Каталог :: Математика

Реферат: Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

     Графическое решение уравнений,                  неравенств, систем с параметром.
                           (алгебра и начала анализа)                           
                                                       Исполнитель: Зырянов Р.Б.
                                                       Руководитель: Попова Н.Б.
                                Екатеринбург 1998                                
     
     
                         Оглавление                         
     
     I. Введение
     
     II. Уравнения с параметрами.
     §1. Определения.
     §2. Алгоритм решения.
     §3. Примеры.
     
     III. Неравенства с параметрами.
     §1. Определения.
     §2. Алгоритм решения.
     §3. Примеры.
     
     IV. Список литературы.
     
     V. Приложения.
                                                                          
                                 Введение                                 
Изучение многих физических процессов  и геометрических закономерностей  часто
приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в
экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их  системы, которые часто
бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе
же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики
рассматривается  только на немногочисленных факультативных занятиях.
     Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы,
выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой
взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений
и неравенств с параметрами.
     В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и
их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут
мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.
                                                                          
                  §1. Основные определения                  
     Рассмотрим уравнение 
            ¦(a, b, c, ., k, x)=j(a, b, c, ., k, x),                  (1)
     где a, b, c, ., k, x -переменные величины.
     Любая система значений переменных 
     а = а0, b = b0, c = c0, ., k = k0, x = x0,
при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные
значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, ., k,
x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех
допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е.
аÎА, bÎB, ., xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, ., K
выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, ., k и
подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е.
уравнение с одним неизвестным.
Переменные a, b, c, ., k, которые при решении уравнения считаются
постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением,
содержащим параметры.
Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, ., k,
l, m, n  а неизвестные – буквами x, y,z.
     Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях
параметров существуют решения и каковы они.
     Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными,
если:
     а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;
     б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.
                   §2. Алгоритм решения.                   
     1.Находим область определения уравнения.
     2. Выражаем a как функцию от  х.
     3. В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
     Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком
функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то
определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=
¦(х) относительно х.
     4. Записываем ответ.
                                                                          
                        §3. Примеры                        
     
     I. Решить уравнение
                                                          (1)
                             Решение.                             
     Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение
относительно а :
        или 
     График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного
уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой
у=а.
     Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È 
, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой
точки найдем  при решении уравнения   
относительно х.
     Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение   .
     Если а Î ,
то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих
точек можно найти из уравнений     
и  , получаем 
        и  .
     Если а Î  ,
то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.
     Ответ: 
     Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È, то  ;
     Если а Î ,  то   ,  ;
     Если а Î  , то решений нет.
     II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение  
имеет три различных корня.
     Решение.
     Переписав уравнение в виде    
и рассмотрев пару функций                                                                                                                      
, можно заметить, что искомые значения параметра  а  и только они будут
соответствовать тем положениям графика функции 
, при которых он имеет точно три точки пересечения с   графиком функции 
.     
     В системе координат хОу построим график функции 
). Для этого можно представить её в виде   
и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде
     
Поскольку график функции   
– это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный  
, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три
указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая
касается графика функции  
. Поэтому находим производную 
     
     
Ответ: .
III.  Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений
     
имеет решения.
Решение.
Из первого уравнения системы получим  
при  Следовательно,
это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы   
“скользят” вершинами по оси абсцисс.
Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на
множители
     
     
     
Множеством точек плоскости 
, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые
                      и                 
Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол”
имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.
Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В
соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается
прямой ), то
рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы”
совпадает с точкой А, то 
.
Случай касания “полупараболы” с прямой  
определим из условия существования единственного решения системы
     
В этом случае уравнение
     
имеет один корень, откуда находим :
     
     
     
Следовательно, исходная система не имеет решений при 
, а  при  или   
имеет хотя бы одно решение.
Ответ: а Î (-¥;-3] È(;+¥).
IV. Решить уравнение
     
Решение.
Использовав равенство , заданное уравнение перепишем в виде
     
Это уравнение равносильно системе
     
Уравнение  перепишем в виде
     .                            (*)
Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения.
Построим графики функций   
и  Из графика
следует, что при   
графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.
Если , то при  
графики функций совпадают и, следовательно, все значения   
являются решениями уравнения (*).
При  графики
пересекаются в одной точке, абсцисса которой 
. Таким образом, при  
уравнение (*) имеет единственное решение - 
.
Исследуем теперь, при каких значениях  а  найденные решения уравнения (*)
будут удовлетворять условиям
     
Пусть , тогда . Система примет вид
     
Её решением будет промежуток хÎ (1;5). Учитывая, что  
, можно заключить, что при  
исходному уравнению удовлетворяют все значения  х  из промежутка [3; 5).
Рассмотрим случай, когда  . Система неравенств примет вид
     
Решив эту систему, найдем аÎ (-1;7). Но 
, поэтому при аÎ (3;7) исходное уравнение имеет единственное решение 
.
Ответ:
если аÎ (-¥;3), то решений нет;
если а=3, то хÎ [3;5);
если aÎ (3;7), то ;
если aÎ [7;+¥), то решений нет.
V. Решить уравнение
      , где  а - параметр.                 (5)
Решение.
1.    При любом а : 
2.    Если , то ;
если , то .
3.    Строим график функции  
, выделяем ту его часть , которая соответствует 
. Затем отметим ту часть графика функции  
, которая соответствует  
.
4.    По графику определяем, при каких значениях а уравнение  (5)  имеет
решение и при каких – не имеет решения.
Ответ:
если , то   
если , то ;
если , то решений нет;
если , то ,   .
VI. Каким условиям должны удовлетворять те значения параметров   
и , при которых
системы
                                         (1)
и
                                    (2)
имеют одинаковое число решений ?
Решение.
С учетом того, что  
имеет смысл только при 
, получаем после преобразований систему
                                                       (3)
равносильную системе (1).
Система (2) равносильна системе
                    (4)
Первое уравнение системы (4) задает в плоскости хОу семейство прямых, второе
уравнение задает семейство концентрических окружностей с центром в точке А(1;1)
и радиусом 
Поскольку , а 
, то , и,
следовательно, система (4) имеет не менее четырех решений. При  
окружность касается прямой  
и система (4) имеет пять решений.
Таким образом, если 
, то система (4) имеет четыре решения, если 
, то таких решений будет больше, чем четыре.
Если же иметь в виду не радиусы окружностей, а сам параметр а, то система (4)
имеет четыре решения в случае, когда 
, и больше четырех решений, если 
.
Обратимся теперь к рассмотрению системы (3). Первое уравнение этой системы
задаёт в плоскости хОу семейство гипербол, расположенных в первом и втором
квадрантах. Второе уравнение системы (3) задает в плоскости хОу семейство
прямых.
При фиксированных положительных а  и  b система (3) может иметь два, три, или
четыре решения. Число же решений зависит от того, будет ли прямая, заданная
уравнением  , иметь
общие точки с гиперболой  
при  (прямая  
всегда имеет одну точку пересечения с графиком функции  
).
Для решения этого рассмотрим уравнение
     ,
которое удобнее переписать в виде
     
Теперь решение задачи сводится к рассмотрению дискриминанта D  последнего
уравнения:
·    если , т.е. если , то система (3) имеет два решения;
·    если , то система (3) имеет три решения;
·    если , то система (3) имеет четыре  решения.
Таким образом, одинаковое число решений у систем (1) и (2) – это четыре. И это
имеет место, когда 
.
Ответ: 
                      II. Неравенства с параметрами.                      
                  §1. Основные определения                  
Неравенство
                ¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x),                  (1)
где a, b, c, ., k – параметры, а  x – действительная переменная величина,
называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.
Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c
0, .,  k = k0, при некоторой функции
¦(a, b, c, ., k, x)  и
j(a, b, c, ., k, x
имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых
значений параметров.
     называется допустимым значением х, если
¦(a, b, c, ., k, x)  и
j(a, b, c, ., k, x
принимают действительные значения при любой допустимой системе значений
параметров.
Множество всех допустимых значений х называется областью определения
неравенства (1).
Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1),
если неравенство
¦(a, b, c, ., k, x0)>j(a, b, c, ., k, x0)
верно при любой системе допустимых значений параметров.
Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением
этого неравенства.
Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров
существует общее решение и каково оно.
Два неравенства
¦(a, b, c, ., k, x)>j(a, b, c, ., k, x)  и        (1)
z(a, b, c, ., k, x)>y(a, b, c, ., k, x)           (2)
называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и
том же множестве систем допустимых значений параметров.
                                                                          
                   §2. Алгоритм решения.                   
1.    Находим область определения данного неравенства.
2.    Сводим неравенство к уравнению.
3.    Выражаем а как функцию от х.
4.    В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех
значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5.    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6.    Исследуем влияние параметра на результат.
·     найдём абсциссы точек пересечения графиков.
·     зададим прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -¥  до+¥
7.    Записываем ответ.
Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с
использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с
использованием стандартной системы координат хОy.
                                                                          
                        §3. Примеры                        
I. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство
     
Решение.
В области определения параметра а, определённого системой неравенств
     
данное неравенство равносильно системе неравенств
     
Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .
Ответ: , .
II. При каких значениях параметра а имеет решение система
     
     
     
Решение.
Найдем корни трехчлена левой части неравенства  –
                                  (*)
Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на
четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен
     
     
     
сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса  2  с
центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение
заштрихован
ной области с окружностью, где , а значения  и  находятся из системы
     
а значения  и  находятся из системы
     
Решая эти системы, получаем, что
     
Ответ: 
III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.
Решение.
1.Находим область допустимых значений – 
2.Построим график функции в системе координат хОу.
·    при  неравенство решений не имеет.
·    при  для  решение х удовлетворяет соотношению , где 
Ответ: Решения неравенства существуют при  
     , где  , причем при  решения ; при  решения  .
IV. Решить неравенство
     
Решение.
1.Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)
                                              
     
2.Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего
перейдем к равенству :
     
Разложим числитель на множители.
     
т. к.    то
     
Разделим обе части равенства на  
при . Но  
является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при 
.
     
     
     
3. Строим в ПСК хОа  графики функций
     
и нумеруем  образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять
областей.
4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем
точку из области и подставляем в неравенство.
Для наглядности составим таблицу.
     
точка

неравенство:

вывод

1

-

2

+

3

-

4

+

5

-

6

+

7

-

8

+

9

-
5. Найдем точки пересечения графиков 6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥. Ответ. при при при при решений нет при Литература 1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г. 2. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г. 3. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г. 4. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г. 5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г. 6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г. 7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.