Каталог :: Математика

Реферат: Остроградский

     Жизнь  М. В. Остроградского.
Математическая жизнь в академии наук в середине десятых годов почти замерла и
возродилась в конце двадцатых с приходом в Академию Остроградского и
Буняковского, особенно первого из них.
Михаил Васильевич Остроградский родился 26 сентября 1801г. на Украине, в
деревне Пашенной Кобелякского уезда Полтавской губернии в семье помещика. В
1816 г. он поступил в Харьковский университет. Остроградский успешно сдал
кандидатские экзамены, и перед ним, казалось, открывалась прямая дорога к
университетской профессуре. Однако острая идейная борьба, которая в те годы
велась в Харьковском университете, помешала спокойному течению научной
карьеры Остроградского.
Осиповский подверг критике идеалистическую немецкую философию, сторонники
которой имелись и среди работавших в Харьковском университете иностранцев. В
устных выступлениях Осиповский разоблачал и высмеивал мистиков, стоявших во
главе министерства просвещения и учебных округов. Свое враждебное отношение к
Осиповскому реакционная часть харьковской профессуры перенесла и на его
лучшего ученика, также не любившего ни метафизики, ни мистики и бывшего, надо
полагать, уже тогда “полным материалистом и атеистом”.
Когда ректор университета Осиповский предложил присвоить Остроградскому
заслуженную им степень кандидата, в Совете университета произошли резкие
столкновения. Один из реакционных профессоров, А. И. Дудрович, письменно
донес попечителю округа З. Я. Корнееву, что по вине Осиповского  студенты-
математики не занимаются богословием, а Остроградского обвинил в том, что он,
несмотря на предписание начальства, не слушал богопознания и христианского
учения. Дело дошло до министра “духовных дел и народного просвещения” А. Н.
Голицына, по указанию которого Осиповский был уволен из университета,
Остроградскаму отказали в присуждении степени кандидата, издевательски
предложив заново сдать  экзамены, якобы сданные им раньше в неправильном
порядке.
Остроградский мужественно перенес эти испытания и решил, несмотря ни на что,
посвятить свою жизнь науке. Еще в Харьковском университете его особенно
увлекали вопросы прикладной математики и в 1922 г. он отправился в Париж, где
работали Лаплас и Фурье, Лежандр и Пуассон, Бине и Коши и другие
первоклассные ученые, пролагавшие новые пути в математике, математической
физике и механике. Курсы, читавшиеся в Политехнической школе, Сорбонне,
Коллеж де Франс были образцовыми и привлекали молодежь из многих стран.
Быстрые успехи Остроградского завоевали ему дружбу и уважение многих французских
математиков, как старших поколений, так и сверстников. Время парижской жизни
явилось для Остроградского не только “годами странствий и учения”, но и
интенсивного творчества. В 1824-1827 гг. он представил Академии наук в Париже
несколько замечательных мемуаров на французском языке. В “Замечаниях об
определенных интегралах” (1824) он дал вывод незадолго перед тем опубликованной
Коши формулы для вычета функции относительно полюса п-го порядка,
вывод, по сути дела совпадающий с принятым ныне. В “Доказательстве одной
теоремы интегрального исчисления” (1826) он разработал весьма важную составную
часть общего метода разделения переменных для интегрирования уравнений
математической физики. В том же году Остроградский подготовил “Мемуар о
распространении волн в цилиндрическом бассейне”, где развил исследования Коши и
Пуассона, изучивших движение малых волн в бассейне бесконечной глубины и не
ограниченном стенками, а год спустя “Мемуар о распространении тепла внутри
твердых тел”, содержавший новое сжатое изложение метода разделения и решения
новой задачи о распространении тепла в некоторой треугольной призме. Из них
только работа по гидродинамике увидела свет в издании Парижской Академии,
другие же остались в ее архиве. Но и не опубликованные тогда его открытия по
математической физике оказали существенное влияние на развитие математики.
Основные результаты вошли в последующие печатные труды самого Остроградского;
кроме того, в рукописи или в устном изложении самого Остроградского с ними
ознакомились тогда же или вскоре  Коши, Пуассон и другие.
Перечисленные работы показывают, что Остроградский в первые  же годы
парижской жизни не только полностью овладел новейшим аппаратом анализа и
механики, но существенно развил его и мастерски применил к решению как весьма
общих актуальных проблем, так и частных трудных задач. Коши с высокой
похвалой отзывался о работах своего молодого ученика и сотрудника. Например,
в основоположном мемуаре по теории интегралов в комплексной области 1825 г.,
Коши, рассказывая о своих предыдущих результатах писал:”Наконец, один молодой
русский, одаренный большой проницательностью и весьма искусный в анализе
бесконечно малых, г. Остроградский, также прибегнув к употреблению этих
интегралов и их преобразованию в обыкновенные, дал новое доказательство
формул, мною выше упомянутых, и обобщил другие формулы, которые я представил
в 19-й тетради “Журнала Политехнической школы”. Г. Остроградский любезно
сообщил нам главные результаты своей работы”. Столь же уважительны отзывы
Коши об Остроградском в статьях по теории вычетов. Много позднее, в работе, в
которой установлен ряд общих свойств интегралов линейных уравнений с частными
производными, Коши вспоминал о парижских открытиях Остроградского:”Я хотел бы
иметь возможность сравнить полученные мною здесь результаты с результатами,
полученными г. Остроградским в мемуаре, в котором он установил несколько
общих предложений относительно интегрирования линейных уравнений в частных
производных. Но я только смутно помню этот мемуар и, так как не знаю, был ли
он где-либо опубликован, я лишен возможности произвести это сравнение”.
Весной 1828 г. Остроградский приехал в Петербург и здесь на протяжении
нескольких месяцев представил Академии наук три работы. Первая содержала
оригинальный, основанный на новой концепции интеграла (Коши), вывод уравнения
Пуассона, которому удовлетворяет объемный потенциал поля тяготения в точке,
лежащей внутри притягиваемой массы или на ее границе. Следующая посвящена
вопросу  о перестановке порядка интегрирования в двойном интеграле в случае
бесконечного разрыва подынтегральной функции и примыкает к аналогичным
исследованиям Коши. Третьей был уже упомянутый мемуар “Доказательство одной
теоремы интегрального исчисления”, который автор вскоре взял обратно для
переработки и затем опубликовал для переработки и затем опубликовал под
названием “Заметки по теории теплоты”. Коллинс представил о трудах
Остроградского блестящий отзыв и 29 декабря 1828 г. молодой ученый был избран
адъюнктом по прикладной математике. Два года спустя  он был выбран
экстраординарным академиком и в 1831 г. – ординарным.
Деятельность Остроградского в Академии была весьма разносторонней. Он сделал
более 85 научных сообщений, частью неопубликованных; читал публичные лекции;
писал подробные отзывы на поступавшие в Академию работы, участвовал  в
комиссиях по введению григорианского календаря и десятичных мер (что было
сделано лишь после великой Октябрьской социалистической революции), по
водоснабжению Петербурга и т. д., занимался по поручению правительства
изысканиями по внешней баллистике, и т. д. Вместе с тем Остроградский много
времени уделял преподаванию. С 1828 г. он начал читать лекции в Морском
корпусе (впоследствии Морской академии), где преемниками его последовательно
были В.Я. Буняковский, А.Н. Коркин, А.Н. Крылов. С годами педагогическая
деятельность Остроградского становилась все более интенсивной. Он вел занятия
по математике и механике в Институте инженеров путей сообщения,  Главном
инженерном и Главном артиллерийском училищах, Главном педагогическом
институте. С 1847 г. и до своей смерти он работал на посту главного
наблюдателя по преподаванию математических наук во всех военных заведениях
страны. Ему принадлежат несколько руководств по элементарной и высшей
математике.
Педагогические взгляды Остроградского были весьма прогрессивными. Он считал,
что в гимназиях и кадетских корпусах нужны лаборатории и мастерские, где
учащиеся приобретали бы трудовые навыки, производили опыты и наблюдения. Он
выступал за наглядность обучения математике, особенно в раннем возрасте, и
критиковал сухое и формальное изложение этого предмета в современной ему
школе. Он был сторонником введения в специальных старших классах средних
военных учебных заведений идеи функции и начал анализа; курс математики, с
его точки зрения, должен быть связан с другими предметами, как физика, в
которых применяются математические методы. Как видно, в ряде пунктов
Остроградский предвосхитил идеи так называемого движения за реформу
преподавания, возникшего в начале XX века. Кое-чего Остроградский достиг в
этом направлении в кадетских корпусах. Однако более широкая реализация
педагогических установок Остроградского стала возможной лишь много позднее.
Свое общее педагогическое credo Остроградский  изложил в написанной совместно
с парижским математиком и инженером И.-О. Блюмом (1812-1877) брошюре
“Размышления о преподавании”, вышедшей на французском языке.  Чтение этого
блестящего по изложению и глубокого по содержанию сочинения интересно и в
наши дни. Школьное преподавание арифметики, алгебры и геометрии, - писали
авторы, - ничем “не напоминает о насущной необходимости изучения этих
предметов для насущной жизни” и на деле дает “только тот результат, что их
усваивает очень небольшое число учеников”. Этому в брошюре ярко
противопоставлены принципы обучения,  воспитывающего наблюдательность и
любознательность, техническую сноровку  и научное мышление. Для повышения
интереса и привлечения внимания учеников Блюм и Остроградский рекомендовали
использовать историю наук и биографии выдающихся людей, “принесших пользу
наукам и искусству”:”Это в одно и то же время отличная разрядка и средство с
помощью живого рассказа запечатлеть то или иное основное положение, либо
удачное приложение теоретических принципов”.
Школьная математика должна учитывать особенности детского восприятия, но
следует избегать общепринятой недооценки возможностей детей уже с семилетнего
возраста. В брошюре разобран вопрос об обучении ребят до 12 лет, причем
только в гимназиях или специальных учебных заведениях; более массовые школы,
где учат началам чтения, письма и счета оставлены были в стороне.
Остроградский оказал значительное влияние на развитие математики и механики.
Он, в частности, подготовлял условия для создания математической школы,
организованной Чебышевым, и сам основал русскую школу механики. К его
исследованиям примыкают многие последующие работы по математической физике,
по теории интегрирования иррациональных функций, по теории кратных интегралов
и даже по теории вероятностей, которыми он сам занимался немного. Прямыми
учениками Остроградского были создатель теории автоматического регулирования
И. А. Вышнеградский (1831-1895), автор классических исследований по теории
трения и влияния на него смазки и по теории механизмов Н. П. Петров (1822-
1889) и другие. Все перечисленные математики вышли из Главного
педагогического института, где Остроградский преподавал с 1832 по 1859 г..
Научные заслуги Остроградского были высоко оценены и за рубежом. Он был
избран членом-корреспондентом французской Академии наук в 1856 г., а еще
ранее членом Американской академии наук и академий в Турине и в Риме.
Скончался он 1 января 1862 г.
     Кратные интегралы.
Остановимся несколько подробнее на работах Остроградского по кратным интегралам.
Формула Остроградского для преобразования тройного интеграла в двойной,
которую мы пишем обычно в виде
     
     
        (1)
или
     ,
где div A – дивергенция поля вектора А, Аn – скалярное
произведение вектора А на единичный вектор внешней нормали n  граничной
поверхности, в математической литературе нередко связывалась ранее с именами
Гаусса и Грина. На самом деле в работе Гаусса о притяжении сфероидов можно
усмотреть только весьма частные случаи формулы (1), например при P=x, Q=R=0  и
т. п. Что касается Дж. Грина, то в его труде по теории электричества и
магнетизма формулы (1) вовсе нет; в нем выведено другое соотношение между
тройным и двойным интегралами, именно, формула Грина для оператора Лапласа,
которую можно записать в виде
          (2)
Конечно, можно вывести формулу (1) и из (2), полагая
         
и точно так же можно получить формулу (2) из формулы (1), но Грин этого и не
думал делать.
Все же вопрос об авторе интегральной формулы (1) оставался не вполне ясным.
Дело в том, что, как было недавно замечено, в мемуаре Пуассона по теории
упругости, выводится формула
     
где слева стоит интеграл по объему, а справа интеграл по граничной поверхности,
причем  суть
направляющие косинусы внешней нормали.
Парижские рукописи Остроградского свидетельствуют, с полной несомненностью,
что ему принадлежит и открытие, и первое сообщение интегральной теоремы (1).
Впервые она была высказана и доказана, точно так, как это делают теперь в
“Доказательстве одной теоремы интегрального исчисления”, представленном
Парижской Академии наук 13 февраля 1826 г., после чего еще раз была
сформулирована в той части “Мемуара о распространении тепла внутри твердых
тел ”, которую Остроградский представил 6 августа 1827 г. “Мемуар” был дан на
отзыв  Фурье и Пуассону, причем последний его, безусловно читал, как
свидетельствует запись на первых  страницах обеих частей рукописи.
Разумеется, Пуассону и не приходила мысль приписывать себе теорему, с которой
он познакомился в сочинении Остроградского за два года до представления своей
работы на теории упругости.
Что касается взаимоотношения работ по кратным интегралам Остроградского и
Грина, напомним, что в “Заметке по теории теплоты” выведена формула,
обнимающая собственную формулу Грина, как весьма частный случай. Непривычная
теперь символика Коши, употребленная Остроградским в “Заметке”, до недавнего
времени скрывала от исследователей это важное открытие. Разумеется,  за
Грином остается честь открытия и первой публикации в 1828 г. носящей его имя
формулы для операторов Лапласа.
Открытие формулы преобразования тройного интеграла в двойной помогло
Остроградскому решить проблему варьирования  п-кратного интеграла,
именно, вывести понадобившуюся там общую формулу преобразования интеграла от
выражения типа дивергенции по  п- мерной области и интеграл по
ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,.)=0. Если
придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид
     
       (3)
Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов,
которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не
существовала.
В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных интегралов”  рассмотрены еще два
важных вопроса теории таких интегралов. Во-первых, Остроградский выводит
формулу замены переменных  в многомерном интеграле; во-вторых, впервые дает
полное и точное описание приема вычисления п- кратного интеграла с
помощью п последовательных интеграций по каждой из переменных в
соответствующих пределах. Наконец, из формул, содержащихся в этом мемуаре,
легко выводится общее правило дифференцирования по параметру многомерного
интеграла, когда от этого параметра зависит не только подынтегральная функция,
но и граница области интегрирования. Названное правило вытекает из наличных в
мемуаре формул настолько естественным образом, что позднейшие математики даже
отождествляли его с одною из формул этого мемуара.
Замене переменных в кратных интегралах Остроградский посвятил специальную
работу. Для двойного интеграла соответствующее правило вывел с помощью
формальных преобразований Эйлер, для тройного – Лагранж. Однако,  хотя
результат Лагранжа верен, рассуждения его были не точными: он как бы исходил из
того, что элементы объемов в старых и новых переменных – координатах – между
собою равны. Аналогичную ошибку допустил вначале в только что упомянутом выводе
правила замены переменных Остроградский. В статье “О преобразовании переменных
в кратных интегралах” Остроградский раскрыл ошибку Лагранжа, а также впервые
изложил тот наглядный геометрический метод преобразования переменных в двойном
интеграле, который, в несколько более строгом оформлении, излагается и в наших
руководствах. Именно, при замене переменных  в интеграле  
по формулам , 
, область интегрирования разбивается координатными линиями двух систем  
u=const,  v=const  на бесконечно малые криволинейные четырехугольники. Тогда
интеграл можно получить, складывая сначала те его элементы, которые отвечают
бесконечно узкой криволинейной полосе, а затем, продолжая суммировать элементы
полосами, пока они все не будут исчерпаны. Несложный подсчет дает для площади,
которая с точностью до малых высшего порядка может рассматриваться как
параллелограмм, выражение   
, где  , выбирается
так, чтобы площадь была положительной. В итоге получается известная формула
     .
Так дифференциальное выражение 
, которое Эйлер формально подставлял вместо dydx, а следуя рассуждениям
Лагранжа для трехмерного случая, нужно было бы считать равным dydx, 
приобрело у Остроградского простой и ясный геометрический смысл.
     Дифференциальные уравнения.
     В теории обыкновенных дифференциальных уравнений заслуживают внимания два
результата Остроградского. В «Заметке о методе последовательных приближений»,
предложен метод решения нелинейных уравнений с помощью разложения в ряд по
малому параметру, позволяющей избегать так называемых вековых членов,
содержащих аргумент вне тригонометрических функций. Такие члены нередко
появляются при употреблении обыкновенных приемов интегрирования с помощью
степенных рядов; неограниченно возрастая  вместе с аргументом, они порождают
ошибочные приближения, а содержащее их решение оказывается неподходящим. С этим
явлением встречались еще астрономы XVIII в. и задачей уничтожения вековых
членов занимались Лаплас, Лагранж и другие. Свой метод, основанный на
одновременном разложении по параметру как самого решения, так и периода
входящих в него периодических функций, Остроградский кратко пояснил на примере:
     ,    ,
который записал в несколько иной форме:
     ,
совпадающей с данным уравнением при 
. Решение с точностью до величин первого порядка относительно 
, найденное обычным способом, содержит вековой член:
     ;
решение по способу Остроградского от него свободно:
     ,  .
Найденное приближение Остроградский сопоставил с точным решением уравнения в
эллиптических функциях Якоби. Остроградский  ограничился получением первого
приближения; в конце статьи он высказал намерение приложить этот метод к
движению планет вокруг Солнца. Намерение это, видимо, не осуществилось, но
как раз в работах  по определению орбит небесных тел идея Остроградского
получила дальнейшее развитие. Одним из первых таких трудов явилось
исследование по теории возмущений шведского ученого А. Линдстедта,
работавшего в 1879 – 1886 гг. в Дерптском университете.  За этим последовали
глубокие исследования А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова и, уже в советский период,
Н. М. Крылова, который применил к нему и другим, более общим классам линейных
неоднородных уравнений второго порядка, содержащих малый параметр, несколько
модифицированный им метод Ляпунова. В настоящее время метод малого параметра
широко применяется к исследованию нелинейных задач механики, физики и
техники.
Небольшая “Заметка о линейных дифференциальных уравнениях” Остроградского
(1839) содержит классическую теорему, которая излагается теперь в любом курсе
дифференциальных уравнений. Дано уравнение
     .
и п его решений 
, которые предполагаются линейно независимыми. Согласно теореме Остроградского
определитель
     
выражается через коэффициент при (п-1)-й производной:
     ,
где а – постоянная. Мы называем определитель   
по имени впервые рассмотревшего его (в другой связи и более общей форме)
польского математика Г. Вронского (1812). Та же теорема была одновременно
получена из несколько иных соображений Ж. Лиувиллем (1838).
Некоторые работы Остроградского были связаны с конкретными задачами
современной ему военной техники. Так, например, в 1839-1842 гг. он по
поручению артиллерийского ведомства занимался изучением стрельбы
эксцентрическими сферическими снарядами, у которых центр фигуры отличен от
центра инерции. Этому вопросу Остроградский посвятил три небольшие статьи, из
которых одна содержала таблицы интегралов, нужных для решения задачи о
движении снаряда в воздухе при квадратичном законе сопротивления. К работам
по баллистике в свою очередь примыкали исследования Остроградского по
приближенным вычислениям, в том числе и упоминавшаяся работа 1839 г.,
содержащая вывод остаточного члена формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
                                  План:                                  
                   1.     Жизненный путь М. В. Остроградского.                   
2.     Кратные интегралы.
3.     Дифференциальные уравнения.
4.     Заключение.
     

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

на тему: М. В. Остроградский

Выполнила

студентка физико-математического факультета V курса, группы “B” Семерикова Юлия

МОГИЛЕВ

2002.