Каталог :: Математика

Реферат: Лаплас

О ранних годах жизни Лапласа известно очень мало. Его родителями были
крестьяне, жившие в Бомон-ан-Ож, во французском департаменте Кальвадос. Пьер
Симон родился 23-го марта 1749 г. Неясность, окутывающая его детство и
юность, создана им самим: он очень стеснялся своих скромных родителей и при
своем непре­оборимом снобизме делал все, что было в его силах, чтобы скрыть
свое крестьянское происхождение.
Лапласу повезло благодаря дружескому интересу, проявленному к нему со стороны
его состоятельных соседей, появившемуся, веро­ятно, в связи сего незаурядными
способностями, обнаруженными в сельской школе. Говорят, его первые успехи
были связаны с бого­словскими диспутами. Если это так, то это интересная
прелюдия к несколько агрессивному атеизму его зрелых лет. Он рано по­любил
математику. В Бомоне была Военная академия, в которой Лаплас учился экстерном
и впоследствии некоторое время препо­давал математику. Одна сомнительная
легенда сообщает, что фено­менальная память молодого человека привлекала
гораздо больше внимания, чем его математические способности, и что благодаря
ей Лаплас получил искренние рекомендации влиятельных людей, которые он привез
с собой в Париж, когда в возрасте 18 лет на­всегда отряхнул со своих ботинок
пыль Бомона и направился ис­кать свое счастье. Его собственное мнение о своих
способностях было довольно высоким. Уверенный в себе молодой Лаплас вторг­ся
в Париж, чтобы завоевать математический мир.
Прибыв в Париж, Лаплас пришел с визитом к Даламберу, но не был принят.
Даламбер не интересовался молодыми людьми, которые приходили к нему только с
рекомендациями от видных лю­дей. С удивительной для юноши проницательностью
Лаплас понял, в чем беда. Вернувшись на свою квартиру, он написал Даламберу
письмо об общих принципах механики. Это сработало. В ответном письме,
приглашая Лапласа прийти, Даламбер писал: «Сударь, Вы заметили, что я не
обратил внимания на Ваши рекомендации; Вы в них не нуждаетесь. Вы сами лучше
представили себя. Этого для меня достаточно». Несколькими днями позже
благодаря содейст­вию Даламбера Лаплас был назначен преподавателем математики
Военной школы в Париже.
После этого Лаплас погрузился в дело своей жизни: детальное применение
ньютоновского закона тяготения к Солнечной системе в целом. Если бы он не
сделал ничего больше, то и этого было до­статочно, чтоб прославиться. Тип
человека, на которого хотел бы быть похожим Лаплас, описан им в письме 1777
г. (когда ему было 27 лет) к Даламберу. Изображение Лапласом самого себя
представ­ляет удивительнейшую смесь действительности и фантазии, к ко­торой
когда-либо приходил человек посредством самоанализа.
«Я всегда занимался математикой скорее по склонности, чем из тщеславного
желания приобрести репутацию, — заявляет он. — Мое любимое развлечение —
изучать ход мыслей первооткрывате­лей, выявлять их гений в умении
сосредоточиться и одолеть препят­ствия, с которыми они сталкивались. Я ставлю
себя на их место и спрашиваю себя, как бы я преодолевал эти нагромождения
препят­ствий; и хотя такой мысленный эксперимент в большинстве случаев только
уязвляет мое самолюбие, все же удовольствие радоваться их успеху обильно
вознаграждает меня за небольшое унижение. Если я буду удачливым настолько,
что прибавлю что-нибудь к их делам, я отнесу все заслуги их пионерским
усилиям, вполне уверенный, что они на моем месте пошли бы намного дальше, чем
я».
Можно согласиться с первой фразой. Но как быть с остальными, особенно
благородным противопоставлением собственных «скром­ных» успехов
предварительным трудам предшественников. Ничего не может быть более далеким
от истины, чем это откровенное при­знание того, что он был многим обязан
другим. Чтобы назвать бе­лое белым, а черное — черным, скажем, что Лаплас
отчаянно заим­ствовал налево и направо все, что попадало ему в руки, и что он
мог использовать и у современников и у предшественников. У Лагранжа,
например, он заимствовал фундаментальное понятие потенциа­ла; у Лежандра —
все, что ему нужно было из анализа; наконец, в своем шедевре «Небесная
меха­ника» он опустил ссылки на труды других ученых с намерением создать у
потомков впечатление, что он один создал математичес­кую теорию неба.
(Разумеется, он не мог избежать нескольких упоминаний о Ньютоне.) Быть столь
неблагородным у Лапласа не было необходимости. Его собственный колоссальный
вклад в механику Солнечной системы легко затмевает труды других уче­ных,
имена которых он игнорировал.
Сложность и трудность проблемы, которую решал Лаплас, не­возможно объяснить
тому, кто не сталкивался с задачами подоб­ного масштаба. Ему предстояло
вывести из закона Ньютона все со­ставные эффекты возмущений всех членов
Солнечной системы друг от друга и от Солнца. Будет ли Сатурн, несмотря на
свое явное ус­тойчивое удаление от среднего движения, оставаться членом
Сол­нечной системы или он уйдет в мировое пространство? Или приве­дут ли
ускорения Юпитера и Луны, в конечном счете, к падению первого на Солнце, а
вторую к тому, что она врежется в Землю? Являются ли эффекты этих возмущений
накопляющимися и рассеи­вающимися или же периодическими и сохраняющимися? Эти
и подоб­ные загадки были лишь деталями великой проблемы: устойчива или
неустойчива Солнечная система? При этом предполагается, что ньютонов закон
тяготения является действительно универсальным и что только он управляет
движением планет.
Первый важный шаг Лапласа к решению общей проблемы был сделан в 1773 г.,
когда ему было 24 года. Он показал, что средние расстояния планет от Солнца
являются неизменными, если не счи­тать небольших периодических изменений.
Когда Лаплас приступил к проблеме устойчивости Солнечной системы, мнение
специалистов было в лучшем случае неопределен­ным. Сам Ньютон полагал, что
время от времени может оказаться необходимым божественное вмешательство,
чтобы восстановить по­рядок в Солнечной системе и предотвратить ее разрушение
или распад. Другие, подобно Эйлеру, под впечатлением теории Луны (движения
Луны) несколько сомневались, можно ли движения пла­нет и их спутников
рассчитать, исходя из предположения Ньютона. Силы, влияющие на движения
небесных тел, слишком многочислен­ны, а их взаимное наложение слишком сложно
для приемлемой бла­гоприятной догадки. До тех пор, пока Лаплас не доказал
устойчи­вости Солнечной системы, предположение одного ученого не имело
предпочтения перед предположением другого.
Следует отметить, что решение Лапласа проблемы устойчиво­сти годится лишь для
сильно идеализированной Солнечной систе­мы, такой, какой ее воображали Ньютон
и Лаплас. Приливное тре­ние (действующее подобно тормозу на суточное
вращение), как и другие факторы, не принималось во внимание. С тех пор как
«Не­бесная механика» была опубликована, мы узнали многое о Солнеч­ной системе
и все то в ней, что игнорировалось Лапласом. Вероятно, не будет
преувеличением сказать, что для существующей в дейст­вительности Солнечной
системы, как противопоставляемой идеаль­ной лапласовой, проблема устойчивости
все еще остается открытой. Однако специалисты по небесной механике могут не
согласиться с этим, а компетентное мнение можно получить только от них.
После такого блестящего начала Лаплас был вознагражден пер­вой существенной
почестью, будучи в возрасте лишь 24 лет, — из­бранием членом Академии наук.
Его последующая научная жизнь была подытожена Фурье: «Лаплас придавал всем
своим работам по­стоянное направление, от которого никогда не отклонялся;
неиз­менность взглядов была всегда основной чертой его гения. Он был уже
виртуозом в математическом анализе [когда занялся исследова­нием Солнечной
системы], овладев всеми его тонкостями, и никто не был более компетентным,
чем он, чтобы расширить эту область. Он решил главную проблему астрономии [о
чем сообщил академии в 1773 г.] и посвятил весь свой талант математической
астрономии, которую он был призван усовершенствовать. Он глубоко размыш­лял
над своим великим проектом и всю жизнь улучшал его с настой­чивостью,
уникальной в истории науки. Обширность предмета льстила гордости его гения.
Он взялся написать «Альмагест» своего времени — «Небесную механику», — и его
бессмертный труд по­ставил его настолько выше Птолемея, насколько
аналитическая наука [математический анализ] превосходит «Начала» Евклида».
Это совершенно справедливо. Что бы Лаплас ни делал в мате­матике, все было
предназначено в помощь решению грандиозной проблемы. Лаплас являет собой
образец мудрости — для гениаль­ного человека — тем, что он направил все свои
силы к единствен­ной центральной цели, достойной самого лучшего, чем
располагает  человек. Случалось, Лаплас подвергался искушению отвлечься, но
ненадолго. Однажды его сильно привлекла теория чисел, но он быстро оставил
ее, поняв, что ее загадки, вероятно, потребуют от него больше времени, чем он
мог уделить ей, занимаясь Солнеч­ной системой.
В 1777 году, решая общие линейные уравнения с частными производными
     
     
     
где коэффициенты и свободный член являются некоторыми функциями от х и у,
создал метод решения уравнений такого рода, получивший название метода
каскадов.
Сущность этого метода, как и для общего линейного дифференциального уравнения
с частными производными первого порядка
     
которое решал Лаплас, состоит в замене переменных. Введя две новые переменные  
и , Лаплас приходит
к уравнению, носящему ныне его имя
     
или, кратко, .
Если  и  - две произвольные функции и если составить
     
     
     
то решение можно записать в виде ряда
     
     
     
Подстановка этого выражения в уравнение  
даст для определения коэффициентов   
дифференциальные уравнения
     
     
     
Если ряд для  
обрывается, т.е. для некоторого  
будет иметь место 
,то общий интеграл выражается в конечном виде. Когда же это не имеет места,
Лаплас представляет решение не рядом, а с помощью определённых интегралов. Он
показал, что в этом случае
     
где  и  - частные интегралы ,
     
     
     
а в этих интегралах
     
Лаплас показал, что его метод является более общим, чем все другие. В случае,
например, когда  -
постоянные, а в уравнении 
:
     
     
     
получается частный случай интегрирования обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Дальнейшие усовершенствования, внесённые в метод
каскадов Лагранжем и Лапласом, привели этот метод к современному виду.
Лаплас развивал метод  решения линейных уравнений, разностных и
дифференциальных, известный под названием преобразования Лапласа: неизвестная
функция  
заменяется интегралом вида    
, или , где   
- новая неизвестная функция. Это преобразование переводит, как мы теперь
говорим, функцию-оригинал  
,, в функцию
     
комплексного переменного  
Необходимые преобразования (замена переменной при интегрировании, интегрирование
по направлениям, отличным от действительной оси) Лаплас ещё рассматривает как
«орудия открытия», удобный метод, подобный своеобразной индукции. Его
действительное значение, конечно, больше: с помощью преобразования Лапласа и
аналогичных методов эффективно  решаются многие задачи электротехники,
гидродинамики, механики, теплопроводности, так как при этом в соответствующих
линейных дифференциальных уравнениях с частными производными число переменных
сокращается. Особенно широко оно применяется в операционном исчислении.
В 1779-1784 годах  Лаплас занимался физикой вместе с Лавуазье, в частности
вопросами о теплоте плавления тел  и работами с созданным ими ледяным
калориметром. Изучали горение водорода в кислороде. В 1809 году занимался
вопросами акустики. Вывел формулу для скорости распространения звука в воздухе: 
где – среднее
давление в среде, -
универсальная газовая постоянная,  
– абсолютная температура,  
- молекулярный вес газа, 
- плотность.
Помимо этого Лапласу принадлежит барометрическая формула для вычисления
изменения плотности воздуха с высотой над поверхностью земли, учитывающую
влияние влажности воздуха и изменения давления.
Лаплас оставил свой след и в теории вероятностей. Он является автором простейшей
из теорем теории вероятности. В общем виде она доказывалась им в книге
«Аналитическая теория вероятности»(1812). Один частный случай этой теоремы был
известен Муавру, в связи с чем теорему Лапласа иногда называют теоремой
Муавра-Лапласа. Формулировка теоремы Лапласа такова: пусть для любого  
из независимых испытаний вероятность некоторого события  
равна                                                                                                                                                                  
(0<<1) и пусть  
означает число испытаний, в которых событие 
фактически наступило; тогда вероятность неравенства    
при достаточно большом числе испытаний сколь угодно мало отличается от  
Кроме того, Лаплас имеет отношение к формулам Байеса, ныне входящим во все
учебные курсы теории вероятностей. Эти формулы получаются из теоремы об
умножении вероятностей  при условии использования понятия полной вероятности. В
действительности таких формул у Байеса нет. Его формулировка теоремы умножения
воспроизводит формулировку Муавра, появившуюся в печати гораздо ранее, в 1718
г. Кроме того, у Байеса нет формулы полной вероятности. Результат,
приписываемый исторической традицией Байесу, по-видимому, впервые получил
привычную нам формулировку в «Опыте философии теории вероятностей» Лапласа. В
главе «Общие принципы»  сформулирован принцип 6, который относится к
вероятностям гипотез, или вероятностям причин. Пусть некоторое событие    
может происходить с одним из  
несовместимых событий       
и только с ними. Эти события названы причинами. Если известно, что событие    
наступило, чему равна вероятность того, что осуществилась в то же  время причина  
? Лаплас дал такой ответ: «Вероятность существования какой-либо из этих причин
равна. дроби, числитель которой есть вероятность события, вытекающего из этой
причины, а знаменатель есть сумма подобных вероятностей, отнесённых ко всем
причинам; если эти различные причины, рассматриваемые  a priori, не одинаково
вероятны, то вместо вероятности события, вытекающего из каждой причины, следует
взять произведение этой вероятности на вероятность самой причины». Это и есть
«правило Байеса»:
     
     
     
Кроме того, этот принцип Лапласа содержит и формулу полной вероятности.
Однако хотя его эпохальный труд по теории вероятностей, на первый взгляд и
уводил в сторону от главных интере­сов, Лаплас вдохновлялся тем, что он был
нужен математической астроно­мии. Познакомившись с этой теорией, он увидел,
что она необхо­дима для всех точных наук, и посчитал оправданным развивать ее
в пределах своих сил.
«Небесная механика», которая увязала все астрономические труды Лапласа в
продуманное целое, публиковалась частями в те­чение 26 лет. Два тома
появились в 1799 г. и касались движения планет, их формы [как вращающихся
тел], приливов и отливов. Два следующие тома, вышедшие в 1802 и 1805 гг.,
продолжали исследование, которое было, наконец, завершено в 1823—1825 гг.
пятым томом. Математическое изложение было иногда крайне сжато, а иногда
громоздко. Лапласа интересовали результаты, а не то, как он их получил.
Избегая сложных математических рассуж­дений, он часто опускал все, кроме
заключения с оптимистиче­ским замечанием «как легко видеть». Он сам часто мог
восстановить рассуждение, с помощью которого «видел» эти легкие вещи лишь
после нескольких часов, а иногда и дней тяжелого труда. Даже очень сильные в
математике читатели скоро приобретали привычку вздыхать во всяком месте, где
появлялась знаменитая фраза, зная, что «увидеть» что-то здесь можно только
после недели отчаянной работы.
Более приспособленный для чтения обзор главных результатов «Небесной
механики» появился в 1796 г. в виде (ставшей класси­ческой) работы «Изложение
системы мира», в которой содержалось описание лапласовского шедевра, а вся
математика была опущена. В этой работе, как и в большом (153 страницы)
нематематическом введении в трактат по теории вероятностей (третье издание
1820 г.), Лаплас показал себя почти таким же великим писателем, каким он был
математиком. Каждый, кто хочет бегло ознакомиться с тео­рией вероятностей, не
вдаваясь в технические детали, понятные только математикам, не может сделать
ничего лучшего, как про­честь лапласово введение. С той поры очень много было
сделано, особенно в последние годы, и главным образом в основаниях теории
вероятностей, но изложение Лапласа все еще является классиче­ским,
совершенным выражением, по крайней мере, одной философии всего предмета.
Теория, о которой едва ли нужно здесь рассказы­вать, до сих пор еще не
завершена. Более того, возникает впечатле­ние, что она еще не начиналась;
следующее поколение, возможно, начнет строить ее заново.
Об одной интересной детали астрономического труда Лапласа стоит упомянуть, а
именно о знаменитой гипотезе происхождения Солнечной системы из туманности.
По-видимому, не зная, что его предвосхитил Кант, Лаплас (лишь полусерьезно)
предложил эту гипотезу в примечании.
Речь в гипотезе идёт об образовании Солнечной системы – Солнца, планет и их
спутников из вращающейся газовой туманности. Согласно гипотезе, в результате
ускорения вращения при сжатии разряженная часть туманности становится всё
более сплюснутой, а когда центробежная сила на экваторе стала равной по
величине силе тяготения, принимает чечевицеобразную форму.  Вещество на
остром ребре чечевицы перестаёт участвовать в дальнейшем сжатии и остаётся на
месте, образуя газовый диск. Затем он разделился на отдельные кольца, и
вещество каждого кольца  собралось в сгусток, превратившийся затем в планету.
При сжатии этих сгустков процесс зачастую повторялся, приводя к образованию
спутников планет. Центр сгущающейся туманности превратился в Солнце.
Гипотеза Лапласа не смогла объяснить медленное вращение Солнца, наличие
спутников с обратным вращением и спутников, период обращения которых  меньше
периода вращения планет. Математика, которой он располагал, не подходила для
систематического исследования вопроса, к которому не приступали, пока Джине в
прошедшем столетии не резюмировал обсуждение гипотезы заявлением, что она
имеет определенное на­учное значение.
Не вызывает сомнений тот факт, что Лаплас относится к числу величайших
математиков, оказавших огромное влияние на развитие науки, к числу тех людей,
вклад которых мало кто сегодня возьмётся сравнивать. А какое место  в научном
мире отводили ему современники? Этот вопрос вызывает интерес потому, что жил
и работал Лаплас в эпоху расцвета математической науки,  и в одно время с ним
трудилось немало замечательных учёных. Однако единственным человеком,
достигшем столь же значительных высот был Жозеф Луи Лежандр. Лагранж и
Лаплас, два ведущих французских ученых XVIII столетия, были во многом
противоположны друг другу, и одно типичное различие между ними становилось
все более острым по мере развития математики: Лаплас принадлежал к племени
мате­матических физиков, Лагранж — чистых математиков. Пуассон, сам являясь
представителем математической физики, кажется, отдавал предпочтение Лапласу
как ученому более желательного типа: «Имеется глубокое различие между
Лагранжем и Лапласом во всей их деятельности, касалась ли она изучения чисел
или либ­рации Луны. Лагранж часто, казалось, видел в рассматриваемых вопросах
только математику, для которой сами вопросы были слу­чайностью,
следовательно, высшую ценность он придавал изящест­ву и общности
рассмотрения. Лаплас усматривал в математике главным образом орудие, которое
он хитроумно приспосабливал, чтобы оно подходило к каждой специальной задаче,
как только она возникала. Один был великим математиком, другой — великим
философом, пытавшимся познать природу, заставляя высшую мате­матику служить
этому». Фурье также поражался коренному разли­чию между Лагранжем и Лапласом.
Будучи сам скорее узким «прак­тиком» по своим математическим данным, Фурье
смог все же оценить истинное достоинство Лагранжа: «Лагранж был не менее
великим философом, чем великим математиком. Всей своей жизнью, скром­ными
желаниями он доказал свою неизменную преданность об­щим интересам
человечества, — благородной простотой манер, возвышенным характером и,
наконец, точностью и глубиной своих научных трудов».
Весьма знаменательно, что это высказывание исходит от Фурье. Оно верно, по
крайней мере, теперь. Величайшее влияние Лагранжа на современную математику
обязано именно «точности и глубине его научных трудов» — качествам, которые
часто отсутствуют в шедеврах Лапласа.
Для большинства современников и непосредственных последова­телей Лаплас
выглядел крупнее Лагранжа. Отчасти этому способ­ствовала значительность
проблемы, которой занимался Лаплас, — грандиозный замысел доказательства, что
Солнечная система яв­ляется гигантским вечным двигателем. Замысел сам по себе
был, несомненно, величественным, но, по существу, иллюзорным. Во время
Лапласа, и даже в наше время, того, что известно о физиче­ской вселенной,
недостаточно, чтобы придать проблеме определен­ное реальное значение, и,
вероятно, пройдет еще много лет, прежде чем математика достаточно продвинется
вперед, чтобы обработать усложненную массу имеющихся теперь данных.
Астрономы-теоре­тики будут, несомненно, продолжать возиться с
идеализированными моделями «Вселенной» или даже со значительно менее
впечатляю­щими моделями Солнечной системы и будут продолжать наводнять нас
вселяющими бодрость или отчаяние сообщениями о судьбе человечества, но, в
конечном счете, только побочный продукт их ис­следований (совершенствование
чисто математических средств, придуманных ими) останется перманентным вкладом
в развитие науки точно так же, как это случилось с Лапласом.
К числу практически полезных результатов, полученных им можно отнести следующее.
Изучая устройство Солнечной системы, Лаплас пришёл к выводу, что кольцо
Сатурна не может быть сплошным, так как в этом случае оно было бы
неустойчивым, и предсказал  открытие сильного сжатия Сатурна у полюсов.
В 1789 году Лаплас рассматривал теорию движения спутников  Юпитера под
действием взаимного возмущения  и притяжения к Солнцу. Он получил полное
согласие теории с наблюдениями и установил ряд закономерностей этих движений.
Одной же из главных его заслуг является открытие причин ускорения в движении
Луны. В 1787 году Лаплас показал, что скорость движения Луны зависит от
эксцентриситета  земной орбиты, а последняя меняется под действием притяжения
планет. Так же им было установлено, что это возмущение не вековое, а
долгопериодическое, и что в последствии Луна будет двигаться замедленно. По
неравенствам в движении Луны Лаплас определил величину сжатия  Земли у
полюсов. И именно ему принадлежит разработка динамических законов приливов.
Если оценка труда Лапласа кажется слишком сильной, да­вайте познакомимся с
судьбой «Небесной механики». Верит ли дей­ствительно сейчас кто-нибудь, кроме
ортодоксальных математиков, что заключение Лапласа об устойчивости Солнечной
системы явля­ется надежным суждением о бесконечно усложненной ситуации,
которую Лаплас заменил идеализированной схемой? Возможно, многие верят, но ни
один работающий в математической физике не сомневается в мощи и полезности
математических методов, развитых Лапласом, когда он занимался своей идеальной
мечтой.
Приведем только один пример. Теория потенциала стала сейчас значительно более
важной, чем когда-либо мог мечтать Лаплас. Без содержащейся в этой теории
математики мы должны были бы остановиться почти у самых начал наших попыток
постичь электро­магнетизм. Из этой теории выросла мощная область математики
граничных задач, сегодня значительно более важная для физической науки, чем
вся ньютоновская теория тяготения. Понятие потенциала было вдохновляющей
математической идеей высшего класса — оно позволило атаковать физические
проблемы, к которым другим путем невозможно было бы подступиться.
Потенциал — это просто функция 
, описанная в связи с рас­смотрением движения жидкости и уравнения Лапласа в
главе о Ньютоне. Там эта функция  
является «потенциалом скорости». Если рассматривается сила ньютоновского
притяжения, то  
яв­ляется «потенциалом тяготения». Введение потенциала в теории движения
жидкостей, тяготения, электромагнетизма и во всевоз­можные другие области
является одним из крупнейших шагов вперед, когда-либо сделанных в
математической физике. Он позво­лил заменять дифференциальное уравнение в
частных производных с двумя или тремя переменными обыкновенными
дифференциаль­ными уравнениями.
Теперь, после беглого экскурса по деятельности Лапласа, возникает вопрос: в
какой мере мы сейчас (то есть к концу первого  курса) знакомы с его научным
наследим? Оказывается, что затронуто оно в очень незначительной степени.
Так, в физике мы встречали оператор Лапласа – лапласиан. Это дифференциальный
оператор в 
, определяемый формулой    
(где  - координаты
в ).
В курсе алгебры использовали теорему Лапласа об алгебраических дополнениях: для
любых фиксированных натуральных чисел 
<,       
определитель квадратной матрицы   
над кольцом  равен
сумме произведений всех её миноров порядка 
, содержащихся в строках с номерами  
на их алгебраические дополнения, то есть
     .                     (1)
      1.Рассмотрим сначала
случай, когда .
Обозначим в этом случае правую часть равенства (1) через  
и будем вычислять её, пользуясь определениями миноров и их алгебраических
дополнений:
     
     
     
     
     
     
     
     
     .
Перемножая в скобках 1-ую сумму на 2-ую почленно и пользуясь свойствами операций
в кольце , получим
     
     
     
     .    (2)
Запишем полученную сумму сумм в виде одной суммы. Заметим, что число слагаемых
во внутренней сумме равно 
, а во внешней - .
Значит общее число слагаемых в сумме будет равно 
, то есть числу всех перестановок из 
. Заметим теперь, что наборы индексов 
, соответствующие слагаемым суммы (2), являются перестановками множества  
и любая перестановка  из  
может быть представлена в виде такого набора индексов при подходящем выборе
множества  и
перестановок
     
     
     .
Следовательно, в результате суммирование будет производиться по всем
перестановкам  из 
. Отсюда, с учётом утверждения 1, получим
     
     
     ,
и равенство (1) в рассматриваемом случае доказано.
2. Пусть теперь  -
любые числа из множества 
, удовлетворяющие условию 
. Сведём этот случай к первому. Для этого осуществим  в матрице  
следующую перестановку строк. Переставляя 
-ую строку  поочерёдно со всеми предыдущими, поставим её на первое место, затем 
-ую строку таким же образом поставим на второе место, и т.д.,  и, наконец,
поставим -ую строку
на -ое место. В
итоге получим некоторую матрицу 
. Так как для перехода от  
мы произвели  
перестановок строк, то по свойствам определителей:
     .                                                  (3)
По доказанному в случае 1 имеем:
      .                      (4)
Непосредственно из построения матрицы  следует, что
     
     
     .
Из последнего равенства, используя определение алгебраического дополнения,
получим:
     
     
     
     
     
     
     
Из найденных соотношений между минорами и алгебраическими дополнениями матриц А,
В и равенств (3), (4) легко следует равенство (1).
В 1785 г., в возрасте 36 лет, Лаплас стал действительным членом академии.
Этот же год, знаменующий такой почет в научной дея­тельности, выделяется как
веха еще большего значения в общест­венном положении Лапласа — в этом году он
экзаменовал одного из 16 кандидатов в Военную школу. Этому юноше предстояло
играть важную роль в последующем отходе Лапласа от математики и по­гружении в
мутные воды политики. Имя юноши было Наполеон Бо­напарт (1769—1821).
Лаплас прошел через революционные годы сравнительно спо­койно. Но все же ни
один человек с его известностью и беспокойным честолюбием не мог в то время
избежать опасности полностью. Лап­лас и Лагранж не питались лебедой, как
многие другие менее нуж­ные ученые, и не были столь беспечны, чтобы выдать
себя, как это случилось с их несчастным другом Кондорсе: его не то отравили в
тюрьме, не то не препятствовали ему покончить с собой.
После революции Лаплас активно занялся политикой, возмож­но надеясь побить в
этом рекорд Ньютона. Французы вежливо говорят о «разносторонности» Лапласа в
политике. Это выражение чересчур мягко. Пресловутые недостатки Лапласа как
политика были не чем иным, как блестящими способностями в азартной игре.
Лаплас всегда получал лучшие посты при каждом падении прави­тельства. Ему
ничего не стоило за ночь переметнуться от неистовых республиканцев к
ревностным монархистам.
Наполеон подсовывал Лапласу все, включая портфель министра внутренних дел (об
этом скажем позже). Все наполеоновские орде­на украшали грудь гибкого
математика, включая Большой Крест Почетного легиона. Он был пожалован также
титулом графа им­перии. Как же он поступил, когда Наполеон пал? Подписался
под декретом об изгнании своего благодетеля.
Во времена реставрации Лаплас не сталкивался ни с какими трудностями в
выражении верноподданнических чувств Людовику XVIII, тем более что он сидел
теперь в палате пэров как маркиз де Лаплас. Людовик признал его заслуги в
оказанной ему поддерж­ке и в 1816 г. назначил председателем комиссии по
реорганизации Политехнической школы.
Одной своей чертой Лаплас превосходил всех придворных, имен­но моральным
мужеством, когда вопрос касался его истинных убеж­дений. Рассказ о размолвке
Лапласа с Наполеоном в связи с «Не­бесной механикой» показывает Лапласа
таким, каким он был в действительности. Лаплас преподнес Наполеону экземпляр
своей книги. Желая подзадорить Лапласа, Наполеон упрекнул его в оче­видном,
по его мнению, просмотре. «Вы написали такую огромную книгу о системе мира,
ни разу не упомянув о творце вселенной». — «Сир, — ответил Лаплас, — я не
нуждался в этой гипотезе». Нуж­ны были крепкие нервы, чтобы говорить
Наполеону правду.
Искреннее благородство Лаплас проявил по отношению к начи­нающим. Био
рассказывает, что молодым человеком он докладывал свою статью в академии в
присутствии Лапласа. После доклада Лаплас отвел его в сторону и показал ему
такой же результат, содержавшийся в пожелтевшей рукописи его статьи, еще не
опубли­кованной. Побудив Био держать увиденное в секрете, Лаплас посо­ветовал
ему идти дальше и опубликовать свою работу. Так посту­пал он не один раз.
Начинающие в математических исследованиях, как любил говорить Лаплас, были
его приемными сыновьями, но относился он к ним как к родным сыновьям.
Поскольку одна цитата часто приводится как пример, убеждающий в
непрактичности математиков, мы тоже поместим ее здесь. Это знаменитая оценка
Лапласа Наполеоном, сделанная бывшим императором, когда он был в заключении
на острове Святой Еле­ны. «Первоклассный математик Лаплас быстро проявил себя
адми­нистратором лишь средней руки; после первых же его действий мы поняли,
что обманулись. Лаплас не видел в вопросах их сущности, он во всем искал
второстепенные детали, высказывал только весьма сомнительные идеи и, наконец,
вносил дух бесконечно малого в управление».
Это саркастическое свидетельство было вызвано непродолжи­тельным (6-
недельным) пребыванием Лапласа на посту министра внутренних дел. Сви-
детельство Лапласа, характеризующее Наполеона, не со­хранилось.
Кто же после всего оказался более искусным администратором? Человек, который
не мог удержать успех и умер заключенным своими врагами, или тот, кто
продолжал пользоваться богатством и уважением до самой своей смерти?
Лаплас провел последние дни жизни в своем имении Аркуэйль близ Парижа в
удобном уединении. После непродолжительной бо­лезни он умер 5 марта 1827 г.,
на 78-м году жизни.
Как теоретик-астроном Лаплас справедливо назывался «Ньюто­ном Франции»; как
математик он провозвестник современного пе­риода в теории вероятностей. Как
человек он может считаться наи­более ярким опровержением предубеждения
педагогики, будто благородные занятия неизбежно облагораживают характер
людей. Но, несмотря на все слабости своей натуры — стремление к титулам,
политическое приспособленчество, желание блистать в постоянно переменчивом
свете общественного уважения,
Лаплас по своему характеру обладал элементами истинного величия. Мы можем не
верить всему, что он говорил о своей бескорыстной преданности правде ради
самой правды, и мы вправе улыбаться, отмечая ту озабоченность, с которой он
пытался превратить в изящную эпи­грамму слова своего последнего изречения:
«То, что мы знаем, — не велико, то, чего мы не знаем, — огромно». Это попытка
усилить высказывание Ньютона о мальчике, играющем на морском берегу. Но мы не
можем отрицать, что Лаплас при его благородном отноше­нии к неизвестным
начинающим ученым был кем угодно, только не ловким и неблагородным
политиканом.
                             АКАДЕМИЯ ФСБ РФ                             
                                 РЕФЕРАТ                                 
                          ПО ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ                          
                                 НА ТЕМУ:                                 
                           «Пьер Симон Лаплас»                           
Список литературы:
1)     Э.Т.Белл «Творцы математики», Москва, «Просвещение», 1979;
2)     «Большая советская энциклопедия», т.14,20, «Советская энциклопедия»,
1973;
3)     Рыбников К.А. «История математики», Москва, 1994.