Каталог :: Математика

Контрольная: Решение задач по прикладной математике

                  МОСКОВСКАЯ АКАДЕМИЯ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА                  
                             РЯЗАНСКИЙ ФИЛИАЛ                             
                            КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА                            
                    По курсу: «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА»                    
                                              Выполнил: ст-т гр. ЭБ - 241
                                                            Лебедев Н. В.
                                                      Проверил: профессор
                                                            Г. И. Королев
                              Рязань 2003 г.                              
     Задание 1. Решите, используя формулу полной вероятности, формулу гипотез и
формулу Бернулли.
     1. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит
бензоколонка, относится к числу проезжающих легковых автомобилей как 3:2.
Вероятность того, что будет заправляться грузовой автомобиль, равна 0.1. Для
легковой автомашины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для
заправки машина. Найти вероятность того, что это легковой автомобиль.
     Решение.
Определим событие, вероятность которого надо посчитать. А - к бензоколонке
подъехал автомобиль.
Тогда гипотезы:
Н1- к бензоколонке подъехала грузовая машина.
Н2 - к бензоколонке подъехал легковой автомобиль
Р(Н1) = 3/(2+3) = 0.6;
Р(Н2) = 2/(2+3) = 0.4
По условию
Р(А/Н1)=0.1
Р(А/Н2)=0.2
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле:
P(A)=Р(A|Н1)*Р(Н1)+Р(A|Н2)*Р(Н2)= 0.6  0.1 + 0.4   0.2 = 0.06 + 0.08 = 0.14
P(H2|A)=[ Р(A|Н2)*Р(Н2) ]/P(A) = 0.2   0.4/ 0.14 ~ 0.57
     2. Вероятность своевременной оплаты счетов шестью потребителями равна
0.8. Найти вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не
более трех потребителей.
     Решение.
«Оплатят не более трех потребителей», это значит, что возможны следующие
варианты событий:
счета оплатят 0 – потребителей,
1 - потребитель,
2 - потребителя,
3 – потребителя.
По формуле Бернулли найдем вероятность каждого из этих событий.
P_n(k) = C_n(k)  pk  (1-p)(n-k),     где C_n(k) = 
n = 6, p = 0.8
1.      C_6(0) = = = 1
P_6(0) = C_6(0)  0.80  (1-0.8)(6-0) =  1  1 0.26 = 0.000064
2. C_6(1) = = = 6
P_6(1) = C_6(1)  0.81  (1-0.8)(6-1) =  6  0.8  0.25 = 0.001536
3. C_6(2) = = =   = 15
P_6(2) = C_6(2)  0.82  (1-0.8)(6-2) =  15  0.64  0.24 = 0.01536
4. C_6(3) = = =   = 20
P_6(3) = C_6(3)  0.83  (1-0.8)(6-3) =  20  0.512  0.23 = 0.08192
P = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) = 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192
= = 0. 09888 0.099
- вероятность того, что к установленному сроку счета не оплатят не более трех
потребителей.
     Задание 2. Найти среднее квадратическое отклонение вариационного ряда.
X1          800   1000   1200   1400   1600   1800   2000
n1                1     8     23     39     21      6       2
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X вычисляется по формуле F
x = , где  
– дисперсия случайной величины X.
      = 
       - математическое ожидание случайной величины X.
     800 
1 + 1000  8 + 1200  
23 + 1400  39 + 1600  
21 + 1800  6 + 2000      
2 =  139400
       =  (800  -  139400)   
1  +  (1000  -  139400)    
8  +  (1200  -  139400)  
23  +  (1400 - -139400)  
39 + (1600 - 139400) 
21 + (1800 - 139400) 
6 + (2000 - 139400) 
2 =
= 19209960000  +  153236480000   +   439282520000  +  742716000000  +
398765640000 +  + 113602560000 + 37757520000 = 1904570680000
Fx =  1380062
     Задание 3. Решить задачу линейного программирования симплексным методом.
Для производства двух видов изделий используются три вида сырья, запасы
которого ограничены. Величины запасов приведены в матрице С. Нормы расхода
сырья каждого вида на каждое из двух изделий приведены в матрице А , где
строки соответствуют виду сырья, а столбцы – виду изделия. Прибыль от
реализации изделий указана в матрице P.
Составить план производства изделий так, чтобы предприятие получило
максимальную прибыль от их реализации.
                    5       9                        7710
А =     9       7             C  =    8910                   P = ( 10  22 )
3      10                       7800
Найдем производственную программу, максимизирующую прибыль L=10х1+22х2.
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу  5х1+9х2≤7710.
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу   9х1+7х2 ≤8910.
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу    3х1+10х
2 ≤7800.
Имеем
     1+9х2 ≤ 7710
9х1+7х2 ≤ 8910
3х1+10х2 ≤ 7800
где по смыслу задачи х1≥0, х2≥0.
     Получена задача на нахождение
условного экстремума. Для ее решения систему неравенств при помощи
дополнительных неизвестных х3, х4, х5 заменим
системой линейных алгебраических уравнений
5х1+9х23 = 7710
9х1+7х24 = 8910
3х1+10х25= 7800
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов,
а именно
х3 – остаток сырья 1-го вида,
х4 – остаток сырья 2-го вида,
х5 – остаток сырья 3-го вида.
Среди всех решений системы уравнений, удовлетворяющих условию неотрицательности
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4
≥0, х5≥0, надо найти то решение, при котором функция
L=10х1+22х2  будет иметь наибольшее значение.
Ранг матрицы системы уравнений равен 3.
                    5     9     1     0    0
А =     9     7     0     1    0
3     10   0     0    1
     Следовательно,  три переменные
(базисные) можно выразить через две (свободные), т. е.
х3 = 7710 - 5х1 - 9х2
х4 = 8910 - 9х1- 7х2
х5= 7800 - 3х1 - 10х2
Функция L = 10х1+22х2  или L - 10х1 - 22х2  
= 0 уже выражена через эти же свободные переменные. Получаем следующую таблицу.
                                                                      Таблица 1.
     
Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5

х3

771059100

х4

891097010

х5

7800310001
L0-10-22000
Находим в индексной строке отрицательные оценки. Выбираем разрешающий элемент. В результате получаем следующую таблицу. Таблица 2.
Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5

х3

7710

5

9100

х4

990

17/901/90

х5

7800310001
L0-10-22000
Таблица 3.
Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5

х3

2760

0

46/9

1-5/90

х1

99017/901/90

х5

4830069/90-1/31
L99000-128/9010/90
Таблица 4.
Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5

х2

540019/46

-5/46

0

х1

57010-7/469/460

х5

690

00-3/21/21
L1758000128/46-10/230
Таблица 5.
Базисные переменные

Свободные

члены

х1

х2

х3

х4

х5

х2

69001-3/23010/46

х1

3001010/230-81/46

х4

138000-312
L187800034/23020/23
Поскольку в индексной строке нет отрицательных оценок, то это значит, что мы получили оптимальную производственная программу: х1 = 300, х2 = 690, х3 = 0, х4 = 1380, х5 = 0 Остатки ресурсов: Первого вида – х3=0; Второго вида – х4=1380; Третьего вида – х5=0 Максимальная прибыль Lmax=18780.