Каталог :: Математика

Контрольная: Понятие функции

                 ИНСТИТУТ БИЗНЕСА, ПРАВА И ИНФОРМАЦИОННЫХ                 
                                ТЕХНОЛОГИЙ                                
                            КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА                            
                                  по дисциплине                                  
                                МАТЕМАТИКА                                
                                     на тему                                     
                  Понятие функции. Область определения функции.                  
                             Способы задания функции                             
Выполнил:  Мальский Эдуард Александрович,
студент 2 курса
юридического факультета
заочного отделения
группа 25-ЮЗП
Преподаватель:
                                                          Оценка:_______________
                                           Подпись преподавателя:_______________
                                     2004 г.                                     
                                   Оглавление                                   
                  контрольной работы по дисциплине «Математика»                  
             на тему «Понятие функции. Область определения функции.             
                            Способы задания функции»                            
Введение...............................3
1.       Функция и её свойства......................4
2.       Способы задания функции...........................5
3.       Виды функций и их свойства....................6
Заключение............................11
Список использованной литературы...................12
                                    Введение.                                    
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло
и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание
обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между
величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для
нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые
(4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является
функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r
2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические
таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания
функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его
диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые
выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
     Функция- зависимость переменной у от переменной x, если
каждому значению х соответствует единственное значение у.
     Переменная х- независимая переменная или аргумент.
     Переменная у- зависимая переменная
     Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.
     Область определения функции- все значения, которые принимает независимая
переменная.
     Область значений функции (множество значений)- все значения, которые
принимает функция.
     Функция является четной- если для любого х из области определения
функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
     Функция является нечетной- если для любого х из области
определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
     Возрастающая функция- если для любых х1 и х2
, таких, что х1< х2, выполняется
неравенство f(х1)<f(х2)
     Убывающая функция- если для любых х1 и х2
, таких, что х1< х2, выполняется
неравенство f(х1)>f(х2)
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого
значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее
употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x)
, где f(x)- с переменной х. В таком случае говорят, что функция
задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При
этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в
таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются
таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1)  Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где 
b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая,
параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат
2)  Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, 
где к¹0. Число k называется коэффициентом пропорциональности
.
Cвойства функции y=kx:
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где 
k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то
получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую
пропорциональность y=kx.
Свойства функции y=kx+b:
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая.
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, 
где k¹0 Число k называют коэффициентом обратной
пропорциональности.
Свойства функции y=k/x:
1. Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля
2. y=k/x- нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке
(-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на
промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола.
5)Функция y=x2
Свойства функции y=x2:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 - четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола.
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой 
y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию
y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2;
y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция 
y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при
|х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее
прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае
функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x
3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная
формулой y=x-n, где n- натуральное число.
При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x
-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция
y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2:
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y=Öх
Свойства функции y=Öх:
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y=3Öх
Свойства функции y=3Öх:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3Öх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
     
11)Функция y=nÖх
При четном n  функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх
. При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же
свойствами, что и функция y=3Öх.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,
заданная формулой y=xr, где r- положительная
несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен между
графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на промежутке
[0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=xr
, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид имеет график
любой степенной функции y=xr , где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция,
заданная формулой y=x-r, где r-
положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo 
уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный
корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и
областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная
функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x),
надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно
прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2.
Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
                                   Заключение.                                   
Понятие функции 
является одним из ос
новных понятии ма
­тематики вообще. Оно не во
зникло сразу в таком виде, как мы им пользуем
ся сейчас, а как и другие 
фундаментальные понятия прошло длинный путь
диа­лектического и исторического развития. Идея
функциональной зависимости восходит к древнегре
­ческой математике.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик
и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал
вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение
ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом,
понятие функции носит у него "геометрический налет".
Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более
общее определение функции, освобождая последнее от геометрических
представлений и терминов: "функцией переменной величины называется
количество, образованное каким угодно способом из этой величины и
постоянных".
03.02.2004 года
                        Список использованной  литературы                        
                 в контрольной работе по дисциплине «Математика»                 
 на тему «Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции» 
1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва:
"Дрофа", 2000 года.
2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.
3. Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.
4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2.
Москва: "НГТУ", 2002 года.
5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва:
"Физматлит", 2002 года.