и
ec(t). При указанных переменных состояния i(t) и ec(t)
имеем следующие уравнения
                    
где , .
Введем следующие обозначения
                      
В соответствии с этими обозначениями получаем
                    
причем .
Следовательно, для электрической цепи запишем эту систему в векторно-
матричном виде
          ,          
          .          
Запишем матричные уравнения
          ,          
          ,          
где , , , .